专题21 函数模型的应用8种常见考法归类（55题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题21 函数模型的应用8种常见考法归类（55题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源独家享有版权，侵权必究！1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 考点二 利用二次函数模型解决实际问题 考点三 分段函数模型的应用 考点四 指数型函数模型 考点五 对数型函数模型 考点六 幂函数模型的应用 考点七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 考点八 建立拟合函数模型解决实际问题 知识点1：常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 解题策略 1、应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． （3）求模——求解数学模型，得出数学模型． （4）还原——将数学结论还原为实际问题． 2、指数函数模型问题的求解策略 (1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解． (2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数.　 3、对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 4、建立拟合函数与预测的基本步骤 考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 1.（2023·高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 . ①；②；③；④ 2．（2024·高一单元测试）下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（    ） x -2 -1 0 1 2 3 y 0.26 1.11 3.96 16.05 63.98 A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．对数函数模型 D．指数函数模型 3．（2024·全国·高一专题练习）若三个变量，，随着变量x的变化情况如下表.则关于x分别呈函数模型：，，变化的变量依次是（ ） x 1 3 5 7 9 11 5 25 45 65 85 105 5 29 245 2189 19685 177149 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6 A．，， B．，， C．，， D．，， 4.（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024秋·高一单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据: x 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋·高一课时练习）有一组实验数据如下: t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（　　） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高一专题练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（    ） 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A． B． C． D． 8．（2023春·陕西西安·高二统考期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： 月份 2 3 4 5 6 … 元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（    ）（参考数据：，） A．8 B．9 C．10 D．11 10．（2024秋·高一课时练习）某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③ (其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选 作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为 ． 11.（2023春·湖南株洲·高一校考开学考试）某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下： 上市时间天 2 6 20 市场价元 102 78 120 为了描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系，现有以下三种函数模型供选择：（1）；（2）；（3）． (1)根据如表数据，请选取一个恰当的函数模型并说明理由； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 12．（2024秋·浙江丽水·高一统考期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 13.（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表： 时间t 7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19 为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择： ①， ②， ③， ④． (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式； (2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值． 考点二 利用二次函数模型解决实际问题 14.（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 . 15.（2023·高一课时练习）某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为 ． 16.（2023·高一课时练习）由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据． 刹车时车速 15 30 40 50 60 80 刹车距离 1.23 6.20 11.5 17.80 25.20 44.40 (1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式； (2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算） 17.（2023·全国·高三专题练习）为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为 秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中．）      考点三 分段函数模型的应用 18.（2023秋·云南丽江·高一统考期末）华为消费者业务产品全面覆盖手机、移动宽带终端、终端云等，凭借自身的全球化网络优势、全球化运营能力，致力于将最新的科技带给消费者，让世界各地享受到技术进步的喜悦，以行践言，实现梦想.已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产量（万只）的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 19.（2023·全国·高一假期作业）某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.    (1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式； (2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据） 20.（2023春·高一平湖市当湖高级中学校联考期中）在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用. (1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？ (2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值. 21.