4.2平面直角坐标系 自主学案 2023-2024学年浙教版八年级数学上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第4章　图形与坐标 4.2　平面直角坐标系 第1课时　平面直角坐标系 教材的地位 和作用 　平面直角坐标系的学习是将代数问题给予几何解释,它既是学习函数及其图象、曲线和方程的基础,又是沟通数与形的桥梁 教 学 目 标 知识与技能 　1.认识并能画出平面直角坐标系;能在方格纸上建立适当的平面直角坐标系. 　2.初步理解坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系,并能熟练地由点的位置求点的坐标;明确数轴上点的数据特征和四个象限中的点的符号特征 过程与方法 　熟悉由点找点的坐标以及由点的坐标找点的基本方法 情感、态度 与价值观 　通过建立平面直角坐标系,实现由一维到二维空间的发展,构建更宽阔范围内的数形结合,反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系 教学 重点 难点 重点 　确定坐标平面内点的坐标和根据坐标在坐标平面内确定点的位置 难点 　平面直角坐标系中点与有序实数对间的一一对应关系 易错点 　点到各坐标轴的距离易混淆;坐标平面上各部分点的坐标特征易混淆 知识点一　平面直角坐标系及其相关概念 在平面内画两条互相垂直,并且有　公共原点O　的数轴,其中一条叫做x轴(又叫　横　轴),通常画成水平,另一条叫做y轴(又叫　纵　轴),画成与x轴垂直.这样,我们就在平面内建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系.坐标系所在的平面就叫做坐标平面,两坐标轴的公共原点O叫做直角坐标系的原点.  1.如图1是一张正方形网格纸,请在正方形网格纸上画出一个恰当的平面直角坐标系. 图1 解:画法不唯一,如图,可借用网格纸的网格线画一条水平的横轴和一条竖直的纵轴,两轴的交点为公共原点O,画上向右和向上的箭头,标上单位长度及x,y即可. 知识点二　直角坐标系的象限 　图2 对于平面内任意一点M(图2),作MM1⊥x轴,MM2⊥y轴,设垂足M1,M2在各自数轴上所表示的数分别为x,y,则x叫做点M的　横坐标　,y叫做点M的　纵坐标　,有序实数对(x,y)叫做点M的　坐标　.  x轴和y轴把坐标平面分成四个象限,如图3.象限以数轴为界,x轴,y轴上的点不属于任何象限. 图3 2.点P(4,3)所在的象限是 (A) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若点(a,b)在y轴上,则　a　=0.  【例题探究】 类型一　点的坐标的确定与描点 　　例1 (教材例1针对训练)(1)写出图4中点A,B,C,D,E,F的坐标; (2)在图中描出下列各点:L(-5,-3),M(4,0),N(0,5),P(6,2). 图4 解:(1)A(-2,-2),B(-5,4),C(5,-4),D(0,-3),E(2,5),F(-3,0). (2)如图所示. 【归纳总结】 点的坐标的确定及描点的方法: (1)点的坐标的确定:由点向横轴及纵轴引垂线,与两坐标轴的交点所对应的数分别是该点的横、纵坐标; (2)在平面直角坐标系中描点:分别过横坐标及纵坐标对应的点作横、纵轴的垂线,两垂线的交点就是所要描出的点. 类型二　点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系 　　例2 (教材补充例题)已知平面直角坐标系中有一点M(m-1,2m+3). (1)当m为何值时,点M到x轴的距离为1? (2)当m为何值时,点M到y轴的距离为2? 解:(1) 根据题意,得|2m+3|=1, ∴2m+3=1或2m+3=-1, ∴m=-1或m=-2. (2)根据题意,得|m-1|=2, ∴m-1=2或m-1=-2, ∴m=3或m=-1. 【归纳总结】 点到坐标轴的距离:点P(x,y)到x轴的距离是|y|,到y轴的距离是|x|. 类型三　各象限内及坐标轴上点的坐标特征 例3 (教材补充例题)(1)点(-2,-4),(-2,4),(2,4),(2,-4)中,属于第三象限的是点　(-2,-4)　,属于第四象限的是点　(2,-4)　.  (2)若点P(a,2-a)在第一象限,则a的取值范围是　0<a<2　;若点P(a,2-a)在第四象限,则a的取值范围是　a>2　.  (3)若点P(a,2-a)在x轴上,则a　=2　;若点P(a,2-a)在y轴上,则a　=0　.  (4)若点P(a,2-a)在第一、三象限的角平分线上,则a=　1　.  【归纳总结】 各象限内及坐标轴上点的坐标特征: (1)各象限内点的坐标特征: 若点P(x,y)在第一象限,则x>0,y>0,反之也成立; 若点P(x,y)在第二象限,则x<0,y>0,反之也成立; 若点P(x,y)在第三象限,则x<0,y<0,反之也成立; 若点P(x,y)在第四象限,则x>0,y<0,反之也成立. (2)坐标轴上的点的坐标特征: 若点P(x,y)在x轴上,则x为任意实数,y=0,反之也成立; 若点P(x,y)在y轴上,则x=0,y为任意实数,反之也成立; 若点P(x,y)在原点处,则x=0,y=0,反之也成立. 1．已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)位于(　A　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】 ∵点P(0，m)在y轴的负半轴上， ∴m＜0， ∴－m＞0，∴－m＋1＞1， ∴点M(－m，－m＋1)位于第一象限． 2．如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为(3，9)，(12，9)，则顶点A的坐标为(　D　) 第2题图 A．(3，15) B．(6，1) C．(13，2) D．(15，3) 3．已知a＋b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是(　B　) 第3题图 A．(a，b) B．(－a，b) C．(－a，－b) D．(a，－b) 【解析】 ∵a＋b＞0，ab＞0， ∴a＞0，b＞0. 又∵小手位于第二象限， ∴盖住的点的坐标可能是(－a，b)． 4．若点P(m＋1，m)位于第四象限，则点Q(－3，m＋2)位于第__二__象限． 【解析】 ∵点P(m＋1，m)位于第四象限， ∴∴－1＜m＜0， ∴1＜m＋2＜2， ∴点Q(－3，m＋2)位于第二象限． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1，0)，B(5，0)，C(3，3)，D(2，4)，求四边形ABCD的面积． 第5题图 解：如答图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F. 第5题答图 易知S△ADF＝×(2－1)×4＝2， S梯形DCEF＝×(3＋4)×(3－2)＝3.5， S△BCE＝×(5－3)×3＝3， ∴S四边形ABCD＝S△ADF＋S梯形DCEF＋S△BCE＝2＋3.5＋3＝8.5. 6．已知点P(3a－15，2－a)． (1)若点P位于第四象限，它到x轴的距离是4，试求出a的值． (2)若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标． 解：(1)由题意，得 解得a＞5. ∵点P到x轴的距离是4， ∴|2－a|＝4， 解得a＝－2(不合题意，舍去)或6. (2)∵点P(3a－15，2－a)位于第三象限， ∴ 解得2＜a＜5. 又∵点P的横、纵坐标都是整数， ∴a＝3或4. 当a＝3时，点P(－6，－1)， 当a＝4时，点P(－3，－2)． 综上所述，点P的坐标为(－6，－1)或(－3，－2)． 第2课时　建立适当的直角坐标系 教材的地位 和作用 　本节课进一步巩固平面直角坐标系的知识,在给定的直角坐标系中,会根据点的坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁,是以后学习数学的基础 教 学 目 标 知识与技能 　1.会根据所要表示的图形的需要建立直角坐标系,并用坐标表示图形上的点. 　2.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单的图形 过程与方法 　在联想、模仿的过程中,体会建立直角坐标系的方法 情感、态度 与价值观 　了解建立直角坐标系有多种方法,进一步养成重视实践、善于观察的习惯,体验数学活动充满着探索与创造 教学 重点 难点 重点 　根据需要建立适当的直角坐标系,在直角坐标系中画出图形 难点 　根据已知条件,建立适当的直角坐标系 易错点 　同一个点在不同的直角坐标系下的坐标不同 知识点　建立合适的平面直角坐标系,求点的坐标 建立平面直角坐标系,主要有以下几种方法: (1)以某已知点为原点,使它的坐标为(0,0); (2)以图形中某线段所在直线为x轴或y轴; (3)以已知线段的中点为原点; (4)以两直线的交点为原点; (5)在轴对称图形中,以对称轴为x轴或y轴等. 1.图5是某动物园平面示意图的一部分,网格中小正方形的边长代表实际中的100米.