湖北省崇阳县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学模拟试题（三）

崇阳一中高一数学期末考试模拟试题（三） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2. 树人中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为（ ） A. 102 B. 103 C. 109.5 D. 116 3. 设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一条直线 4. 数学家纳皮尔发明了对数， 对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算．已知， 设， 则所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 6. 在中，角，，所对应的边分别是，，，若，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，△为边长为的等边三角形，以A，B，C，P为顶点的三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分. 9. 已知数据的平均数为，方差为.由这组数据得到新数据，其中，则（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的方差是 C. 新数据的平均数是 D. 新数据的标准差是 10．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B． C．若复数满足，则或 D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　） A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 函数的图像一定过定点，则点的坐标是__________. 13．如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O'A'＝2，O'B'＝3，则△AOB的周长为　 　． 14．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题:本大題共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知向量，且. （1）求的值； （2）求在方向上的投影向量的坐标. 16．（15分）已知函数. （1）求在区间的最小值； （2）将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求的单调递减区间. 17．（15分）如图，平面，，，，，为中点． (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 18．（17分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数和，样本方差分别为和.已知. (1)求； (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）. 19.（17分） 如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网. （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 崇阳县第一高级中学高一年级数学期末复习（三）答案 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 树人中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为（ ） A. 102 B. 103 C. 109.5 D. 116 【答案】C 【分析】利用第75百分位数的知识即可求解. 【详解】，这8名学生数学成绩的第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数. 故选：C. 3. 设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定一一判定即可. 【详解】对于A：内有无数条直线与平行推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误； 对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误； 对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误； 对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确． 故选：D 4. 数学家纳皮尔发明了对数， 对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算．已知， 设， 则所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得. 【详解】， ， . 故选：C. 5. 定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【分析】判断出函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期可求解. 【详解】，则，从而， 即以4为周期，故. 故选：D. 6. 在中，角，，所对应的边分别是，，，若，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【分析】利用正弦定理可出角，进而可得角，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得，即，所以， 又，所以，所以， 所以的面积. 故选: A 7. 已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，△为边长为的等边三角形，以A，B，C，P为顶点的三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先由三棱锥的体积的最大值为求得球半径，再去求球O的表面积即可解决. 【详解】设为△外接圆的圆心，球的半径为R， 当点P，O，三点共线时，点P到平面ABC的距离h最大， 也就是三棱锥体积最大，此时， 因为，所以， 圆的半径， 所以，即，解得， 所以球O的表面积为. 故选：A 8. 若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由题意存在实数，使得，则满足，然后对参数进行分类讨论即可解决. 【详解】依题意可知，； 当时，，显然成立； 当时，由， 令， 由在为递增函数， 所以在为递增函数，且， 因此，即， 综上可知. 故选：B. 9. 已知数据的平均数为，方差为.由这组数据得到新数据，其中，则（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的方差是 C. 新数据的平均数是 D. 新数据的标准差是 【答案】AD 【解析】 【分析】由平均数与方差的计算公式判断 【详解】由题意得， 由平均数与方差公式得的平均数是， 方差是，标准差是，故AD正确，BC错误 故选：AD 10．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B． C．若复数满足，则或 D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】BD 【分析】由复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】对于A，由于复数不能比较大小，故A错误； 对于B，设，则， 所以，故B正确； 对于C，设，若复数满足，则， 所以复数不只是或，故C错误； 对于D，设，由于，所以， 所以，，所以在复平面内对应的点所构成的轨迹为轴， 是直线，故D正确； 故选：BD. 11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　） A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 【答案】BC 【解答】解：取DD1 中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影， ∵AM与DD1 不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错； 取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，故B正确； 把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝，故C正确； 假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点， 连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错． 故选：BC． 12. 函数的图像一定过定点，则点的坐标是__________. 【答案】 【分析】用指数函数恒过点推理指数型函数恒过点即可. 【详解】因为函数， 所以，令，解得， 此时， 所以函数的图象过定点. 故答案为：. 13．如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O'A'＝2，O'B'＝3，则△AOB的周长为　12　． 【答案】12 【解答】解：根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B＝3，高OA＝2O'A'＝4， ∴AB＝＝5， ∴直角三角形OAB的周长为3+4+5＝12． 故答案为：12 14．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】解：由，得， 即，   ，， 则， ，则，即． 故答案为： 15.（13分）已知向量，且. （1）求的值； （2）求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】（1） 【分析】（1）由求出，可求出的值，进而可得答案； （2）利用投影向量的定义，平面向量的夹角公式以及平面向量数量积的运算法则求解即可. 【小问1详解】 根据条件， ，则，即. 【小问2详解】 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量， 其中为，是与同向的单位向量，即， 由夹角公式，， 则， 而. 故. 16．（19-20高一下·云南昆明·期末）已知函数. （1）求在区间的最小值； （2）将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求的单调递减区间. 【答案】（1）-1；（2），. 【解析】(1)根据正余弦的倍角公式、辅助角公式化简，确定它在内的最值，即可求得最小值；(2)根据图象的平移得到，由于为增函数，根据复合函数的单调性及余弦函数的性质有在上单调递减，即可求得递减区间 【详解】（1）解：， 当时， ，有 ∴当时，在区间的最小值为-1. （2）由题意知： ∴， 由，解得，. 因此，函数的单调递减区间为， 【点睛】本题考查了三角函数，根据二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数式，并求区间最值，由函数图象平移得到新函数解析式，结合复合函数的单调性求单调区间 17．（15分）如图，平面，，，，，为中点． (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）可知三棱锥的高为，结合锥体的体积公式运算求解； （3）结合（2）中的结果，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为为中点，则且， 又因为，，，即且， 可得且，即四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以∥平面. （2）因为，，所以， 所以， 又因为平面，可知三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积， 因为，，则， 由平面，平面，则，， 又因为，，则， 所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 所以点到平面的距离为. 18．（17分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数和，样本方差分别为和.已知. (1)求； (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】(1)， (2)认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【分析】（1）由结合平均数公式可求出，再利用方差公式可求出， （2）分别计算，然后比较大小即可得结论. 【详解】（1）由题意得， 解得，所以， 所以 ， （2）由（1）中数据可得： 而， 因为 所以成立 所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 19. 如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网. （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）时，面积取最小值为 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，由勾股定理得，知为正三角形，由此可得结果； （2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得； （3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值. 【小问1详解】 在中，，，，， 在中，由余弦定理得：，； ，则，， 为正三角形，则的周长为，即防护网的总长度为. 【小问2详解】 设， ，，即， 在中，由得：， ，即，又， ，解得：，即. 【小问3详解】 设，由（2）知：， 在中，由得：， ， 当且仅当，即时，面积取最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$