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求： (1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？ (2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？ 考点四 指数型函数模型 22.（2023·高一课时练习）从盛满纯酒精的容器里到倒出酒精，然后用水充满，再倒出混合溶液，再用水充满，这样继续下去，若第次倒出纯酒精为（单位：L），则函数的表达式为 ．（假设酒精与水混合后相对体积不变） 23．（2024秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）某地投资亿元进行基础建设，年后产生的社会经济效益为亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 24.（2023春·湖南岳阳·高一统考期末）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（    ） A．17天 B．19天 C．23天 D．25天 25．【多选】（2024秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（    ）（参考数据：取） A．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次 B．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次 C．抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的 D．抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的 26．（2024秋·江苏南通·高三统考阶段练习）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2023年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（    ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，） A．20 B．16 C．12 D．7 27．（2024·安徽·校联考模拟预测）杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物，自古以来深受人们的喜爱，古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”根据杨梅单果的果型和颜色，可将其依次分为4个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的2级杨梅比4级杨梅多1倍，且1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，则4级杨梅的市场销售单价最接近（    ）） A．5.66元/千克 B．8.48元/千克 C．11.31元/千克 D．16元/千克 28．（2024秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：） A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h 29．（2024秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 考点五 对数型函数模型 30.（2023春·云南昆明·高二统考期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速（单位：）与鲑鱼的耗氧量的单位数的关系为，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为（    ） A．1 B．100 C．200 D．300 31．（2024秋·湖北·高三校联考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（    ） A． B． C． D． 32．（2024秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 33．（2024秋·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（    ） A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍 34．（2024秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）习近平总书记强调，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦.我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 （单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 35．（2024秋·山东临沂·高三校考期中）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾，2023年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办。会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平。香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比。若不改变带宽，而将信噪比从9提升至53，则最大信息传递率会提升到原来的（    ） 参考数据：． A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．1.7倍 36．【多选】（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则（    ） A．震级为2级的地震释放能量为焦耳 B．释放能量为焦耳的地震震级为3级 C．9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍 D．释放能量之比为的两场地震的震级相差2级 37．【多选】（2024秋·江西·高三赣州市第三中学校联考阶段练习）从到通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是（    ）（参考数据：） A．若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍 B．若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍 C．若不改变带宽，而将信噪比从255提升至增加了 D．若不改变带宽，而将信噪比从999提升至大约增加了 38．（2024秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是 . 考点六 幂函数模型的应用 39.（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元. （1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式； （2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？ 40.（2023·高一课时练习）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 41.（2023·全国·高三专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示． (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？ 42.（2023·高一课时练习）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 考点七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 43.（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是(    ) A． B． C． D． 44.（2024秋·高一单元测试）下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 45．（2024秋·高一课时练习）下列函数中，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 46．（2024秋·高一校考课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（    ） A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢 B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快 C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢 D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快 47．【多选】（2024秋·高一单元测试）函数，，，在区间上（    ） A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢 C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度 48．（2024秋·高一课时练习）当时，试探究三个函数的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为 ． 49．（2024秋·全国·高一随堂练习）三个变量随自变量的变化情况如下表： 则关于分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ， ， . 50．（2024·全国·高三专题练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 51．（2024·高一课时练习）若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ． 考点八 建立拟合函数模型解决实际问题 52.（2024·高一课时练习）某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家规定，一家商场进货的台数不高于的台数的倍，且进货至少台，而销售、的售价分别为元/台和元/台，若该家电商场每周可以用来进货、的总资金为万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售、电器的总利润（利润售价进价）的最大值为（ ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 53.（2024·高一课时练习）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为，，给出三个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据）（ ） A．2.72分钟 B．2.82分钟 C．2.92分钟 D．3.02分钟 54.（2024·高一课时练习）某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天． （1）写出n关于x的函数关系式； （2）要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）． 55.（2024·高一课时练习）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求的值及表达式 （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题21 函数模型的应用8种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源独家享有版权，侵权必究！1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 考点二 利用二次函数模型解决实际问题 考点三 分段函数模型的应用 考点四 指数型函数模型 考点五 对数型函数模型 考点六 幂函数模型的应用 考点七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 考点八 建立拟合函数模型解决实际问题 知识点1：常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 解题策略 1、应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． （3）求模——求解数学模型，得出数学模型． （4）还原——将数学结论还原为实际问题． 2、指数函数模型问题的求解策略 (1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解． (2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数.　 3、对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 4、建立拟合函数与预测的基本步骤 考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 1.（2023·高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 . ①；②；③；④ 【答案】① 【详解】由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快， 更为有前途的生意， 故答案为：①. 2．（2024·高一单元测试）下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（    ） x -2 -1 0 1 2 3 y 0.26 1.11 3.96 16.05 63.98 A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．对数函数模型 D．指数函数模型 【答案】D 【分析】利用各类型函数的特点，取点，设出函数解析式，代入其他对应值验证即可求解. 【详解】由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；故C错误； 取点， 设一次函数，则 ，解得，即， 而当时，，所以不是一次函数模型；故A错误； 设二次函数，则   解得 ，即. 当时，，故不满足题意；故B错误； 设指数函数，则 ，解得，即， 代入其他值，验证：接近；接近；接近；接近，故D正确. 故选：D . 3．（2024·全国·高一专题练习）若三个变量，，随着变量x的变化情况如下表.则关于x分别呈函数模型：，，变化的变量依次是（ ） x 1 3 5 7 9 11 5 25 45 65 85 105 5 29 245 2189 19685 177149 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数型的性质即可得其变化特征，即可求解. 【详解】由题表可知，随着x的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数型函数的变化；相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化. 故选:. 4.（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢， 对选项A：增长速度不变，不满足； 对选项B：时，增长速度越来越大，不满足； 对选项C：时，增长速度越来越大，不满足； 对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足. 故选：D 5．（2024秋·高一单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据: x 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察散点图符合指数型函数图象. 【详解】由题中表格数据画出散点图，如图所示， 观察图象，类似于指数函数图象， 对于A，是一次函数，图象是一条直线，所以A错误， 对于B，是以y轴为对称轴的二次函数，所以B错误， 对于C，是对数型函数，由于表中的取到了负数，所以C错误， 对于D，是指数型函数，所以D正确， 故选：D    6．（2024秋·高一课时练习）有一组实验数据如下: t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格中数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判断即可求解. 【详解】根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示， 结合选项，函数的增长速度越来越缓慢，不符合题意； 函数随着的增大，不断减小，不符合题意； 函数的增长速度越来越快，符合题意； 函数增长速度不变，不符合题意； 所以最接近的一个函数是， 故选：C 7．（2024·全国·高一专题练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（    ） 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：利用散点图看增长趋势确定函数，法二：结合表中数据，根据函数的性质判断. 