以大门为坐标原点,向东方向为x轴正方向,向北方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,分别写出蛇山、水族馆及大象馆的坐标(以1米为1个单位). 图5 解:图略.蛇山的坐标为(300,200);水族馆的坐标为(500,0);大象馆的坐标为(300,-300). 【例题探究】 类型一　建立平面直角坐标系,用坐标表示点的位置 例1 (教材补充例题)如图6是某市几个旅游景点的示意图(图中每个小正方形的边长均为1个单位),请以图中某一景点为原点画出直角坐标系,并用坐标表示出下列景点的位置:光岳楼、金凤广场、动物园、山陕会馆. 图6 解: 答案不唯一,如以山陕会馆为原点,向东的方向为x轴的正方向,向北的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,则各景点位置分别为光岳楼(-3,1);金凤广场(-5,-0.5);动物园(4,4);山陕会馆(0,0).画图略. 【归纳总结】 建立直角坐标系的常见方法: (1)把某些特殊的线段所在的直线作为x轴或y轴(如高、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为x轴或y轴. (3)以某个已知点为原点等. 类型二　探索平面直角坐标系中图形的面积 例2 (教材补充例题)在如图7所示的网格中,△ABC的顶点A的坐标为(0,5),B的坐标为(-2,2). (1)根据点A,B的坐标在网格中建立平面直角坐标系,并写出点C的坐标; (2)求S△ABC. 　 图7 解:(1)平面直角坐标系如图所示,C(2,3). (2)S△ABC=4×3-×4×1-×2×2-×2×3=5. 【归纳总结】 直角坐标系中求几何图形面积的一般方法: 在平面直角坐标系中求几何图形的面积,一般是把几何图形补成长方形,先求出长方形的面积,再减去多出的三角形的面积,即可得到所求几何图形的面积. 1．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标系的单位长度取1 mm，则图中转折点P的坐标表示为(　C　) 　 第1题图 A．(5，30) B．(8，10) C．(9，10) D．(10，10) 2．如图，点A的坐标为(1，1)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能为(　D　) A．(1，0) B．(2，0) C．(－，0) D． 第2题图 3．用大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案．若点A的坐标为(－2，5)，则点B的坐标为__(－6，4)__． 第3题图 【解析】 设长方形的长为x，宽为y， 由题意，得 解得 ∴|xB|＝2x＝6，|yB|＝x＋y＝4. 又∵点B位于第二象限， ∴点B(－6，4)． 4．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点按顺时针方向旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面的描述依次连续变换．例如：如图，点O(0，0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到点O1(1，0)，再将点O1(1，0)绕原点按顺时针方向旋转90°得到点O2(0，－1)，再将点O2(0，－1)绕原点按顺时针方向旋转90°得到点O3(－1，0)……点(0，1)经过“011011011”变换后得到的点的坐标为__(－1，－1)__． 第4题图 【解析】 点(0，1)经过“011”变换得到点(－1，－1)，点(－1，－1)经过“011”变换得到点(0，1)，点(0，1)经过“011”变换得到点(－1，－1)． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.以A为坐标原点，AB方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，求B，C两点的坐标． 第5题图 解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， 即点B的坐标为(5，0)． 如答图，过点C作CD⊥AB于点D， 第5题答图 则S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝＝， ∴AD＝＝， ∴点C的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$