天津市宝坻区大口屯高级中学2023-2024学年高一下学期数学期末单元检测---立体几何初步

2023-2024学年度第二学期高一期末单元检测 ---立体几何初步 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．梯形确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．四边形确定一个平面 2．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．圆台的上、下底面半径分别是，且圆台的高为4，则该圆台的体积是（    ） A．30π B．28π C．25π D．24π 4．已知表示两条不同的直线，表示两个不重合的平面，且，下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题是真命题的是（    ） A．上底面与下底面相似的多面体是棱台 B．若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥 C．若直线在平面外，则 D．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 7．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 8．如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（    ）    A． B．6 C． D．5 9．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 10．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 ． 11．已知、是异面直线，直线直线，则直线与直线b的位置关系是 . 12．正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 13．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ． 14．下列命题中正确的为 （写出命题序号）. ①如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面； ②四边形可以确定一个平面； ③如果平面//平面且直线平面，那么直线平面； ④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. 15．陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为 L（结果精确到0.1，参考数据：；）．    三、解答题 16．如图，正方体，    (1)写出正方体中与平面平行的棱和与平面垂直的平面（不需证明）； (2)求和平面所成的角的大小． 17．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，M是SD的中点，，且交SC于点N.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19．已知长方体中，，.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.    (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一期末单元检测 ---立体几何初步 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．梯形确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．四边形确定一个平面 【答案】B 【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案. 【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A错误； 梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B正确； 两条直线异面时不能确定一个平面，C错误； 空间四边形不能确定一个平面，D错误. 故选：B. 2．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用斜二测画法画出平面图形为直角梯形，再求面积. 【详解】如图， 作平面直角坐标系，使A与O重合，AD在x轴上， 且，AB在y轴上，且， 过B作，且，则四边形ABCD为原平面图形，为直角梯形， 其面积为． 故选：C． 3．圆台的上、下底面半径分别是，且圆台的高为4，则该圆台的体积是（    ） A．30π B．28π C．25π D．24π 【答案】B 【分析】由圆台的体积公式即可得到答案. 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别是，，高为， , 所以圆台的体积为． 故选：B． 4．已知表示两条不同的直线，表示两个不重合的平面，且，下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，则平面与平面平行或相交，所以A不正确； 对于B中，由，则直线或，所以B不正确； 对于C中，如图所示，过直线作平面，使得， 因为，且，可得，又因为，所以， 因为，可得，所以C正确； 对于D中， 由，则直线与平面平行、相交或，所以D不正确. 故选：C. 5．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到，使得，连接，，由，得到为异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】延长到，使得，连接，，如下图所示：   ，所以为异面直线与所成角或其补角. 设正方体的棱长为2，易知，，， 由余弦定理，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 6．下列命题是真命题的是（    ） A．上底面与下底面相似的多面体是棱台 B．若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥 C．若直线在平面外，则 D．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 【答案】D 【分析】根据题意，利用多面体与旋转体的几何结构特征，圆柱的侧面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图（1）所示，在多面体中，满足，但该几何体不是棱台，所以A错误； 对于B中，如图（2）所示的几何体，所有的面均为三角形，但该几何体不是三棱锥，所以B错误； 对于C中，若直线在平面外，则或直线与平面相交，所以C错误； 对于D中，设圆柱的底面圆半径为，则，解得，所以，， 所以，所以D正确； 故选：D. 7．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】D 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解液面高度，即可与降雨量等级比较求解． 【详解】设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 侧面水平放置时，水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为， 于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为． 故降雨量等级为暴雨， 故选：D 8．如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（    ）    A． B．6 C． D．5 【答案】C 【分析】由线面平行得线线平行，再由平行线分割线段成比例可得，解出即可. 【详解】①当直线m，n共面时，因为平面平面，直线平面，面，面，， 所以， 根据平行线分割线段成比例可得， 又，解得， ②当为异面直线时，连接，如图    由①证明可知，， 所以， 又，解得. 故选：C. 9．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，取的中点，连接，由二面角的定义可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，然后代入计算，即可求解. 