【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随变大增长率变小，只有B符合；    法二：对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时， 时，代入值偏差较大，不符合要求； 对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢， 且在时，时，基本符合要求； 对于C，函数是二次函数，且当时，时， 代入值偏差较大，不符合要求； 对于D，函数，当时，代入值偏差较大，不符合要求， 故选：B. 8．（2023春·陕西西安·高二统考期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将，，分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解. 【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷， 即，，， 对于A中，函数，当时，和0.76相差较大； 对于B 中，函数，当时，和0.4相差较大； 对于C中，函数，当时，和0.4相差较大； 对于D中，函数，当时，，当时，， 当时，和0.76相差0.04， 综合可得，选用函数关系较为近似． 故选：D. 9．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： 月份 2 3 4 5 6 … 元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（    ）（参考数据：，） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出自变量的范围. 【详解】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数及的图象． 如图：    观察发现，这些点基本上是落在函数图象上或附近，因此用这一函数模型． 当时，，则有. 由且，最小值为10. 故选：C. 10．（2024秋·高一课时练习）某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③ (其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选 作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为 ． 【答案】 ③ 【分析】根据该同学的成绩变化选定函数模型，然后根据已知条件求得解析式. 【详解】由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢， 因此满足先上升后下降再上升的是， ∵，且， ∴，解得， ∴. 故答案为：③； 11.（2023春·湖南株洲·高一校考开学考试）某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下： 上市时间天 2 6 20 市场价元 102 78 120 为了描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系，现有以下三种函数模型供选择：（1）；（2）；（3）． (1)根据如表数据，请选取一个恰当的函数模型并说明理由； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 【答案】(1)选择，理由见解析 (2)当该纪念章上市10天时，市场价最低为70元 【详解】（1）随着时间的增加，的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意， 选择； （2）把点代入中， 得，解得， 当时，有最小值， 故当该纪念章上市10天时，市场价最低为70元． 12．（2024秋·浙江丽水·高一统考期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 【答案】(1)选择是最合适的模型，理由见解析 (2)；千件 【分析】（1）可利用特殊点与单调性，排除不合适的函数模型； （2）可将表中数据代入（1）中所选函数模型，求出函数，则每件的广告费用为,继而求其最值即可. 【详解】（1），在区间上单调递减， 与表中数据矛盾，该模型不合适, ，则函数在处无意义, 与表中数据矛盾，该模型不合适, 故选择是最合适的模型. （2）将表中的数据代入可得， 解得 所以； 设每千件的广告费用为， 则 ， 所以当时，最小值为， 故销售量增加达到千件时，才能使每千件的广告投入费用最少. 13.（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表： 时间t 7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19 为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择： ①， ②， ③， ④． (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式； (2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值． 【答案】(1)选择，理由见解析， (2)20 【详解】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增， 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， 因为可先单调递减后单调递增，故符合题意， 由表格数据可得，解得， 所以，经检验其他几组数据也满足表达式 （2）由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ，所以， 所以实数m的最大值为20 考点二 利用二次函数模型解决实际问题 14.（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 . 【答案】摩托车数量在51到59辆 【详解】由题意得，化简得， 得，解得， 因为取正整数， 所以该工厂在这周内生成的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标. 故答案为：摩托车数量在51到59辆 15.（2023·高一课时练习）某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为 ． 【答案】元 【详解】解：设此商品的销售单价为元，销售量为个，则为一次函数， 设，由题意可得，解得， 所以，，所以，， 设销售该商品的利润为元， 则， 故当时，取得最大值， 故答案为：元. 16.（2023·高一课时练习）由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据． 刹车时车速 15 30 40 50 60 80 刹车距离 1.23 6.20 11.5 17.80 25.20 44.40 (1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式； (2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算） 【答案】(1)选择二次函数模型， (2)， 【详解】（1）选择二次函数模型，显然函数图象经过点，再近似地选取两个点和， 设二次函数为， 故，解得， 可求得； （注：本题选取的点不同，所得到的函数解析式和下面所得的结果均可能不同．） （2）当时，； 当时，有，解得（负舍）． 17.（2023·全国·高三专题练习）为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为 秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中．）      【答案】 【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式， 因为，所以， 令，可得，即， 所以，所以. 所以排球能够在抛出点2以上的位置最多停留秒. 故答案为：. 考点三 分段函数模型的应用 18.（2023秋·云南丽江·高一统考期末）华为消费者业务产品全面覆盖手机、移动宽带终端、终端云等，凭借自身的全球化网络优势、全球化运营能力，致力于将最新的科技带给消费者，让世界各地享受到技术进步的喜悦，以行践言，实现梦想.已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产量（万只）的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万只时，利润最大，最大利润为万元 【详解】（1）依题意，利用利润等于收入减去成本，可得： 当时，； 当时，； 所以. （2）当时，， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时； 因为， 所以当年产量为万只时，利润最大，最大利润为万元. 