专题20 用二分法求方程的近似解5种常见考法归类（36题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题20 用二分法求方程的近似解5种常见考法归类（36题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 二分法概念的理解 考点二 求初始区间 考点三 确定零点（根）所在区间 考点四 用二分法求方程的近似解 考点五 二分法的过程 知识点1：区间中点 对于区间，其中点 知识点2：二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 解题策略 1、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位， 如计算，精确到0.01，即0.33 （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。 2、运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 3、利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 考点一 二分法概念的理解 1．（2024秋·高一课时练习）判断正误（正确的打正确，错误的打错误） （1）所有函数的零点都可以用二分法来求．( ) （2）精确度就是近似值．( ) （3）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．( ) （4）在一定精确度下，近似值是唯一的．( ) 2.（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数零点的近似值适合于（    ） A．变号零点 B．不变号零点 C．都适合 D．都不适合 3．【多选】（2024·全国·高一假期作业）若函数在区间上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ） A．若，则在上不存在零点 B．若，则在上至少有一个零点 C．若在内有且只有一个零点，则 D．若在上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值 4．（2024秋·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   5.（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 6.（2023·高一课时练习）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（    ） A．（k，b为常数，且） B．（a，b，c为常数，且） C． D．（，k为常数） 7.（2023·高一课时练习）下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 8．【多选】（2024秋·高一课时练习）下列函数图象与轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．  B．   C．D．   9．【多选】（2024·全国·高一假期作业）下列函数零点能用二分法求解的是（    ） A． B． C． D． 10.【多选】（2023春·湖南长沙·高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 考点二 求初始区间 11.（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国·高一专题练习）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 13．（2024秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024秋·高一单元测试）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是（    ） A． B． C． D． 15.（2023·全国·高一假期作业）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 考点三 确定零点（根）所在区间 16.（2023·全国·高一假期作业）函数在区间上的零点必属于区间（    ） A． B． C． D． 17.（2024秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程中可得，，，则方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 18.（2023·全国·高一假期作业）函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为 ． 19.（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 考点四 用二分法求方程的近似解 20．（2024秋·甘肃·高三校考阶段练习）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则 ． 21．（2024·全国·高一假期作业）在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为 （精确度为0.2）. 22．（2024秋·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 23．（2024·全国·高一随堂练习）判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1） 24．（2024秋·全国·高一随堂练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 25.（2023·全国·高一假期作业）某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（    ） A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值 C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值 26．（2024·全国·高一专题练习）若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（    ） A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5 27．（2024秋·高一课时练习）下表是连续函数在区间上一些点的函数值: x 1 1.25 1.375 1.5 2 0.625 6 由此可判断，方程的一个近似解为 （误差不超过0.1）. 28．（2024·全国·高一专题练习）下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 29．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483 要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次0.7 B．6次0.6 C．5次0.7 D．5次0.6 30．【多选】（2024秋·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（    ） A．可以确定的一个零点，满足 B．第二次应计算，若，第三次应计算 C．第二次应计算，若，第三次应计算 D．第二次应计算，若，第三次应计算 31．（2024秋·全国·高一随堂练习）已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 . 32．（2024秋·高一课时练习）一块电路板的线段之间有个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（　　） A．次 B．次 C．次 D．次 33.（2023·全国·高一假期作业）利用二分法，求方程的近似解．（精确度为0.1） 考点五 二分法的过程 34.（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数在内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 35.（2023·全国·高一假期作业）已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（    ） A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 36.（2023·全国·高一假期作业）已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行 次函数值的计算. $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题20 用二分法求方程的近似解5种常见考法归类（36题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 二分法概念的理解 考点二 求初始区间 考点三 确定零点（根）所在区间 考点四 用二分法求方程的近似解 考点五 二分法的过程 知识点1：区间中点 对于区间，其中点 知识点2：二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 解题策略 1、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位， 如计算，精确到0.01，即0.33 （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。 2、运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 3、利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 考点一 二分法概念的理解 1．（2024秋·高一课时练习）判断正误（正确的打正确，错误的打错误） （1）所有函数的零点都可以用二分法来求．( ) （2）精确度就是近似值．( ) （3）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．( ) （4）在一定精确度下，近似值是唯一的．( ) 【答案】 错误 错误 正确 错误 【分析】根据二分法求近似解的条件、精确度的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于（1），不是所有函数零点都可以用二分法来求；例如的零点，在零点左右两侧函数值不变号，无法用二分法来求，（1）错误； 对于（2），精确度不是近似值，若零点在时，精确度为，，则可得零点的近似值为或，区间之间的任意一点也可以作为零点近似值，（2）错误； 对于（3），用二分法求方程的近似解时，只要满足精确度要求，区间之间的任意一点都可以作为近似解，可以精确到小数点后任意一位，（3）正确； 对于（4），在一定的精确度下，满足精确度的区间内的任意一点都可以作为零点近似值，（4）错误. 故答案为：错误；错误；正确；错误. 2.（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数零点的近似值适合于（    ） A．变号零点 B．不变号零点 C．都适合 D．都不适合 【答案】A 【详解】由零点存在定理可知，二分法求函数零点的近似值适合于在零点两边的函数值异号，即适用于变号零点. 故选：A. 3．【多选】（2024·全国·高一假期作业）若函数在区间上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ） A．若，则在上不存在零点 B．若，则在上至少有一个零点 C．若在内有且只有一个零点，则 D．若在上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值 【答案】ACD 【分析】通过举例判断选项A，利用函数零点存在性定理判断选项B，利用数形结合的思想即可判断选项C、D. 【详解】A：令，，， 则，，，令，， ，则在上存在零点0，故A错误； B：函数在区间上的图象不间断，若， 则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故B正确； C：如图，在内有且只有一个零点，但，故C错误； D：如图，在上存在零点，但不可用二分法求此零点的近似值，故D错误. 故选：ACD 4．（2024秋·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案． 【详解】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件， 而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点． 故选：C. 5.（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点. 故选：B. 6.（2023·高一课时练习）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（    ） A．（k，b为常数，且） B．（a，b，c为常数，且） C． D．（，k为常数） 【答案】A 【详解】解：由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C，D不能用“二分法”求其零点，故CD错误； 对于二次函数（a，b，c为常数，且），当时，不能用二分法，故B错误； 由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确. 故选：A 7.（2023·高一课时练习）下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，利用二分法求函数零点的条件是： 函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴， 据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点， 故选：A. 8．【多选】（2024秋·高一课时练习）下列函数图象与轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．  B．   C．D．   【答案】ABC 【分析】根据二分法的定义确定图象需满足的条件，依次判断各个选项即可. 【详解】根据二分法的定义，知函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对于ABC，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，ABC正确； 对于D，零点左右两侧的函数值不变号，不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：ABC. 9．【多选】（2024·全国·高一假期作业）下列函数零点能用二分法求解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，恒成立，所以不能用二分法求解； 对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解， 故选：ABD. 10.【多选】（2023春·湖南长沙·高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A：由，可得在上存在零点； 选项B：由，可得在上存在零点； 选项C：，则其零点为， 但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点； 选项D：由，可得在上存在零点. 故选：ABD 考点二 求初始区间 11.（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且单调递增， 即当时，， 所以零点在内， 故选：A 12．（2024·全国·高一专题练习）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数单调性判断各区间端点函数值正负情况，结合零点存在性定理即可得答案. 【详解】由，且在定义域上递增， 所以区间、、对应函数都为正，只有区间中函数值有正有负. 故选：A 13．（2024秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算求解. 【详解】设，显然函数图象是连续的， 则有，，，，， 所以，，，， 故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误. 故选：B. 14．（2024秋·高一单元测试）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，其中，及，即可求解． 【详解】由题意，设， 其中， 又由，则， 可得方程根在区间． 故选：A． 15.（2023·全国·高一假期作业）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， ， 所以函数在区间上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是. 故选：B. 考点三 确定零点（根）所在区间 16.（2023·全国·高一假期作业）函数在区间上的零点必属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：二分法 由已知可求得，，，，，. 对于A项，因为，所以A项错误； 对于B项，因为，所以B项错误； 对于C项，因为，所以C项错误； 对于D项，因为，所以D项正确. 解法二：因为，所以，即函数在区间上的零点为2，故D正确. 故选：D. 17.（2024秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程中可得，，，则方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：因为是连续函数，且，，， 所以，，所以在上存在零点， 即方程的解所在区间为. 故选：B 18.（2023·全国·高一假期作业）函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为 ． 【答案】/ 【详解】解： ，，而， ∴ 函数的零点在区间． 又，， ∴ 函数的零点在． 故答案为：． 19.（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， ， 所以在上有唯一零点，即，故， 所以方程的根落在区间上， 故选：B. 