2024年海南省海南中学中考数学三模试卷

2024年海南省海南中学中考数学三模试卷 一、选择题(本大题共36分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,有且只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑。 1.(3分)﹣6的相反数是( ) A.﹣6 B. C.6 D. 2.(3分)古典园林中的花窗通常利用对称构图,体现对称美.下面四个花窗图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.(3分)2024年全国高考报名人数约13420000人,数13420000用科学记数法表示为( ) A.0.1342 108 B.1.342 107 C.1.342 108 D.13.42 107 4.(3分)今天是父亲节,小东同学准备送给父亲一个小礼物.已知礼物外包装的主视图如图所示,则该礼物的外包装不可能是( ) A.长方体 B.正方体 C.圆柱 D.三棱锥 5.(3分)下列计算正确的是( ) A.a3+a4=a7 B.a3•a4=a7 C.a6 a3=a2 D.(a3)4=a7 6.(3分)不等式4x﹣8≥0的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 7.(3分)下列多边形中,内角和最大的是( ) A. B. C. D. 8.(3分)计算的结果为( ) A. B. C.1 D.﹣1 9.(3分)已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数,且,则n的值为( ) A.43 B.44 C.45 D.46 10.(3分)如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC是⊙O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70 ,则∠BPC的度数可能是( ) A.70 B.105 C.125 D.155 11.(3分)如图,P,Q是反比例函数图象上的两个点,分别过P,Q作x轴,y轴的垂线,构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形,其面积分别表示为S1,S2,S3,已知S2=2,则S1+S3的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 12.(3分)如图,直线AB∥CD,E,F分别在直线AB,CD上,连接EF,以顶点E为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,EF于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线EP交直线CD于点M,若∠GEH=60 ,EF=2,则线段EM的长为( ) A.2 B. C.4 D. 二、填空题(本大题共12分,每小题3分) 13.(3分)已知P1(1,y1),P2(2,y2)在正比例函数y=﹣x的图象上,则y1 y2.(选填“>”“<”或“=”) 14.(3分)已知实数a,b,满足a+b=5,ab=4,则a2b+ab2的值为 . 15.(3分)如图,在菱形ABCD中,AC、BD为菱形的对角线,它们相交于点E,∠DBC=60 ,BD=6,点F为BC中点,则EF的长为 . 16.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,P,Q分别是BC,AB上的两个动点,AE=1, AEQ沿EQ翻折形成 FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是 . 三、解答题(本大题满分72分) 17.(12分)(1)计算:; (2)计算:(a3﹣ab2) a﹣(a+b)(a﹣b). 18.(10分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺,求绳索长多少尺? 19.(10分)4月24日是中国航天日,为激发青少年热爱科学、探索未知的热情,某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果,从七、八年级学生的知识问答成绩中,各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格).数据整理如图表: 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 a 7.55 中位数 8 b 众数 c 7 合格率 d 85% 根据以上信息,解答下列问题: (1)统计表中a= ,b= ,c= ,d= ; (2)若该校八年级有600名学生,则该校八年级学生成绩合格的人数为 ; (3)已知八年级获得10分的3名学生分别是一男两女,从中随机抽取两名学生去市里参加比赛,恰好是一男一女的概率为 . 