天津市宝坻区大口屯高级中学2023-2024学年高一下学期数学期末单元检测---平面向量

2023-2024学年度第二学期高一期末单元检测 ---平面向量 一、单选题 1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 3．在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，，，则角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 5．已知向量的夹角为，则（    ） A． B． C． D．5 6．若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（    ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 8．在中，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 9．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 10．设，向量，．若，则 ． 11．已知平面向量，，若共线，则 . 12．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 . 13．在中，角所对的边分别为，，则 14．已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 15．如图，在平行四边形中，，点分别在边上，且，若点为的中点，且满足，则 ；当点在线段上运动时，的取值范围为 ．    三、解答题 16．已知向量，满足，． (1)若，求向量的坐标； (2)若，求与的夹角． 17．在中，角所对的边分别为.已知. （1）求角的大小； （2）求的值. 18．已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 19．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 20．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 （1）求的值； （2）若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一期末单元检测 ---平面向量 一、单选题 1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】因为点是正三角形的中心， 所以，，是模相等的向量； 向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说； 这三个向量方向不同，不是共线向量； 这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 3．在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中线的性质结合向量的线性运算分析求解. 【详解】因为为的中点，则， 所以. 故选：A. 4．在中，已知，，，则角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数． 【详解】因为，，即，所以，即， 由正弦定理，则， ∴. 故选：B． 5．已知向量的夹角为，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】由题意，根据和平面向量数量积的定义和运算律计算即可求解. 【详解】由题意知， . 故选：A. 6．若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的定义直接求解即可 【详解】因为， 所以在上的投影向量为 ， 故选：D 7．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（    ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【答案】A 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 8．在中，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由正弦边角关系得，设（），应用余弦定理确定的符号，结合为最大内角，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 设（），则，， 由余弦定理得，则为锐角， 又为最大内角，故为锐角三角形. 故选：C 9．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化，再三角形面积公式求，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理边角互化，可知，，且 则，，则， 则，① 由余弦定理，② 由①②得，，即. 故选：B 二、填空题 10．设，向量，．若，则 ． 【答案】 【分析】依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 11．已知平面向量，，若共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】共线，，解得：. 故答案为：. 12．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理可得答案. 【详解】由，得， 由余弦定理得，则，所以. 故答案为：. 13．在中，角所对的边分别为，，则 【答案】 【分析】利用正余弦定理求、，结合二倍角正弦公式即可求. 【详解】由题设，，而， ∴. 故答案为： 14．已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 15．如图，在平行四边形中，，点分别在边上，且，若点为的中点，且满足，则 ；当点在线段上运动时，的取值范围为 ．    【答案】 / 【分析】若点为的中点，根据平面向量的加减法的三角形法则表示，从而可求解，进而可求得；当点在线段上运动时，设，利用，表示出和，再表示出，根据的范围，即可得出结果. 【详解】若点为的中点，则 . 所以，则； 当点在线段上运动时，设， ， 又， ， 又，则， . 故答案为：； 三、解答题 16．已知向量，满足，． (1)若，求向量的坐标； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据题意，设，由向量模的公式可得的值，即可得答案. （2）先求出，由向量数量积的计算公式可得，可解得，结合夹角的范围分析可得答案. 【详解】（1）根据题意，，设， 若，则， 解得，故或. （2）由题知，则， 若，则， 即， 解得，又， 所以. 17．在中，角所对的边分别为.已知. （1）求角的大小； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用余弦定理求解出的值，则可求； （2）利用正弦定理可直接求解出的值. 【详解】解：（1）在中，根据余弦定理得，， ∵，∴； （2）在中，根据正弦定理， 得. 18．已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出、的坐标，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得； （2）求出的坐标，利用坐标法计算可得； （3）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，再代入检验. 【详解】（1）因为，， 所以，则， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为，， 所以， ， 因为与共线， 则，解得或， 当时，，，则， 此时与方向相同，不符题意； 当时，，，则， 此时与方向相反，符合题意； 综上可得． 19．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化解得，再由是锐角三角形，从而可得的值；（2）根据余弦定理列式计算边，再利用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理及 得 因为，所以    因为是锐角三角形 所以 （2）由及余弦定理 得，解得 所以 20．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可； （2）利用正弦定理求得，结合角的范围可得，再由二倍角的正余弦公式以及两角和的正弦公式可得结果． 【详解】（1）在中，由，整理得， 又由余弦定理，可得； （2）由（1）可得，又由正弦定理， 及已知，可得； 可得，由已知，可得，故有， 为锐角，故由，可得，从而有, ． 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”． 学科网（北京）股份有限公司 $$