4.3坐标平面内图形的轴对称和平移 学案 2023-2024学年浙教版八年级数学上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第4章　图形与坐标 4.3　坐标平面内图形的轴对称和平移 第1课时　坐标平面内图形的轴对称 教材的地位 和作用 　本节课学习图形的对称变换.本节的内容是学生后面学习函数及位似图形的一个铺垫,从而使学生学习函数图象时,能够更好地理解坐标变化与图形变换的关系 教 学 目 标 知识与技能 　1.了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系,会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标. 　2.利用关于坐标轴对称的两个点的坐标关系,求作轴对称图形 过程与方法 　经历图形上点的坐标变化与图形的轴对称的关系,体会它们对图形的变化的影响 情感、态度 与价值观 　通过研究有趣的图形,使学生能进行探索和创造,把学到的知识灵活地运用到现实生活中 教学 重点 难点 重点 　关于坐标轴对称的两点之间的坐标关系 难点 　利用关于坐标轴对称的两点之间的坐标关系,作某一图形关于对称轴的对称图形 易错点 　关于坐标轴对称的点的坐标特征易混淆 知识点　已知点关于坐标轴的对称点的坐标 在直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为　(a,-b)　,关于y轴的对称点的坐标为　(-a,b)　.  1.点M(3,5)关于x轴对称的点的坐标是 (B) A.(-3,5) 　B.(3,-5) C.(5,3) 　D.(-3,-5) 2.已知点P(3,2),则点P关于y轴的对称点P1的坐标是　(-3,2)　.  【例题探究】 类型一　作规则图形关于坐标轴的轴对称图形 例1 (教材补充例题)如图4-3-1所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3). (1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别是A1,B1,C1); (2)分别写出点A1,B1,C1的坐标. 　图4-3-1 　　解:(1)如图所示.分别作A,B,C三点关于y轴的对称点A1,B1,C1,再连结A1B1,B1C1,C1A1, 即得△A1B1C1. (2)A1(1,5),B1(1,0),C1(4,3). 【归纳总结】 1.图形中点的坐标变化与轴对称的关系: 点的坐标变化情况 图形变化情况 横坐标 纵坐标 不变 变为相反数 关于x轴对称 变为相反数 不变 关于y轴对称 2.作关于坐标轴对称的图形的一般思路: (1)先确定图形的关键点; (2)利用点关于坐标轴对称的规律作出关键点的对称点; (3)按原图形的连结方式顺次连结对称点. 类型二　图形的轴对称的综合应用 例2 (高频考题)如图4-3-2,欲使△ABC和△A1B1C1完全重合,则下列变化正确的是(C) 图4-3-2 A.各点横坐标不变,纵坐标乘-1 B.各点纵、横坐标都乘-1 C.各点纵坐标不变,横坐标乘-1 D.各点纵坐标不变,横坐标加上-1 【归纳总结】 由坐标变化研究图形变化,其中规律可简单记为“坐标加减必平移(下节学习),坐标变号必对称”. 1．有下列说法：①点A(5，－3)关于x轴的对称点A′的坐标为(－5，－3)；②点B(－2，2)关于y轴的对称点B′的坐标为(－2，－2)；③若点D在第二、四象限坐标轴夹角的平分线上，则点D的横坐标与纵坐标相等．其中错误的是(　D　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．若点P位于第二象限，则点Q(a，b)关于y轴的对称点位于第__四__象限． 【解析】 由题意，得ac2<0且>0，∴a<0，b<0，∴点Q(a，b)位于第三象限，∴点Q关于y轴的对称点位于第四象限． 3．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图1所示，它们的坐标分别为(－1，1)，(0，0)和(1，0)． (1)如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴． (2)在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，则点P的坐标为__(2，1)(答案不唯一)__(写出一种情况即可)． 第3题图 解：(1)如答图所示． 第3题答图 4．已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值．(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)2 023的值． 解：(1)∵点A，B关于x轴对称， ∴解得 (2)∵点A，B关于y轴对称， ∴解得 ∴(4a＋b)2 023＝[4×(－1)＋3]2 023＝－1. 5．在平面直角坐标系中，已知点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称． (1)试确定点A，B的坐标． (2)如果点B关于x轴的对称点是C，求△ABC的面积． 