19.（2023·全国·高一假期作业）某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.    (1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式； (2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据） 【答案】(1) (2)0.3小时后，5.2小时 【详解】（1）当时，由图象可设， 将点的坐标代入函数表达式，解得， 即当时，， 当时，将点的坐标代入函数， 得，解得，所以， 故. （2）当时，， 令，即，解得，即， 又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果， 当时，， 令，即，解得， 又，∴， 综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时. 20.（2023春·高一平湖市当湖高级中学校联考期中）在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用. (1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？ (2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值. 【答案】(1)7天 (2) 【详解】（1）释放的去污剂浓度为， 当时，，解得，所以； 当时，，解得，即； 故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天. （2）设从第一次喷洒起，经天，则浓度， ，当且仅当即等号成立. 所以的最小值为. 21.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求： (1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？ (2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？ 【答案】(1)3.65万元 (2)最高1万元，最低0.6万元 【详解】（1）超额第一个5万元可得奖金1000元，超额第二个5万元可得奖金2000元，超额第三个5元可得奖金3000元，超额第四个5万元可得奖金4000元， 所以当销售员的销售额超额部分为15万元时，可得奖金3000元，当销售员的销售额超额部分为20万元时，可得奖金7000元， 因为销售员某月获得奖金7200元， 所以销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间， 设超额部分比15万多元，提成比例为， 则，可得， 故他该月的销售额为万元． （2）设两个月的总奖金为，某销售员月份的销售额为万元，则销售员月份的销售额为万元， 则， ①当时，则， ， ②当时，则， ， ③当时， 则 ， ④当时， 则 ， 综上所述，，作出图像，    由图可知，当，即7月份销售额为30万元，奖金最低为0.6万元； 当或时，即7月份销售额为20或40万元，奖金最高为1万元． 考点四 指数型函数模型 22.（2023·高一课时练习）从盛满纯酒精的容器里到倒出酒精，然后用水充满，再倒出混合溶液，再用水充满，这样继续下去，若第次倒出纯酒精为（单位：L），则函数的表达式为 ．（假设酒精与水混合后相对体积不变） 【答案】 【详解】第1次酒精残留量， 第2次酒精残留量， 即第次酒精残留量,. 则第次倒出纯酒精为 故答案为：. 23．（2024秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）某地投资亿元进行基础建设，年后产生的社会经济效益为亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由求出的值，再令求出，从而求出. 【详解】依题意，显然，即，所以，则， 所以，令，即，所以， 即，所以，所以该地投资基础建设年后产生的社会经济效益是投资额的倍， 所以. 故选：C 24.（2023春·湖南岳阳·高一统考期末）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（    ） A．17天 B．19天 C．23天 D．25天 【答案】C 【详解】经过x天后，“进步”与“落后”的比， 所以， 两边取以为底的对数得，又，， 所以， 解得， 所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍. 故选：C. 25．【多选】（2024秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（    ）（参考数据：取） A．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次 B．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次 C．抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的 D．抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的 【答案】ACD 【分析】根据题意建立函数模型，利用指对函数的性质一一计算即可判定选项. 【详解】设抽气泵抽了次，若要使压缩袋内的气体少于原来的，则， 即，则．因为， 所以至少要抽5次，A正确，B错误． 抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的， C正确． ，D正确． 故选：ACD 26．（2024秋·江苏南通·高三统考阶段练习）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2023年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（    ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，） A．20 B．16 C．12 D．7 【答案】B 【分析】由，解方程即可. 【详解】依题意有时，，则， 当时，有，， . 故选：B 27．（2024·安徽·校联考模拟预测）杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物，自古以来深受人们的喜爱，古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”根据杨梅单果的果型和颜色，可将其依次分为4个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的2级杨梅比4级杨梅多1倍，且1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，则4级杨梅的市场销售单价最接近（    ）） A．5.66元/千克 B．8.48元/千克 C．11.31元/千克 D．16元/千克 【答案】C 【分析】根据题意，得到且，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由市场销售单价（单位：元/千克）近似满足函数关系式， 因为2级杨梅比4级杨梅多1倍，可得，解得， 又因为1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，可得，可得， 所以． 故选：C． 28．（2024秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：） A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h 【答案】C 【分析】根据所给模型解不等式即得． 【详解】由题意，，，， 故选：C． 29．（2024秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小整数值. 【详解】当时，， 所以，由得， ， 所以的最小整数值为. 故选：A 考点五 对数型函数模型 30.（2023春·云南昆明·高二统考期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速（单位：）与鲑鱼的耗氧量的单位数的关系为，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为（    ） A．1 B．100 C．200 D．300 【答案】B 【详解】因为，所以当鲑鱼静止时，，即， 化简得，所以； 故选:B. 31．