第六章平面向量及其应用综合检测（一）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章《平面向量及其应用》综合检测（一） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C C A A D ABC AC BCD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，，且，则（　　） A. B. 5 C. D. 解：由，可得，代入坐标运算可得，解得， 所以，得， 2. 若三点共线，则（ ） A. B. 5 C. 0或 D. 0或5 解：因为， 若三点共线，则， 所以， 解得或5． 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 解：，由，故，又， 故，，由余弦定理可得： ， 即. 4. 如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 解：∵为的中点，∴， ∴， ∵，∴， 则． 5. 若在已知和的条件下，有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：解析因为有两个解，所以， 所以，即. 6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 解：因，则， 所以在上的投影向量为. 7. 若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 解：∵两个向量，的夹角是，是单位向量，， ∴． ∵，∴， ∴． 设向量与的夹角为，则，∵，∴． 8. 已知的内角、、所对的边分别为、、，，边上的高为，的面积为，则不正确的是（ ） A B. C. D. 解：由三角形的面积公式可得，可得，A对； 由余弦定理可得，，B对； ，C对； ，则， 所以，， 当时，， 当时，， 当时，，则. 综上所述，，D错. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 C. 若非零向量与共线，则 D. 若，则 解：对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等， 方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 10. 如图，已知长方形中，，则（ ） A. 的最小值为2 B. 当时，与的夹角余弦值为 C. 当时， D. 对任意的 解：以为坐标原点，分别以向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则. 对于A，显然， 则，当，即时，取得最小值2，A正确； 对于B，当时，与的夹角余弦值为 ，B错误； 对于C，当时，，而，C正确； 对于D，，当时，取得最小值， 当或1时，的值为1，所以对任意的，D错误. 11. 如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. D. 过作交于点，则 解：对于A，连接，在中，，， 由于，所以，故， 解得， 所以，，所以， 故， ， 故四边形的面积为，故A错误； 对于B，设外接圆半径为，则， 故该外接圆的直径为，半径为，故B正确； 对于C，连接，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：， 由于，所以，即， 解得，所以，所以，且， 所以，即在向量上的投影长为1，且与反向， 故，故C正确； 对于D，由C选项可知：，故，且， 因为，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故， 由A选项可知：，显然为锐角， 故，， 所以 ， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则______． 解：因为， 所以， 13. 已知为坐标原点，点，，若与共线，则实数_____． 解：因为点，， 所以， 因为与共线， 所以，解得 14. 已知，是边AB上一定点，满足，且对于AB上任一点P，恒有．若，，则的面积为________． 解：以所在的直线为横轴，以线段的中垂线为纵轴建立如图所示的直角坐标系， 设，，，因为，所以， 设，， ， 由， 设，该二次函数的对称轴为：， 当时，即， 则有，所以无实数解， 当时，即， 则有，所以无实数解， 当时，即， 则有，而，所以， 显然此时在纵轴，而，所以该三角形为等边三角形， 故的面积为， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，与的夹角为. （1）求； （2）求. 解：（1）因为，，与夹角为， 所以； （2）. 16. 如图所示，在中D、F分别是BC、AC的中点，，，． （1）用，表示向量，； （2）求证：B，E，F三点共线． 解：（1）∵，，D，F分别是BC，AC的中点， ∴， ， （2）由（1），，∴ ∴与共线，又∵与有公共点B， 故B，E，F三点共线． 17. 已知向量，，角，，为的内角，其所对的边分别为，，. （1）当取得最大值时，求角大小； （2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围. 解：（1） ，令，， 原式，当，即，时，取得最大值. （2）当时，，.由正弦定理得：（为的外接圆半径） 于是 . 由，得，于是 ，， 所以的范围是. 18. 已知在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求； （2）若，求的面积； （3）求最大值，并求其取得最大值时的值． 解：（1），， ， ，． ， 又在中，，． （2），， 即，解得或， 当时，， 当时，， （3），，． 其中，，， 在中，， 当时，取到最大值， 此时，． 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量，求证：； （3）若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （i）当时，求的最大值； （ii）写出的最大值．（只需写出结果） 解：（1）因为，， 且， 所以； 又，， 是 ； （2）因为向量，， 且向量， 则， 所以， 同理， 所以； （3）（i）设，因为， 所以， 所以， ， 当，即时， 取得最大值； （ii）的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《平面向量及其应用》综合检测（一） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，，且，则（　　） A. B. 5 C. D. 2. 若三点共线，则（ ） A. B. 5 C. 0或 D. 0或5 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 4. 如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 若在已知和的条件下，有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角、、所对的边分别为、、，，边上的高为，的面积为，则不正确的是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 C. 若非零向量与共线，则 D. 若，则 10. 如图，已知长方形中，，则（ ） A. 的最小值为2 B. 当时，与的夹角余弦值为 C. 当时， D. 对任意的 11. 如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. D. 过作交于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则______． 13. 已知为坐标原点，点，，若与共线，则实数_____． 14. 已知，是边AB上一定点，满足，且对于AB上任一点P，恒有．若，，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，与的夹角为. （1）求； （2）求. 16. 如图所示，在中D、F分别是BC、AC的中点，，，． （1）用，表示向量，； （2）求证：B，E，F三点共线． 17. 已知向量，，角，，为的内角，其所对的边分别为，，. （1）当取得最大值时，求角大小； （2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围. 18. 已知在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求； （2）若，求的面积； （3）求最大值，并求其取得最大值时的值． 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量，求证：； （3）若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （i）当时，求的最大值； （ii）写出的最大值．（只需写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $$