4.2 等差数列课时优化训练-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2 等差数列一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，则等于 A．18 B．36 C．45 D．72 2．已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹尺，一丈尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹一丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 4．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸）则下列说法不正确的为（    ） A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B．立春和立秋两个节气的晷长相同 C．春分的晷长为七尺五寸 D．立春的晷长比秋分的晷长长 5．已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的n的最大值为 A．11 B．12 C．21 D．22 6．为等差数列的前项和，满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．记为等差数列的前项和，则（    ） A． B． C．，，成等差数列 D．，，成等差数列 10．数列的前项和为，已知，则（    ） A．是递增数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 11．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）． A． B． C．，使得 D．是公差为的等差数列 三、填空题 12．等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则 . 13．已知等差数列的通项公式，记其前n项和为，那么当 时，取得最小值． 14．已知数列是等差数列，是其前n项和．若，则 ． 15．已知数列是等差数列，，则使的最大整数n的值为 . 四、解答题 16．等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 17．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 18．已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 参考答案： 1．C 【解析】 ，选C 2．B 【解析】由等差数列的性质可直接求解. 【解析】是等差数列， ，则. 故选：B. 【小结点评】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题. 3．D 【分析】根据给定的信息可得数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式及通项的性质求解作答. 【解析】依题意，数列为递增等差数列，且， 所以. 故选：D 4．B 【分析】设上半年的晷影长为等差数列,公差为d1,设下半年的晷影长为等差数列,公差为d2,求出通项公式，利用等差数列的知识即可求解. 【解析】先取上半年进行研究,设晷影长为等差数列,公差为d1,则a1=135,a13=15, ∴，∴. 再取下半年进行研究,设晷影长为等差数列,公差为d2,则b1=15, , ∴. 对于A：由上面可知，，，所以相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺，故A正确； 对于B、D：立春对应的是中的，所以，立秋对应的是中的，所以.故B错误，D正确； 对于C：春分对应的是中的，所以.故C正确. 故选：B 5．C 【解析】由题意得，由前n项和Sn有最大值可知等差数列{an}为递减，d<0.所以 ，所以，所以n=21,选C. 6．A 【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式及前n项和公式列方程即可得解. 【解析】设等差数列的公差为d， 因为，，所以，解得. 故选：A. 【小结点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．D 【分析】由，都有，可得，再根据等差数列的性质即可判断. 【解析】等差数列的公差，，都有， ， . 故选：. 【小结点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 8．A 【分析】由题意可知，直线与直线垂直，且直线过圆心，可求得和的值，然后利用等差数列的求和公式求得，利用裂项相消法可求得数列的前项和. 【解析】因为直线与圆的两个交点关于直线对称， 所以直线经过圆心，且直线与直线垂直， 所以，，解得，， 则，， 以数列的前100项和为 ． 故选：A. 9．BCD 【分析】利用等差数列求和公式分别判断. 【解析】由已知得， A选项，，，，所以，A选项错误； B选项，，B选项正确； C选项，，，，，，则，C选项正确； D选项，，，，则，D选项正确； 故选：BCD. 10．CD 【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D. 【解析】当时，， 当时，， 不满足上式， 所以， 对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误， 对于B，由于，，，所以， 所以不是等差数列，所以B错误， 对于C，由，得，所以当时，，所以C正确， 对于D，，因为， 所以当或4时，取得最大值，所以D正确， 故选：CD. 11．ACD 【分析】根据条件求出等差数列的公差、首项、前项和，再能过计算判断各个选项的正误. 【解析】对于A，记数列的公差为d，， 故，则，故，故A正确； 对于B，，，故，故B错误； 对于C， 若成立，则，即，解得或（舍）， 故当，成立，故C正确； 对于D，，， 故是首项为1，公差为的等差数列，故D正确． 故选：ACD 12．29 【分析】根据等差数列的前项和性质，直接计算，即可得出结果. 【解析】因为等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290， 记奇数项之和为，偶数项之和为， 则 . 故答案为：. 【小结点评】本题主要考查等差数列前项和性质的应用，属于基础题型. 13．3 【分析】由为递增数列，，，可得结论. 【解析】等差数列的通项公式，则为递增数列， 当时，；当时，， 所以时，取得最小值． 故答案为：3 14．16 【分析】由等差数列前n项和公式及下标和定理得，结合求出，再由计算即可． 【解析】设等差数列的公差为，由，得， 所以，即，解得， 所以， 故答案为：16． 15．10 【分析】由题可得，再结合条件及等差数列前n项和公式即得. 【解析】，又 ∴，数列公差小于零，数列为递减数列， ∴， ∴当时，，当时，. 故答案为：10. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可. 【解析】（1）因为， 所以整理得，解得或（负值舍去）， 所以 （2）因为，所以， 又因为，所以 （3）方法一：由，即， 所以 方法二：由，得， 所以 17．4，3，2 【分析】设这三个数依次为，根据题意列式求解即可. 【解析】设这三个数依次为， 由题意可得，解得， 所以这三个数4，3，2. 18．(1) (2) 【分析】（1）首先通过累加法求解，然后解得； （2）首先通过分析判断出数列是周期数列，然后通过平方差公式分解求得，最后代入求解即可； 【解析】（1）因为， 所以，， 累加得， 所以. （2）因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 所以数列是以3为周期的数列. 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$