20.(10分)图1是某红色文化主题公园内的雕塑,将其抽象成如图2所示的示意图.已知点B,A,D,E均在同一直线上,AB=AC=AD,测得∠B=55 ,BC=1.8m,DE=2m.(结果精确到0.1m) (1)∠ACB= ; (2)连接CD,求证:DC⊥BC; (3)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离). (参考数据:sin55 ≈0.82,cos55 ≈0.57,tan55 ≈1.43) 21.(15分)如图所示,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B,C重合),连接AG,作DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,设. (1)求证: ABF≌ DAE; (2)连接BE,DF,设∠EDF= ,∠EBF= ,求证:tan =ktan ; (3)若正方形的边长为1,设线段AG与对角线BD交于点H. ①若,求DH的值; ② AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2,求的最大值. 22.(15分)如图1,在直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,已知,B(4,0). (1)求抛物线C1的解析式; (2)如图1,有两动点D、E在 COB的边上运动,它们分别从点O同时出发,点D沿线段OC按O C方向向终点C运动,速度为每秒1个单位长度,点E沿折线OBC按O B C方向向终点C运动,速度为每秒4个单位长度,当某一点到终点时另外一点也停止运动.设运动时间为t秒,请解答下列问题: ①设 ODE的面积为s,求出s关于t的关系式; ②当t为何值时, CDE与 COB相似? (3)如图2,点F是BC上一点,OF平分 COB的面积,将抛物线C1沿射线CB方向平移,当抛物线恰好经过点F时,停止运动,记平移后的抛物线为C2.已知点M是原抛物线C1上的动点,在抛物线C2的对称轴上是否存在一点N,使得以点C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共36分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,有且只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑。 1.(3分)﹣6的相反数是( ) A.﹣6 B. C.6 D. 【解答】解:﹣6的相反数是6, 故选:C. 2.(3分)古典园林中的花窗通常利用对称构图,体现对称美.下面四个花窗图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A、原图不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意; B、原图既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不合题意; C、原图既是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意; D、原图不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意; 故选:C. 3.(3分)2024年全国高考报名人数约13420000人,数13420000用科学记数法表示为( ) A.0.1342 108 B.1.342 107 C.1.342 108 D.13.42 107 【解答】解:13420000=1.342 107. 故选:B. 4.(3分)今天是父亲节,小东同学准备送给父亲一个小礼物.已知礼物外包装的主视图如图所示,则该礼物的外包装不可能是( ) A.长方体 B.正方体 C.圆柱 D.三棱锥 【解答】解:根据主视图可知,只有D选项不可能. 故选:D. 5.(3分)下列计算正确的是( ) A.a3+a4=a7 B.a3•a4=a7 C.a6 a3=a2 D.(a3)4=a7 【解答】解:A、a3+a4,不是同类项不能相加,故A选项错误; B、a3•a4=a7,故B选项正确; C、a6 a3=a3,故C选项错误; D、(a3)4=a12,故D选项错误. 故选:B. 6.(3分)不等式4x﹣8≥0的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 【解答】解:4x﹣8≥0, 4x≥8, x≥2, 故选:D. 7.(3分)下列多边形中,内角和最大的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A.