1.1 集合的概念（3知识点+6题型）【暑假课程】-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义

1.1集合的概念 明确学习目标 课标要求 1．通过实例了解集合的含义； 2．理解集合中元素的特征； 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 重点难点 理解集合中元素的特征；体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点 1 集合的概念 一、元素与集合的概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 二、集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 知识点 2 元素与集合的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． (2)0属于自然数集． 知识点 3 集合的表示与分类及应用 一、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 二、用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)元素间用“，”隔开． (2)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可． (3)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5，…}． (4)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． (5)用列举法表示集合的3个步骤 (1)求集合：求出集合的元素； (2)列举：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)带括号：用花括号括起来． 三、用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思． (7)用描述法表示集合的3个步骤 (1)写元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示． (2)明特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围． (3)带括号：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}．其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件． 四、集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 五、方程与集合 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数． (2)解方程ax2＋bx＋c＝0时注意对a的讨论． 2提升学科能力 一、题型一 判断元素能否构成集合 例1．(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【跟训1-1】．下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【跟训1-2】．下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【跟训1-3】．下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 二、题型二 判断元素与集合的关系 例2．给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟训2-1】．已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（    ） A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M 【跟训2-2】．，若，则，那么可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．0 【跟训2-3】．用符号“”或“”填空： （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A； （2）0 ，0 ，－1 ，－1 ，3.14 ， ， ， ， ， ， ， ； （3）0 ，1 ． 三、题型三 运用集合中元素的特性 例3．已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 【跟训3-1】．已知集合，且，则（　　） A． B．或 C．3 D． 【跟训3-2】．设集合，集合，若已知，且，则的值为 ． 【跟训3-3】．若，则实数a的取值范围是 ． 四、题型四 用列举法表示集合 例4．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【跟训4-1】．方程的解集用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【跟训4-2】．用列举法表示下列集合： （1）不大于8的非负偶数组成的集合； （2）方程的所有实数解组成的集合； （3）直线与y轴的交点坐标组成的集合． 【跟训4-3】．用列举法表示下列集合： (1) (2)． 五、题型五 用描述法表示集合 例5．方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 【跟训5-1】．用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 【跟训5-2】．用描述法表示大于0且小于9的实数x的集合为 ． 【跟训5-3】．用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 六、题型六方程与集合的综合 例6．已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 【跟训6-1】．集合中只含有1个元素，则实数a的取值是 ． 【跟训6-2】．已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【跟训6-3】．已知集合． (1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 3质量检测评价 一、单选题 1．下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于的正整数 C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数 2．下列语句中，正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 3．集合用列举法可表示为（　　） A． B． C． D． 4．下列所给关系正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，则实数m等于（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 6．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（    ） A．2 B． C． D．1 三、填空题 9．由大于小于5的自然数组成的集合用列举法表示为 ，用描述法表示为 ． 10．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 ． 四、解答题 11．已知，集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 12．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念 明确学习目标 课标要求 1．通过实例了解集合的含义； 2．理解集合中元素的特征； 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 重点难点 理解集合中元素的特征；体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点 1 集合的概念 一、元素与集合的概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 二、集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 知识点 2 元素与集合的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． (2)0属于自然数集． 知识点 3 集合的表示与分类及应用 一、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 二、用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)元素间用“，”隔开． (2)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可． (3)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5，…}． (4)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． (5)用列举法表示集合的3个步骤 (1)求集合：求出集合的元素； (2)列举：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)带括号：用花括号括起来． 三、用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思． (7)用描述法表示集合的3个步骤 (1)写元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示． (2)明特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围． (3)带括号：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}．其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件． 四、集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 五、方程与集合 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数． (2)解方程ax2＋bx＋c＝0时注意对a的讨论． 2提升学科能力 一、题型一 判断元素能否构成集合 例1．(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 【跟训1-1】．下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【答案】B 【分析】根据集合中元素的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合； 对于B，的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合； 对于C，方程的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合； 对于D，函数不存在最小值，可以组成空集； 故选：B 【跟训1-2】．下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 【跟训1-3】．下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【答案】BC 【详解】根据集合的知识确定正确答案. 【分析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合. B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合. 