考点四 用二分法求方程的近似解 20．（2024秋·甘肃·高三校考阶段练习）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则 ． 【答案】/ 【分析】根据二分法的定义可得出结论. 【详解】因为，， 取的中点，则， 所以，函数的零点在区间内， 故为区间的中点值，因此，. 故答案为：. 21．（2024·全国·高一假期作业）在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为 （精确度为0.2）. 【答案】0.6875 【分析】根据二分法的计算过程即可求解. 【详解】因为，， 所以可作为方程的近似解. 故答案为：0.6875. 22．（2024秋·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 【答案】/0.625 【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】设， 则，， ∴第一次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第二次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第三次取区间的中点. 故答案为：. 23．（2024·全国·高一随堂练习）判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1） 【答案】1.3 【分析】求函数在区间内的一个零点，利用二分法可得答案. 【详解】设， 利用二分法，列表计算如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 0.875 0.0826 由表中数据可得， 因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3. 所以近似解为1.3. 24．（2024秋·全国·高一随堂练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间为内，进而得到结果. 【详解】根据二分法，结合表中数据， 由于 所以方程的一个近似根所在区间为 所以符合条件的解为1.4 故选:C. 25.（2023·全国·高一假期作业）某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（    ） A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值 C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值 【答案】D 【详解】因为， 且，故AC错误； 因为，，且，故D正确； 因为，且故C错误； 故选:D 26．（2024·全国·高一专题练习）若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（    ） A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5 【答案】B 【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果. 【详解】因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度； 所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B 27．（2024秋·高一课时练习）下表是连续函数在区间上一些点的函数值: x 1 1.25 1.375 1.5 2 0.625 6 由此可判断，方程的一个近似解为 （误差不超过0.1）. 【答案】 【分析】根据零点存在性定理求解即可. 【详解】由表可得，，故方程的一个近似解为. 故答案为： 28．（2024·全国·高一专题练习）下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 【答案】1.438(答案不唯一) 【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由题设有，于是， 所以，函数在区间内有零点，此时， 取区间的中点，又， 因为，所以，此时， 再取的中点，又， 因为，所以，此时， 再取的中点，又， 因为，所以，此时， 再取的中点，又， 因为，所以，此时， 再取的中点，又， 因为，所以， 所以，当精确度为0.1时，方程的一个近似解为1.438． 故答案为：1.438．(答案不唯一) 29．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483 要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次0.7 B．6次0.6 C．5次0.7 D．5次0.6 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，对区间内，需要求解 的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为， 共计算次. 故选：C 30．【多选】（2024秋·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（    ） A．可以确定的一个零点，满足 B．第二次应计算，若，第三次应计算 C．第二次应计算，若，第三次应计算 D．第二次应计算，若，第三次应计算 【答案】AB 【分析】二分法是基于零点存在定理的一种求根的近似值（有可能求出精确值）的方法，二分法的每一步都要满足零点存在定理的条件，结合二分法的理论即可得解. 【详解】对于A选项：由题意第一次经计算且，因此由零点存在定理可知存在满足， 故A选项符合题意. 对于B选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理， 所以第三次应计算，故B选项符合题意. 对于C选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理， 所以第三次应计算，故C选项不符题意. 对于D选项：第二次应计算，而不是计算，故D选项不符题意. 故选：AB. 31．（2024秋·全国·高一随堂练习）已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 . 【答案】 5 【分析】根据二分法的计算过程可知，则；进而依次计算第一、二、三、四、五次的区间，由即可求解. 【详解】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次操作后，区间长度变为，故有，即， 因为，所以. 故计算5次就可满足要求，所以将区间等分的次数至少是5次. 因为，所以第一次得到的区间为； 因为，所以第二次得到的区间为； 因为，所以第三次得到的区间为； 因为，所以第四次得到的区间为； 因为，所以第五次得到的区间为， 因为， 所以函数零点为. 故答案为：5；. 32．（2024秋·高一课时练习）一块电路板的线段之间有个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（　　） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】利用二分法可得出结果. 【详解】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要次检测，则， 即，因为，故的最小值为，即至少需要检测次. 故选：B. 33.（2023·全国·高一假期作业）利用二分法，求方程的近似解．（精确度为0.1） 【答案】，． 【详解】解：设， 作出函数f（x）的草图如图所示: 通过观察函数的草图得， ，， 所以方程有一根在内，设为， 因为， 所以． 又因为， 所以． 由，则，由， 则， 由于， 所以方程的一个近似解为， 用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为． 考点五 二分法的过程 34.（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数在内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为， 当时，结束计算，故， 故选：B. 35.（2023·全国·高一假期作业）已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（    ） A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 【答案】D 【详解】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2， 则第n次二等分后区间长为， 依题意得，所以 ，， 所以. 故选：D 36.（2023·全国·高一假期作业）已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行 次函数值的计算. 【答案】3 【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下： 取区间的中点， 且， 所以. 取区间的中点， 且， 所以. 取区间的中点， 且， 所以. 因为， 所以区间的中点即为零点的近似值，即， 所以至少需进行3次函数值的计算. 故答案为：3 $$