数列专题十八讲义-2024届高三数学二轮专题复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十八 知识点一 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用, 利用an与sn关系求通项或项 典例1、已知数列的前项和为，，______.指出、、…中哪一项最大，并说明理由.从①，，②是和的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 随堂练习：已知正项数列的前n项和为，，当且时，. （1）求数列的通项公式； （2）请判断是否存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列. 典例2、已知等差数列的公差为，前项和为，且． （1）求数列的通项公式和； （2）若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围． 随堂练习：已知是公差不为0的等差数列，为其前n项和，，. （1）数列的通项公式； （2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项. 典例3、对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数． （1）定义在R上的函数满足：对任意，，都有，且；又数列满足． （Ⅰ）求证：是数列的母函数； （Ⅱ）求数列的前n项和． （2）已知是数列的母函数，且．若数列的前n项和为，求证：． 随堂练习：已知数列 （1）令，求证：数列是等比数列； （2）若，求数列的前项和． 知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用, 利用an与sn关系求通项或项 典例4、已知等差数列的前n项和为，且，；数列的前n项和，且，数列的，． （1）求数列、的通项公式； （2）若数列满足：，当时，求证：． 随堂练习：正项递增数列的前项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，，，数列的前项和为，证明：. 典例5、设首项为a的等比数列的前项和为，若等差数列的前三项恰为，，. （1）求数列，的通项公式；（用字母a表示） （2）令，若对恒成立，求实数a的取值范围. 随堂练习：已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满 足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 典例6、已知数列的前n项积. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项为，求的最小值. 随堂练习：已知正项数列的前项和为，且. （1）求； （2）求证：数列是等差数列. （3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？ 典例7、设数列满足． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和的最大值及此时的值； （3）求数列的前项和． 随堂练习：在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中， 并解答．设等差数列的前n项和为，且,． （1）求的最小值； （2）若数列满足____________，求数列的前10项和． 2025高考--数列（一轮复习）课时十八答案 典例1、答案： ①②均能得到最大. 解: 因为，故， 故. 当时，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以，故，也即是 故，所以为等差数列. 若选①， 因为，，故， 故，，故最大. 若选②，则，故，解得， 故，故，故最大. 随堂练习：答案： （1）；（2）不存在. 解：（1）当且时，有，可得， 由，满足该式， 可得当时，有，平方后可得 当且时，有 可化为 有 由，有，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 有 故数列的通项公式为 （2）由题意有 又由（1）可知 有 由，有，，有 可得 故不存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列. 典例2、答案： （1）， （2） 解：（1）为等差数列，且，，即， 又公差，．， 所以，． （2），， ，① ，② ①②得 ， ，， ， ，且， 时，， 又，时，， 存在，使得对任意，总有成立． ，， 实数的取值范围为. 随堂练习：答案： （1）； （2）. 解：（1）由题设，，可得， 所以. （2）由（1）知：， 若使为数列中的项，则必须为整数且m为正整数， 因此得或， 当时，，而是数列的最小项，故不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以. 典例3、答案： （1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）； （2）证明见解析. 解：（1）（Ⅰ）由题知， 且． 是数列的母函数； （Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首项和公差均为2的等差数列，故． ① ② 两式相减得： ； （2）由题知：，．， ，从而是以为首项， 为公比的等比数列． 又． 故当时， ． 随堂练习：答案： （1）见解析 （2） 解：（1）证明：因为，所以，即， 又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）得， ， 则， ， 两式相减得， 所以． 典例4、答案： （1）， （2）证明见解析 解：（1）因为，由，得， 所以，即， 设等差数列的公差为d， 所以， 所以． 由，，得，， 两式相减得， 即， 又， 所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列，则； （2）由（1）知：，， ∴ ． 随堂练习：答案： （1）或 （2）证明见解析 解：（1）当时，，解得或. 当时，，即，解得或，∴. 当时，，即，解得. 由， 当时，， 两式相减得，即， 当时，，所以，即， ∴或. （2）当时，，，则，. ，则. ∴. ∴. 典例5、答案： （1）， （2） 解：（1）设等比数列的公比为，依题意有，故， 所以，即，解得， 所以， 又，所以公差， 所以； （2）， 令，则， ， 所以， 所以， 由题意，对都有，即恒成立， 令，则时， 故时，数列递减，又，故， 所以，即的取值范围为. 随堂练习：答案： （1）， （2） 解：（1）时，①，②， ①-②得， 当时，③，④， ③÷④得. 由上可得，即，化简得. 当时，，，两式相等得，. 故，因此且，故. 综上，. （2）， ⑤ ⑥ ⑤－⑥得：，， 将代入得， 化简得， 因在单调递增，故的最小值为－4，故. 典例6、答案： （1） （2） 解：（1）. 当时，； 当时，，也符合. 故的通项公式为. （2）， ， 是以为首项，2为公差的等差数列， ， 当时，的最小值为. 随堂练习：答案： （1），；（2）证明见解析； （3）数列的前9或前10项的和最小，最小值为 解：（1）由已知得，，，； ，， 化简得，，又由已知得，， （2）由题意得，，① 令，得，② 得，， 化简得，，进而得到， ，又由为正项数列得，， 故有，，所以，，故数列是等差数列， 由（1）得，，所以， （3）由（2）得，，明显地，为等差数列，设的前项和为， 故有，， 根据二次函数的性质，的对称轴为，因为为正整数， 明显地，取或时，有最小值， 故最小值为，，所以，数列的前9或前10项的和最小，最小值为. 典例7、答案：（1）； （2）当，取得最大值； （3）. 解:（1）由题意知，， 所以 所以， 当时，符合通项公式， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）可得，由等差数列的求和公式， 可得 ∴当，取得最大值，且； （3）由（1）知，令，为的前项和，则， ∴ ． 随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析 解：（1）由题，，，所以， 则， 所以当时，的最小值为. （2）设数列的前项和为， 选①，由（1），，令，即, 所以， 所以； 选②，由（1），， 所以； 选③，由（1），，， 所以 ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$