三角形的内角和为180 ; B.四边形的内角和为360 ; C.五边形的内角和为:(5﹣2) 180 =540 ; D.六边形的内角和为:(6﹣2) 180 =720 ; 故选:D. 8.(3分)计算的结果为( ) A. B. C.1 D.﹣1 【解答】解:, 故选:C. 9.(3分)已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数,且,则n的值为( ) A.43 B.44 C.45 D.46 【解答】解:∵1936<2014<1025, ∴, 即, 又∵,n为整数, ∴n=44, 故选:B. 10.(3分)如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC是⊙O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70 ,则∠BPC的度数可能是( ) A.70 B.105 C.125 D.155 【解答】解:如图,连接BC, ∵∠BAC=70 , ∴∠BOC=2∠BAC=140 , ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB==20 , ∵点P为OB上任意一点(点P不与点B重合), ∴0 <∠OCP<20 , ∵∠BPC=∠BOC+∠OCP=140 +∠OCP, ∴140 <∠BPC<160 , 故选:D. 11.(3分)如图,P,Q是反比例函数图象上的两个点,分别过P,Q作x轴,y轴的垂线,构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形,其面积分别表示为S1,S2,S3,已知S2=2,则S1+S3的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【解答】解:∵点P,Q在反比例函数的图象上,且S1,S2,S3是三个相邻且不重叠的小矩形, ∴根据反比例函数比例系数的几何意义,得:S1+S2=5,S3+S2=5, ∵S2=2, ∴S1=3,S3=3, ∴S1+S3=6. 故选:B. 12.(3分)如图,直线AB∥CD,E,F分别在直线AB,CD上,连接EF,以顶点E为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,EF于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线EP交直线CD于点M,若∠GEH=60 ,EF=2,则线段EM的长为( ) A.2 B. C.4 D. 【解答】解:过点F作FT⊥EM于点T. 由作图可知,ME平分∠AEF, ∴∠AEM=∠FEM=30 , ∵AB∥CD, ∴∠EMF=∠AEM=30 , ∴∠FME=∠FEM=30 , ∴FM=FE=2, ∵FT⊥EM, ∴ET=TM=EF•cos30 =, ∴EM=2ET=2. 故选:B. 二、填空题(本大题共12分,每小题3分) 13.(3分)已知P1(1,y1),P2(2,y2)在正比例函数y=﹣x的图象上,则y1 > y2.(选填“>”“<”或“=”) 【解答】解:∵k=﹣1<0, ∴y随x的增大而减小. 又∵1<2, ∴y1>y2. 故答案为:>. 14.(3分)已知实数a,b,满足a+b=5,ab=4,则a2b+ab2的值为 20 . 【解答】解:∵a+b=5,ab=4, ∴a2b+ab2 =ab(a+b) =4 5 =20. 故答案为:20. 15.(3分)如图,在菱形ABCD中,AC、BD为菱形的对角线,它们相交于点E,∠DBC=60 ,BD=6,点F为BC中点,则EF的长为 3 . 【解答】解:∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=DC,AC⊥BD, ∴∠BEC=90 , ∵∠DBC=60 , ∴ BDC是等边三角形, ∴BC=BD=6, ∵点F为BC中点, ∴EF=BC=3, 故答案为:3. 16.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,P,Q分别是BC,AB上的两个动点,AE=1, AEQ沿EQ翻折形成 FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是 4 . 【解答】解:如图作点D关于BC的对称点D′,连接PD′,ED′. 在Rt EDD′中,∵DE=3,DD′=4, ∴ED′=, ∵DP=PD′, ∴PD+PF=PD′+PF, ∵EF=EA=1是定值, ∴当E、F、P、D′共线时,PF+PD′定值最小,最小值=5﹣1=4, ∴PF+PD的最小值为4, 故答案为4. 三、解答题(本大题满分72分) 17.(12分)(1)计算:; (2)计算:(a3﹣ab2) a﹣(a+b)(a﹣b). 