【详解】取的中点，连接，    因为为正四棱锥，为底面正方形的中心，所以底面， 平面，所以，， 又底面为正方形，为中点， 所以，且，平面， 所以平面，又平面，所以， 则为侧面与底面所成的二面角的平面角， 又，， 所以，且为锐角， 所以，即侧面与底面所成的二面角为. 故选：D 二、填空题 10．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 ． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为，其外接球的半径为，根据题意，求得，得到，结合正方体的体积公式，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为，其外接球的半径为， 因为正方体的外接球的体积为，可得，解得， 则，所以， 所以正方体的体积为. 故答案为：. 11．已知、是异面直线，直线直线，则直线与直线b的位置关系是 . 【答案】相交或异面 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】若，因为，则，与已知、是异面直线矛盾， 所以直线与直线b不平行， 则当直线与直线b在同一平面则相交，当直线与直线b不在同一平面则异面， 故答案为：相交或异面. 12．正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 13．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 由，得， 又表面积， 所以，解得，则； 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故答案为：． 14．下列命题中正确的为 （写出命题序号）. ①如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面； ②四边形可以确定一个平面； ③如果平面//平面且直线平面，那么直线平面； ④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. 【答案】①④ 【分析】利用平面基本性质及空间中线与面的平行关系与垂直关系进行判断即可. 【详解】对于①：因为平面平面，所以平面内一定存在直线平行于两个平面的交线，由线面平行的判定定理知，则该直线平行于平面，正确； 对于②：因为空间四边形不是平面图形，所以四边形不一定确定一个平面，错误； 对于③：若平面//平面且直线平面，则直线平面或直线平面，错误； 对于④：由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，正确； 对于⑤：由线面平行判定定理得：过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，错误. 综上，正确的命题为：①④. 故答案为：①④ 15．陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为 L（结果精确到0.1，参考数据：；）．    【答案】/ 【分析】设圆台的高为，根据轴截面为等腰梯形求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】圆台型容器的轴截面为等腰梯形，设高为，则，解得， 所以圆台型容器的容积. 故答案为： 三、解答题 16．如图，正方体，    (1)写出正方体中与平面平行的棱和与平面垂直的平面（不需证明）； (2)求和平面所成的角的大小． 【答案】(1)与平面平行的棱有：； 与平面垂直的平面有：平面、平面、平面. (2) 【分析】（1）根据,可得与平面平行的棱有：； 根据平面，平面，根据平面， 可以判断与平面垂直的平面有：平面、平面、平面. （2）根据线面角的定义即可求出结果. 【详解】（1）与平面平行的棱有：； 与平面垂直的平面有：平面、平面、平面. （2）    连接交于点， 由题意可得平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以, 又因为平面，平面，， 所以平面， 所以为和平面所成的角， 因为，则. 所以和平面所成的角为. 17．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，M是SD的中点，，且交SC于点N.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连结BD交AC于E，连结ME，由三角形中位线的性质可得ME∥SB，结合线面平行的性质可得平面ACM； （2）由线面垂直得线线垂直，由线线垂直证明线面垂直； （3）根据线面角的概念找到角，在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）连结交于，连结， 因为是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面；    （2）因为底面ABCD，底面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，所以，又，平面SAD，平面SAD， 所以平面SAD，因为平面SAD，所以， 由题意，，点M是SD的中点，所以， 又，平面SCD，平面SCD， 所以平面SCD，因为平面SCD，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （3）由（2）知平面，则为在平面的射影， 由线面角的定义知，为直线与平面所成角， 在中，，，则， 由面积相等得，所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）根据题意可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，利用线面垂直可证为直角三角形，求的正切值即可； （3）利用等体积法求解点到平面的距离，直线与平面所成角为，，即可求解直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）解：∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. （2）解：∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. （3）解：取中点为，连接，， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴， 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，∴，又，∴, ∴， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．已知长方体中，，.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）在长方体中，得到，分别证得平面，和平面，利用面面平行的判定，即可证得平面平面. （2）连接与交于点，证得平面，得到为直线与平面所成角，在直角中，即可求解； （3）设点C到平面的距离为，结合，即可求解. 【详解】（1）在长方体中，可得， 由，且平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）连接与交于点，因为，即四边形为正方形， 所以， 又由平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面, 所以为直线与平面所成角 由，可得，， 在直角中，可得， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）在正方体中，，， 所以， 连接与交于点，连接，因为，可得， 可得，则， 设点C到平面的距离为，由， 可得，解得， 即点C到平面的距离.    20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.    (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）连接，证明，则有平面； （2）取棱的中点，由平面平面，可证平面，得，又，可证得平面； （3）由平面，直线与平面所成角为，在中，求正弦值. 【详解】（1）证明：连接，如图所示，    底面为平行四边形，则有， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：取棱的中点，连接，如图所示，   为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面， 所以平面. （3）连接，如图所示，    由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$