故选：BC 二、题型二 判断元素与集合的关系 例2．给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答. 【详解】显然都是实数，①正确，②错误； 是自然数，③正确；是无理数，不是有理数，④错误， 所以正确的个数为2. 故选：B 【跟训2-1】．已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（    ） A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M 【答案】D 【分析】对a，b，c分类讨论求出原代数式所有可能得值即可. 【详解】令， 若全为正数，则 ；若全为负数，则， 若中有2个正数一个负数，则，若中有2个负数，1个正数，则， ； 故选：D. 【跟训2-2】．，若，则，那么可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．0 【答案】AB 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】若，则，符合要求； 若，则，符合要求； 若，则，不符合要求； 若，则，不符合要求. 故选：AB. 【跟训2-3】．用符号“”或“”填空： （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A； （2）0 ，0 ，－1 ，－1 ，3.14 ， ， ， ， ， ， ， ； （3）0 ，1 ． 【答案】 【分析】根据集合与元素的关系即可逐一求解. 【详解】略 三、题型三 运用集合中元素的特性 例3．已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 【答案】B 【分析】由题意可知或，求出再检验即可． 【详解】因为，所以或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，或，但不合题意，舍去． 综上可知，． 故选：B． 【跟训3-1】．已知集合，且，则（　　） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系建立方程，求解并验证即得. 【详解】由集合，得，解得且， 显然，由，得，而，解得， 当时，，符合题意， 所以. 故选：D 【跟训3-2】．设集合，集合，若已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】由可知，解得或， 又因为当时，，不满足题意， 所以，此时， 故答案为： 【跟训3-3】．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由元素与集合的关系求解即可. 【详解】 ， . 故答案为： . 四、题型四 用列举法表示集合 例4．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 【跟训4-1】．方程的解集用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法的表示方法写出解集. 【详解】方程，解得或， 解集用列举法表示为. 故选：B 【跟训4-2】．用列举法表示下列集合： （1）不大于8的非负偶数组成的集合； （2）方程的所有实数解组成的集合； （3）直线与y轴的交点坐标组成的集合． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）即满足小于等于8且大于等于0的偶数,用列举法表示即可； （2）解出方程可得,用列举法表示即可； （3）由题令可得,得到交点坐标,用列举法表示即可 【详解】解：（1）因为不大于8是指小于或等于8,非负是大于或等于0的意思,所以不大于8的非负偶数集是； （2）方程的实数解是或,所以方程的实数解组成的集合为； （3）将代入,得,即交点坐标是,故直线与y轴的交点坐标组成的集合是 【点睛】本题考查列举法表示集合,考查数集与点集,属于基础题 【跟训4-3】．用列举法表示下列集合： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，分别用列举法表述即可． 【详解】（1），∴或，； （2），，． 五、题型五 用描述法表示集合 例5．方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程组的求解可得的关系，即可求解. 【详解】由得， 将代入得，所以， 故选：D 【跟训5-1】．用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 【答案】 【分析】（1）（2）根据描述写出所有正偶数、被9除余2的数，即可得对应集合. 【详解】（1）令，则所有正偶数为，故所有正偶数组成的集合为； （2）令，则被9除余2的数为，故被9除余2的数组成的集合为. 故答案为：；. 【跟训5-2】．用描述法表示大于0且小于9的实数x的集合为 ． 【答案】{x∈R|0＜x＜9} 【分析】根据集合表示的描述法的定义可得解. 【详解】解：大于0且小于9的实数x的集合为， 故答案为：. 【跟训5-3】．用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【分析】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【详解】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 六、题型六方程与集合的综合 例6．已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可. 【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素， 所以，解得. 故选：C 【跟训6-1】．集合中只含有1个元素，则实数a的取值是 ． 【答案】0或1 【分析】讨论二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可． 【详解】解：当时，满足题意； 当时，要集合P仅含一个元素， 则，解得， 故a的值为0，1 故答案为：0或1 【跟训6-2】．已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 【跟训6-3】．已知集合． (1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）分集合中没有元素和只有一个元素两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，解得，此时中仅有一个元素，符合题意， 当时，，解得，此时方程为， 即，此时集合中仅有一个元素． 综上可知，时，集合中只有一个元素， 时，集合A中只有一个元素． （2）若集合中没有元素，即，则，解得， 结合（1）知，当或时， 集合中至多只有一个元素． 因此实数的取值范围是或. 3质量检测评价 一、单选题 1．下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于的正整数 C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数 【答案】C 【分析】根据集合的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于B中，小于的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于C中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合； 对于D中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选C. 故选：C. 2．下列语句中，正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据集合的概念和性质判断即可. 【详解】是自然数，故，（1）正确； 是无理数，故，（2）错误； 由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误； 数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误； 方程的解为，可以构成集合，（5）正确； 故选：A 3．集合用列举法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法与列举法的转换即可判定. 【详解】由题意可得， ∴，即用列举法为. 故选：B 4．下列所给关系正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常见数集的定义判断即可. 【详解】①是实数，所以①正确； ②是无理数，所以②正确； ③0不是正整数，所以③错误； ④为正整数，所以④错误． 故选：B. 5．已知，则实数m等于（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 【答案】C 【分析】根据两集合相等列出方程，解方程，检验后得到答案. 【详解】由已知得，，解得或－1，经检验符合题意． 故选：C. 6．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出集合A，进一步得到m的范围. 【详解】由题意可知，可得. 故选：D 二、多选题 7．下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据元素与集合的关系一一判定即可. 【详解】在A中，当时，显然不成立． 对于B，当，其平方数仍为整数, 显然不成立； 对于C,当，其绝对值仍为有理数, 正确； 对于D项,当，其立方仍为实数，正确. 故选：AB. 8．已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】AC 【解析】根据集合元素的互异性必有或，解出后根据元素的互异性进行验证即可． 【详解】解：由题意得，或， 若，即， 或， 检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去． 若，即， 或， 经验证或为满足条件的实数． 故选：AC． 三、填空题 9．由大于小于5的自然数组成的集合用列举法表示为 ，用描述法表示为 ． 【答案】 【分析】确定大于小于5的自然数有哪几个数，根据集合的表示方法，即可得答案. 【详解】大于小于5的自然数有， 故由大于小于5的自然数组成的集合用列举法表示为， 用描述法表示为， 故答案为：；. 10．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】{0}∪[，+∞）． 【分析】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围． 【详解】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0， 解得x，故成立； 当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0， 解得； 综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）． 故答案为：{0}∪[，+∞）． 四、解答题 11．已知，集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)当时，；当时，； (3). 【分析】（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）若A是空集，则关于x的方程无解， 此时，且， 所以，即实数a的取值范围是. （2）当时，，符合题意； 当时，关于x的方程应有两个相等的实数根， 则，得，此时，符合题意. 综上，当时；当时. （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 12．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$