数列专题八讲义-2024届高三数学二轮专题复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时八 知识点一 等差数列的单调性,等比数列通项公式的基本量计算,求等比数列中的最大（小）项, 数列新定义 典例1、对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称 为“数列”． （1）若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由； （2）已知数列为等差数列， ①若是“数列，，且，求所有可能的取值； ②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”． 随堂练习：已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数 列如下：①； ②，其中． （1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列； （2）当时，若，求证：； （3）当时，若，求证：． 典例2、设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数. （1）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，； （2）若，，，，…，为公比为的等比数列，求； （3）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有. 随堂练习：已知数列的各项均为正整数，设集合，记 的元素个数为. （1）①若数列：，，，，求集合，并写出的值； ②若数列：，，，，且，，求数列和集合； （2）若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”； （3）请你判断是否存在最大值，并说明理由. 知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算,等比中项的应用, 数列不等式能成立（有解）问题 典例3、已知数列、满足，，，﹒ （1）求证：为等差数列，并求通项公式； （2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 随堂练习：已知数列满足，（为非零常数），且. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列满足，且； （i）求数列的通项公式； （ii）若对任意正整数i，，都成立，求实数的取值范围. 典例4、设首项为a的等比数列的前项和为，若等差数列的前三项恰为，，. （1）求数列，的通项公式；（用字母a表示） （2）令，若对恒成立，求实数a的取值范围. 随堂练习：已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满 足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 典例5、已知数列的前n项和为． （1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n． 随堂练习：已知数列中，，数列的前项和为满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 典例6、已知数列{}满足 （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列{·}的前2022项和； 随堂练习：已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 2025高考--数列（一轮复习）课时八答案 典例1、答案： （1）是“数列”，不是“数列”；（2）①9,10,12,16；②证明见解析． 解：（1），对任意的，，，，， 取，则，∴是“数列”， ，对任意的，，，， 为偶数，而为奇数，因此不存在 使得，∴不是“数列”； （2）数列为等差数列， ①若是“数列，，且，，， ， 对任意的，，，， ，由题意存在，使得， 即，显然， 所以，， ，所以是8的正约数，即，2，4，8， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 综上，的可能值为9，10，12，16； ②若对任意，存在，使得成立， 所以存在，，， 设公差为，则，， ， 对任意的，，，， ，取，则， 所以是“数列”． 随堂练习：答案：（1）； （2）见解析； （3）见解析. 解：（1）因为数列A：4，3，2，1，， 所以. 因为， 所以，，， ，. 故数列A的伴随数列为. （2）当时，，显然有； 当时，只要证明. 用反证法，假设， 则，从而，矛盾. 所以. 再根据为正整数，可知. 故当时，. 当时，，有，此时，命题成立； （3）当时，由（2）的结论，中至少有两个1， 现假设中共有个1，即 则. 因为若，则，矛盾. 所以. 根据的定义可知，，， ， 以此类推可知一直有，再由后面，可知； 另一方面与奇偶性相同，所以. 典例2、答案：（1）数列，，…，是6,4,3,1,1. （2） （3） 解: （1）解：数列，，…，是6,4,3,1,1. （2）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列， 因此数列，，…，为，，…，2 下面证明 假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然 所以. 由题意可得，， ，…，，…，. 所以 故 即 （3）对，表示，，…，中大于等于的个数 由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1， 故，由于 故 由于，故当时， 即. 接下来证明对， ，则，即1,2，…，，从而 故， 从而1,2，…，，故，从而，故有 设，即，根据集合的定义，有. 由知，1,2，…，，由的定义可得， 而由，故 因此，对， 随堂练习：答案： （1）①；②数列：，，，，； （2）证明见解析； （3）不存在，证明见解析. 解：（1）因为，，，，，， 所以集合，. 因为：，，，，且，所以，，均不相等， 所以，，都是集合中的元素，因为， 所以，可得：，， 所以数列：，，，，. （2）充分性：是递增数列，若为等差数列，则， 设的公差为，，当时，， 所以，所以，故充分性成立. 必要性：若是递增数列，，则为等差数列， 因为是递增数列，所以， 所以，且互不相等， 所以， 又因为， 所以且互不相等， 所以，，，， 所以，所以为等差数列，必要性成立. 所以若是递增数列，“”的充要条件是“为等差数列”. （3）假设存在最大值为，即中有个元素， 分别为，且， 不妨设，其中且与均是正整数， 则，且也是正整数，所以， 所以中有个元素，与假设中有个元素矛盾， 所以假设不成立，所以不存在最大值. 典例3、答案： （1）证明见解析；. （2）. 解：（1）∵，，两边同除以得： ，从而，， 是首项为1，公差为1的等差数列，， ∴； （2）由，， ∴，∴， ∴， ∴， ， 两式相减得，， ∴ ＝， 中每一项，为递增数列，∴， ∵，∴， ， . 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 解：（1）由 可得 即， 因此是以为首项，为公比的等比数列. （2）（i）因为 所以由可得 因此 即 （ii）当n为奇数时，单调递减，得； 当n为偶数时，单调递增，得； 因为，所以， 因此的最大值为，最小值为， 因为对任意正整数i，，都成立，所以，即 解得. 典例4、答案： （1）， （2） 解：（1）设等比数列的公比为，依题意有，故， 所以，即，解得， 所以， 又，所以公差， 所以； （2）， 令，则， ， 所以， 所以， 由题意，对都有，即恒成立， 令，则时， 故时，数列递减，又，故， 所以，即的取值范围为. 随堂练习：答案： （1）， （2） 解：（1）时，①，②， ①-②得， 当时，③，④， ③÷④得. 由上可得，即，化简得. 当时，，，两式相等得，. 故，因此且，故. 综上，. （2）， ⑤ ⑥ ⑤－⑥得：，， 将代入得， 化简得， 因在单调递增，故的最小值为－4，故. 典例5、答案： （1）证明过程见解析，； （2）；n为5． 解：（1）由，得， 即， ． 即， 又， 数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ； （2）由（1）知． ，① ，② ①-②，得 ， ， ， 因为 所以，所以是递增数列， ， 使不等式成立的最大正整数n为5． 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）当时，，； 当时，， 则， 又满足， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，则，； ， 则， ， . 典例6、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）依题设可得 ∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列， ∴， ∴ （2）由（1）可得， ∴， ∴ 随堂练习：答案： （1） （2）当时，；当时， 解：（1）证明：，变形为：，， ∴数列是等比数列，首项为6，公比为3. ∴， 变形为：，， ∴， ∴ （2）由（1）得， ∴当时，数列的前项和 . 当时，数列的前项和 . ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$