精品解析：天津市河北区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

河北区2023-2024学年度第二学期期末高二-年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则 A B. C. D. 2. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（ ） A. 甲、乙两组数据都呈线性相关 B. 乙组数据的相关程度比甲强 C. 乙组数据的相关系数r比甲大 D. 乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1 7 已知直线和平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（ ） A. B. C. D. 9. 在边长为2的正方形中，为的中点，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 10. 已知函数．给出下列结论： ①最小正周期为；②在上单调递增； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上． 11. 是虚数单位，复数_____________． 12. 下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为______、______． 总计 a 21 73 2 25 27 总计 b 46 100 13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 . 14. 某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为______； 15. 已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是____________． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在正方体中，与交于，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 17. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长， 19. 袋中装有大小、形状、材质完全相同小球，其中M个红球，N个黄球． （1）若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； （2）若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值； （3）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北区2023-2024学年度第二学期期末高二-年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ,选B. 【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以“0”和“1”为中间量，即可比较三者之间的大小， 【详解】因为，， 所以， 又因为，而， 所以， 综上， 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域，以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项. 【详解】由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，即， 即的定义域为，可排除A； 当时，，可排除CD． 故选：. 5. 若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式求解即得. 【详解】在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标概率为. 故选：D 6. 对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（ ） A. 甲、乙两组数据都呈线性相关 B. 乙组数据的相关程度比甲强 C. 乙组数据的相关系数r比甲大 D. 乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1 【答案】C 【解析】 【分析】利用线性相关的定义进行求解即可. 【详解】由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，所以A正确； 乙图的点相对更加集中，所以其相关性较强，更接近1，所以B，D正确； 甲图是正相关，其相关系数大于0，乙图是负相关，其相关系数小于0，所以C错误. 故选：C. 7. 已知直线和平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系即可逐一判断各个选项，进而得解. 【详解】对于A，若，则或或或斜交，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知：若，则，故C正确； 对于D，若，则或相交或异面，故D错误. 故选：C. 8. 课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设易知服从超几何分布，根据目标式对应概率的含义即可得答案. 【详解】由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布， 所以． 故选：A 9. 在边长为2的正方形中，为的中点，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，所以，， . 故选：D. 10. 已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为；②在上单调递增； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象及性质逐一判断即可求解. 【详解】对于①， 的最小正周期为，故①正确； 对于②，因为，所以，由正弦函数的图像可知，在上单调递增，故②正确； 对于③，函数的图象上所有点向左平移个单位长度，则，而，故③错， 故选：. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上． 11. 是虚数单位，复数_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 12. 下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为______、______． 总计 a 21 73 2 25 27 总计 b 46 100 【答案】 ①. 52 ②. 54 【解析】 【分析】根据2×2列联表的定义，可以求解 【详解】根据2×2列联表的定义可知，，解得， 故答案为：52，54. 13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 . 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可. 【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力. 14. 某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为______； 【答案】0.7 【解析】 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥 根据题意得：，， 由全概率公式，得： . 故答案为：0.7. 15. 已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m＜2. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在正方体中，与交于，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）证明，，即可得到平面. 【小问1详解】 连接 因为在正方体中，与交于，是的中点， 所以为中点， 所以在中，， 又因为平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 因为在正方体中，，平面， 又因为平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面 17. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系以及两角和的正弦公式化简求值即可；（2）由二倍角公式求出，，再由两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以, 所以 【小问2详解】 因，，所以， 所以，， 所以 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的条件结合正弦定理化简可得，利用余弦定理即可求出角的大小； （2）由三角形面积公式化简可得，结合余弦定理化简可得，从而求出的周长. 【小问1详解】 由，可得， 由正弦定理可得：，即， 所以， 因为在中，， 所以 【小问2详解】 由面积公式可得，即， 由（1）可得，即， 所以 的周长为 19. 袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球． （1）若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； （2）若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值； （3）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件概率定义可求解； （2）由题意随机变量X服从二项分布，根据二项分布的期望和方差公式列方程，解方程得解； （3）由题意随机变量Y服从超几何分布，利用超几何分布知识求出分布列和期望得解. 【小问1详解】 令事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到黄球，则 ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率为， 【小问2详解】 令事件C：摸一次摸到红球，则， 由题意随机变量X服从二项分布，， 因为，，所以， 解得：， 【小问3详解】 由题意随机变量Y的所有可能取值为2，3，4， ，，， 所以，Y的分布列为 Y 2 3 4 P 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$