【解答】解:(1) =﹣1+(﹣2) (﹣2)﹣1 =﹣1+1﹣1 =﹣1; (2)(a3﹣ab2) a﹣(a+b)(a﹣b) =a2﹣b2﹣a2+b2 =0. 18.(10分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺,求绳索长多少尺? 【解答】解:设竿长x尺,则绳索长(x+5)尺, 依题意得:x﹣(x+5)=5, 解得x=15, 所以x+5=20. 答:绳索长20尺. 19.(10分)4月24日是中国航天日,为激发青少年热爱科学、探索未知的热情,某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果,从七、八年级学生的知识问答成绩中,各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格).数据整理如图表: 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 a 7.55 中位数 8 b 众数 c 7 合格率 d 85% 根据以上信息,解答下列问题: (1)统计表中a= 7.55 ,b= 7.5 ,c= 8 ,d= 80% ; (2)若该校八年级有600名学生,则该校八年级学生成绩合格的人数为 510人 ; (3)已知八年级获得10分的3名学生分别是一男两女,从中随机抽取两名学生去市里参加比赛,恰好是一男一女的概率为 . 【解答】解:(1)a=5 20%+10 15%+9 15%+8 30%+7 10%+6 10%=7.55; 由扇形统计图可得, c=8,d=1﹣20%=80%, 由频数分布直方图可得, 八年级成绩中5分有3人,6分有2人,7分有5人,8分有4人,9分有3人,10分有3人, 故中位数是b=(7+8) 2=7.5, 故答案为:7.55;7.5;8;80%; (2)600 85%=510(人), ∴估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人; 故答案为:510人; (3)画树状图为: 共有6种等可能的结果数,恰好是一男一女的有4种情况, 所以恰好是一男一女的概率是=; 故答案为:. 20.(10分)图1是某红色文化主题公园内的雕塑,将其抽象成如图2所示的示意图.已知点B,A,D,E均在同一直线上,AB=AC=AD,测得∠B=55 ,BC=1.8m,DE=2m.(结果精确到0.1m) (1)∠ACB= 55 ; (2)连接CD,求证:DC⊥BC; (3)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离). (参考数据:sin55 ≈0.82,cos55 ≈0.57,tan55 ≈1.43) 【解答】(1)解:∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB=55 , 故答案为:55; (2)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∵AD=AC, ∴∠ADC=∠ACD, ∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD=180 , ∴2∠ACB+2∠ACD=180 , ∴∠ACB+∠ACD=90 , ∴∠BCD=90 , ∴DC⊥BC; (3)解:过点E作EF⊥BC,垂足为F, 在Rt DCB中,∠B=55 ,BC=1.8m, ∴BD=≈=(m), ∵DE=2m, ∴BE=BD+DE=(m), 在Rt BEF中,EF=BE•sin55 ≈ 0.82≈4.2(m), ∴雕塑的高约为4.2m. 21.(15分)如图所示,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B,C重合),连接AG,作DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,设. (1)求证: ABF≌ DAE; (2)连接BE,DF,设∠EDF= ,∠EBF= ,求证:tan =ktan ; (3)若正方形的边长为1,设线段AG与对角线BD交于点H. ①若,求DH的值; ② AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2,求的最大值. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠BAD=90 , ∴∠BAG+∠DAG=90 , ∵DE⊥AG,BF⊥AG, ∴∠AED=∠BFA=90 , ∴∠ADE+∠DAG=90 , ∴∠BAG=∠ADE, ∴ ADE≌ BAF(AAS); (2)证明:由(1)知,∠BAG=∠EDA, ∵∠ABG=∠DEA, ∴ ABG∽ DEA, ∴, ∴==k, 在Rt DEF中,EF=DE•tan , 在Rt BEF中,EF=BF•tan , ∴DE•tan =BF•tan , ∴tan =•tan =•tan =ktan ; (3)①由勾股定理得:BD==, ∵四边形ABCD是正方形, ∴BC∥AD,AD=BC, ∵=k=, ∴=, ∵AD∥BC, ∴ ADH∽ GBH, ∴=,即=3, ∴DH=; ②解:方法1:如图1, ∵四边形ABCD是正方形, ∴BC∥AD,AD=BC, ∵=k, ∴=k, ∵AD∥BC, ∴ ADH∽ GBH, ∴==()2=, ∴S1=•S BHG, 设 BHG的边BG上的高为h, ADH的边AD上的高为h', ∴ ADH∽ GBH, ∴==k, ∴h=kh', ∴== =k =, ∴S BCD=S BHG, ∴S2=S BCD﹣S BHG=S BHG, ==﹣k2+k+1=﹣(k﹣)2=﹣(k﹣)2+, ∴k=时,的最大值为; 方法2:如图2, 设正方形的边长为1, 连接BD交AG于H,过H作MN⊥BC交AD于M,BC于N, 设HN=h,HM=h', ∴h+h'=1, ∵=k, ∴BG=k,=k, S2=BC CD﹣k h=﹣kh, S1=AD h'=h', ∴ = = = =﹣(k﹣)2+, ∴k=时,的最大值为; 方法3:如图3,连接CH, ∵BD是正方形的对角线, ∴S1=S ADH=S CHD, ∴S2=S四边形CDHG=S CHD+S CHG=S1+S CHG, ∵=﹣=, ∴S CHG=﹣S BHG, ∴S2=S1+S BHG, ∵ ADH∽ BHG, ∴, ∴S BHG=k2S AHD=k2S1, ∴S2=S1﹣k(k﹣1)S1=﹣(k2﹣k﹣1)S1, ∴=﹣(k2﹣k﹣1)=﹣(k﹣)2+, ∴k=时,的最大值为. 22.(15分)如图1,在直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,已知,B(4,0). (1)求抛物线C1的解析式; (2)如图1,有两动点D、E在 COB的边上运动,它们分别从点O同时出发,点D沿线段OC按O C方向向终点C运动,速度为每秒1个单位长度,点E沿折线OBC按O B C方向向终点C运动,速度为每秒4个单位长度,当某一点到终点时另外一点也停止运动.设运动时间为t秒,请解答下列问题: ①设 ODE的面积为s,求出s关于t的关系式; ②当t为何值时, CDE与 COB相似? (3)如图2,点F是BC上一点,OF平分 COB的面积,将抛物线C1沿射线CB方向平移,当抛物线恰好经过点F时,停止运动,记平移后的抛物线为C2.已知点M是原抛物线C1上的动点,在抛物线C2的对称轴上是否存在一点N,使得以点C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)将,B(4,0)代入抛物线C1:y=ax2+bx+3(a≠0), ∴,解得, ∴抛物线C1:y=﹣x2+x+3. (2)抛物线C1:y=﹣x2+x+3,令x=0,则y=3, ∴C(0,3); ∴OC=3, ∵B(4,0), ∴OB=4,BC=5, ∴0≤t≤; ①如图2﹣1,当点E在OB上,即0≤t≤1时,OD=t,OE=4t, ∴s=t•4t=2t2; 如图2﹣2,当点E在BC上,即1<t≤时,OD=t,BE=4t﹣4, ∴CE=9﹣4t, 过点E作EE′⊥y轴,∴EE′∥OB, ∴EE′:OB=CE:BC,即EE′:4=(9﹣4t):5, ∴EE′=(9﹣4t), ∴s=t•(9﹣4t)=﹣t2+t; 综上,s=; ②当点E在OB上时,如图2﹣3,此时 CDE是钝角三角形,不符合题意; 当点E在BC上时: 当∠CDE=90 时,如图2﹣4,此时 CDE∽ COB, ∴CD:OC=CE:BC, 由①可知,OD=t,BE=4t﹣5, ∴CD=3﹣t,CE=9﹣4t, ∴(3﹣t):3=(9﹣4t):5, 解得,t=; 当∠CED=90 时,如图2﹣5,此时 CED∽ COB, ∴CD:CB=CE:OC, ∴(3﹣t):5=(9﹣4t):3, 解得,t=; 综上,当t的值为或时, CDE与 COB相似; (3)存在,理由如下: ∵OF平分 COB面积, ∴F为BC中点,即F(2,), 由题意可知,抛物线C1沿射线CB平移,且过点F,则C平移至点F时,向右平移2个单位,再向下平移个单位, ∴抛物线C2解析式为:y=﹣(x﹣2)2+(x﹣2)+3﹣,即y=﹣x2+x﹣3, ∴抛物线C2的对称轴为:x=, ∴N(,t),M(n,﹣n2+n+3),而C(0,3),B(4,0), ①以MN、BC为对角线,则MN的中点即是BC中点,如图3﹣1: ∴,解得, ∴N(,﹣); ②以NC、BM为对角线,则NC中点即是BM中点,如图3﹣2: ∴,解得, ∴N(,﹣); ③以NB、CM为对角线,如图3﹣3: ∴,解得, ∴N(,﹣), ∴综上所述:满足条件的N点坐标为:(,﹣)或(,﹣)或(,﹣). 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$