（2024秋·湖北·高三校联考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可. 【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则， 而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为， 于是，，两式相减得，解得， 所以火箭发射时的声压约为. 故选：D 32．（2024秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得. 【详解】根据题意，将，代入可得； 将，代入可得； 所以可知. 故选：D 33．（2024秋·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（    ） A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍 【答案】C 【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解. 【详解】∵声音的等级式（单位：）与声音强度（单位：）满足， 又∵老师的声音的等级约为63dB， ，解得，即老师的声音强度约为， ∵两人交谈时的声音等级大约为， ，解得，即两人交谈时的声音强度约为， 老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍. 故选：C 34．（2024秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）习近平总书记强调，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦.我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 （单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对数转化可求燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值. 【详解】令，则， 故， 故选：C. 35．（2024秋·山东临沂·高三校考期中）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾，2023年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办。会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平。香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比。若不改变带宽，而将信噪比从9提升至53，则最大信息传递率会提升到原来的（    ） 参考数据：． A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．1.7倍 【答案】D 【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，根据题意计算，利用指数、对数的运算性质化简即可求解. 【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为， 则， ， . 最大信息传递率会提升到原来的倍. 故选：D. 36．【多选】（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则（    ） A．震级为2级的地震释放能量为焦耳 B．释放能量为焦耳的地震震级为3级 C．9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍 D．释放能量之比为的两场地震的震级相差2级 【答案】BD 【分析】利用给定的关系式，逐项计算判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，解得，A错误； 对于B，当时，，解得，B正确； 对于C，令9级地震释放能量为，8级地震释放能量为， 则，于是，C错误； 对于D，释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为， 则，且，两式相减得，解得，D正确. 故选：BD 37．【多选】（2024秋·江西·高三赣州市第三中学校联考阶段练习）从到通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是（    ）（参考数据：） A．若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍 B．若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍 C．若不改变带宽，而将信噪比从255提升至增加了 D．若不改变带宽，而将信噪比从999提升至大约增加了 【答案】ACD 【分析】计算可判断A；计算可判断B；计算的值可判断C；计算可判断D. 【详解】对于，若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍， 即，则增加一倍，所以正确； 对于，若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率， 而将高斯噪声功率降低为原来的一半， 即，所以B错误； 对于C，若不改变带宽，而将信噪比从255提升至1023， 则， 所以C增加了，所以C正确； 对于D，若不改变带宽，而将信噪比从999提升至4999， 则， 所以D正确. 故选：ACD. 38．（2024秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是 . 【答案】/ 【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解. 【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得， 将代入可得，. 故答案为：. 考点六 幂函数模型的应用 39.（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元. （1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式； （2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？ 【答案】（1）；（2）当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元 【详解】解：（1）设两种产品的利润与投资额的函数关系分别为： ， 结合已知得， 所以； （2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元， 依题意，获得的利润为， 令，则， 所以当，即时，取得最大值，， 故当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元. 40.（2023·高一课时练习）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为与的函数模型 (2)果树数量为时年利润最大 【详解】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 与表格中的和相差较大， 所以不适合作为与的函数模型. ②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 刚好与表格中的和相符合， 所以更适合作为与的函数模型. （2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为， 令，则 经计算，当时，取最大值（万元）， 即，时（每亩约38棵），利润最大. 41.（2023·全国·高三专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示． (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？ 【答案】(1)，； (2)当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润约为4万元． 【详解】（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元， 由题设，， 由图可知（1），所以，又（4），所以， 所以，； （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元， ，， 令，则，， 所以当时，，此时， 所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，约为4万元． 