解：(1)∵点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称， ∴解得 ∴点A(4，1)，B(－4，1)． (2)∵点B关于x轴的对称点是C， ∴点C的坐标为(－4，－1)． △ABC的示意图如答图所示． 第5题答图 S△ABC＝BC·AB＝×2×8＝8. 6．[几何直观]阅读材料： 在平面直角坐标系中，已知点P(a，b)，作点P关于x轴的对称点P1(a，－b)，再作点P1关于y轴的对称点P2(－a，－b)，则称点P与点P2关于原点成中心对称． 根据材料回答下列问题： (1)点(5，－3)关于原点成中心对称的点的坐标为__(－5，3)__． (2)若点(3x＋8，y－4)，(2y，2x－7)关于原点成中心对称，求2x＋y的值． (3)求以A(3，2)，B(－2，2)及其关于原点的中心对称点为顶点的四边形的面积． 解：(2)由题意，得 解得 ∴2x＋y＝2×30－49＝11. (3)易知该四边形的面积S＝[3－(－2)]×(2×2)＝20. 第2课时　坐标平面内图形的平移 教材的地位 和作用 　本节是在上一节对称变换的基础上,进一步将图形上点的坐标变化与图形的平移结合在一起,既体现几何图形的现实性、趣味性,又不失数学内容的深刻性.通过本节课的学习,能发展学生的抽象思维能力和数形结合的意识 教 学 目 标 知识与技能 　1.在同一直角坐标系中,感受图形上点的坐标变化与图形的平移之间的关系. 　2.了解当坐标平面内图形向左、右或上、下平移时对应点之间的坐标关系. 　3.会求已知点向左、右或上、下平移后所得的对应点的坐标,会利用平移(左、右或上、下)后对应点之间的坐标关系,分析已知图形的平移 过程与方法 　经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程,掌握空间与图形的基础知识和基本技能 情感、态度 与价值观 　通过对有趣的图形的研究,进一步激起学生对数学学习的好奇心与求知欲,丰富对现实空间及图形的认识,发展形象思维 教学 重点 难点 重点 　坐标平面内图形左、右或上、下平移时对应点之间的坐标关系 难点 　由坐标的变化探索新旧图形之间的变化 易错点 　平移的方向与点的坐标变化的关系及与x轴或y轴平行的线段上点的坐标特征是易错点 知识点　平移后对应点的坐标特征 　　(1)沿x轴平移时点的坐标变化情况:若图形沿x轴向右平移a(a>0)个单位,各点的纵坐标　不变　,横坐标相应地都　加a　;若图形沿x轴向左平移a(a>0)个单位,各点的纵坐标　不变　,横坐标相应地都　减a　.  (2)沿y轴平移时点的坐标变化情况:若图形沿y轴向上平移b(b>0)个单位,则各点的横坐标　不变　,纵坐标相应地都　加b　;若图形沿y轴向下平移b(b>0)个单位,则各点的横坐标　不变　,纵坐标相应地都　减b　.  1.已知点M(3,-2),将它向左平移4个单位,得到点P,则点P的坐标是　(-1,-2)　;再向上平移3个单位得到点N,则点N的坐标是　(-1,1)　.  2.在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点的坐标分别为A(-1,1),B(2,3),将线段AB经过平移后得到线段A'B'.若点A的对应点A'的坐标为(-1,-2),则点B的对应点B'的坐标是　(2,0)　.  图4-3-3 3.如图4-3-3,把△ABC先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到△DEF,则顶点C(0,-1)的对应点的坐标为(D) A.(0,0) B.(1,2) C.(1,3) D.(3,1) 【例题探究】 类型一　会用坐标表示点的平移 例1 (教材补充例题)(1)将点(-3,3)向左平移1个单位,再向上平移2个单位所得点的坐标是多少? (2)将点P(a,b)先向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点Q(-3,3),则a,b的值分别是多少? 解:(1)“向左平移1个单位”需将横坐标减1,即-3-1=-4;“向上平移2个单位”需将纵坐标加2,即3+2=5,所以平移后所得点的坐标是(-4,5). (2)依题意,得a-1=-3,b+2=3,所以a=-2,b=1. 【归纳总结】 点的平移与点的坐标变化间的关系: 平移前点的坐标 平移方向、距离 平移后点的坐标 P(x,y) 向左平移a个单位 P'(x-a,y) 向右平移a个单位 P'(x+a,y) 向上平移b个单位 P'(x,y+b) 向下平移b个单位 P'(x,y-b) 温馨提示:若求平移后点的坐标,则可根据“右加左减,上加下减”的规律直接求得;求平移前点的坐标,可以逆用规律直接求,也可以列方程求解. 类型二　会用坐标表示图形的平移 例2 (教材例2变式)将△ABC三个顶点的横坐标都减去6,纵坐标都减去5,得到点A1(-2,-2),B1(-3,-4),C1(-5,-3),如图4-3-4. (1)在图中画出△ABC; (2)将△A1B1C1进行怎样的平移可得到△ABC? (3)连结BB1,CC1,求四边形B1C1CB的面积. 图4-3-4 解:(1)如图. (2)答案不唯一,如:将△A1B1C1先向右平移6个单位,再向上平移5个单位可得到△ABC. (3)如图,在直角坐标系中找出四边分别经过点B1,C1,C,B的长方形MNPQ,则=8×6-2××2×1-2××6×5=48-2-30=16. 【归纳总结】 用坐标表示图形平移的“三步法”: (1)明确平移的方向和距离; (2)找出图形的关键点; (3)利用平移规律确定平移后各关键点的对应点的坐标,在坐标系中描出各关键点的对应点,依次连结各对应点即可得到平移后的图形. 类型三　坐标平面内图形的平移和轴对称的综合 例3 (教材补充例题)在图4-3-5中将下列各点用线段依次连结起来:(0,0),(4,2),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0).观察图形,它像什么? (1)若上述各点纵坐标保持不变,横坐标都加3,再将所得的点用线段依次连结起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化? (2)若上述各点纵坐标都乘-1,横坐标保持不变,再将所得的点用线段依次连结起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化? 图4-3-5 解:如图,图形像小鱼. (1)横坐标加3后,图案向右移动3个单位,形状、大小不变. (2)纵坐标都乘-1后,所得的图案与原图案重合. 1．已知点A(1，－3)，B(2，2)，现将线段AB平移至线段CD.如果点A的对应点C的坐标为(－3，－1)，点B的对应点D的坐标为(c，d)，那么dc的值为(　B　) A．－16 B． C．16 D．0 【解析】 ∵点A(1，－3)的对应点C的坐标为(－3，－1)， ∴线段AB向左平移4个单位，向上平移2个单位得到线段CD， ∴点B(2，2)的对应点D的坐标为(－2，4)，即c＝－2，d＝4， ∴dc＝4－2＝＝. 2．若点A(－5m，2m－1)向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则m的值为__－1__. 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(2，4)，连结AB，将线段AB向下平移5个单位后得到线段CD，则线段CD上的点的坐标可以表示为__(x，－1)(－3≤x≤2)__． 第3题图 4．如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P(x，y)经过平移后的对应点的坐标为P1(x－5，y＋2)．求： (1)点A1，B1，C1的坐标． (2)△A1B1C1的面积． 第4题图 解：(1)∵△ABC中任意一点P(x，y)经过平移后的对应点的坐标为P1(x－5，y＋2)， ∴△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1. 又∵点A(4，3)，B(3，1)，C(1，4)， ∴点A1(－1，5)，B1(－2，3)，C1(－4，6)． (2)S△A1B1C1＝S△ABC＝3×3－×1×3－×1×2－×3×2＝. 5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0，－3)，B(－2，0)． (1)如图1，三角形OAB的面积为__3__. (2)如图2，将线段AB向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到平移后的线段A′B′，连结OA′，OB′. ①求三角形OA′B′的面积． ②P(－1，m)(m＞0)是一动点，若S△POB＝10，请直接写出点P坐标． 第5题图 解：(2)①如答图，S△OA′B′＝4×5－×3×4－×2×3－×5×1＝. 第5题答图 ②由题意，得×2×m＝10， 解得m＝10， ∴点P(－1，10)． 6．[推理能力]在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． 第6题图 (1)写出点A4n的坐标(n是正整数)． (2)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向． (3)求△OA2A2 023的面积． 解：(1)当n＝1时，点A4的坐标为(2，0)； 当n＝2时，点A8的坐标为(4，0)； 当n＝3时，点A12的坐标为(6，0)； … ∴点A4n的坐标为(2n，0)． (2)由题意可知，蚂蚁按向上、向右、向下、向右的移动规律行走，每4次为一循环． 又∵100÷4＝25， ∴点A100到点A101的移动方向与点A4到点A5的移动方向相同， ∴蚂蚁从点A100到点A101的移动方向是向上． (3)易知点A2的坐标为(1，1)，点A2 020的坐标为(1 010，0)． ∴点A2 023的坐标为(1 011，0)， ∴S△OA2A2 023＝×1 011×1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$