42.（2023·高一课时练习）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 【答案】（1）生产芯片的毛收入，生产芯片的毛收入；（2）答案见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 【详解】（1）设投入资金(千万元)，则生产芯片的毛收入. 将，代入，得， ∴， 生产芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得. ∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大 （3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片， 投入千万元资金生产芯片， ∴公司所获利润， 故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 考点七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 43.（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快． 故选：D. 44.（2024秋·高一单元测试）下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项是常数函数，B选项是一次函数，C、D选项都是指数型函数， C选项的指数型函数的底数是2，D选项的指数型函数的底数是，且， 所以随着的增大，增长速度最快的是D. 故选：D. 45．（2024秋·高一课时练习）下列函数中，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快，即可得到结果. 【详解】指数函数时呈爆炸式增长，并且随值的增大，增长速度越快，在一次函数，指数函数，对数函数以及幂函数中，增长速度最快的是指数函数. 故选：A 46．（2024秋·高一校考课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（    ） A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢 B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快 C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢 D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快 【答案】C 【分析】根据幂指对函数的图象以及性质即可求解. 【详解】由函数，与在区间上的图象以及性质知函数，，的衰减速度均逐渐变慢， 故选:C． 47．【多选】（2024秋·高一单元测试）函数，，，在区间上（    ） A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢 C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度 【答案】ABC 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得. 【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上， 递减速度越来越慢，故A正确； 递减速度越来越慢，故B正确； 递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度慢于递减速度，故D错误. 故选：ABC. 48．（2024秋·高一课时练习）当时，试探究三个函数的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性，根据条件求出范围，进而可求出结果. 【详解】令，易知三个函数在区间上均单调递增， 所以，当时，，，，故， 故答案为：. 49．（2024秋·全国·高一随堂练习）三个变量随自变量的变化情况如下表： 则关于分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ， ， . 【答案】 【分析】根据三种函数模型增长速度的差异可直接判断出结果. 【详解】对数函数的增长速度越来越慢，指数函数的增长速度越来越快且呈现出爆炸式增长模式，幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， 由此可知：变量为对数函数，变量为指数函数；变量为幂函数． 故答案为：，，. 50．（2024·全国·高三专题练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 【答案】(1)选，理由见解析 (2)答案见解析 (3)55分钟 【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型， （2）将，代入求解系数即可. （3）将代入解析式即可. 【详解】（1）第一步：分析题中每个模型的特点 对于模型一，当时，匀速增长； 对于模型二，当时，先慢后快增长； 对于模型三，当时，先快后慢增长. 第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选. （2）第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式 将，代入解析式得到，即， 解得，，即. 第四步：完善模型是否合适 当时，， 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为. （3）由，， 得，得， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟. 51．（2024·高一课时练习）若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可. 【详解】在同一平面直角坐标系中作出，，在上的图象如下． 由图得，若，则， 若，则或． 故答案为：， 考点八 建立拟合函数模型解决实际问题 52.（2024·高一课时练习）某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家规定，一家商场进货的台数不高于的台数的倍，且进货至少台，而销售、的售价分别为元/台和元/台，若该家电商场每周可以用来进货、的总资金为万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售、电器的总利润（利润售价进价）的最大值为（ ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【解析】设该卖场在一周内进货的台数为台，则一周内进货的台数为， 设该卖场在一周内销售、电器的利润为万元， 由题意可得，可得，且， ， 函数随着的增大而增大， 故（万元）.故选：D. 53.（2024·高一课时练习）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为，，给出三个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据）（ ） A．2.72分钟 B．2.82分钟 C．2.92分钟 D．3.02分钟 【答案】B 【解析】依据生活常识，茶温一般不会低于室内温度，因此选择模型③， 得到解得 因此．故选：B 54.（2024·高一课时练习）某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天． （1）写出n关于x的函数关系式； （2）要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）． 【答案】（1）（且）；（2）21名 【解析】（1）由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为， 而渗水的面积为 所以有，可得（且）． （2）设总损失为y， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立． 所以应派21名工人去抢修，总损失最小． 55.（2024·高一课时练习）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求的值及表达式 （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】（1）， （2）隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为万元． 【解析】（1）依题意当时，即，解得， ； （2）因为． 当且仅当，即时“”成立． 答：隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为万元． $$