第06讲：等式性质与不等式性质（6大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第06讲：等式性质与不等式性质 【考点梳理】 · 考点一、由已知条件判断不等式是否正确 · 考点二、作差法比较大小 · 考点三、作商法比较大小 · 考点四、利用性质比较大小 · 考点五：利用不等式的性质求范围 · 考点六、利用不等式的性质判断或证明 【知识梳理】 知识点一　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二　重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三　等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【例题详解】 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 3．（23-24高一上·河南许昌·期末）关于实数，下列结论正确的有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型二、作差法比较大小 4．（23-24高一上·北京丰台·期末）若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·黑龙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 题型三、作商法比较大小 7．（19-20高一下·江西抚州·阶段练习）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 9．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 题型四、利用性质比较大小 10．（23-24高一上·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）若实数a，b，c满足且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型五：利用不等式的性质求范围 13．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·河北张家口·期中）若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六、利用不等式的性质判断或证明 16．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 17．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 18．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【专项训练】 一：单选题 19．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·上海·期中）已知，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 23．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 25．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 26．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）若正实数满足不等式组，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若，给出下列命题中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 31．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．（23-24高一上·浙江湖州·期末）若，，，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D． 33．（23-24高一上·湖北武汉·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 三、填空题 34．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）如果，那么下列不等式成立的是 ． ①    ②    ③    ④ 35．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 36．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知,，则“,”是“”的 条件，“”是“”的 条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”） 37．（23-24高一上·浙江温州·期中）设实数x，y满足，，则的取值范围为 . 四、解答题 38．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 39． （23-24高一上·重庆） （1）已知，，求， 的取值范围 （2）已知，且，，试比较与的大小. 40． （23-24高一上·安徽芜湖） （1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 41．（23-24高一上·陕西榆林·）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与；(2)与. 42． （23-24高一上·福建泉州· （1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：等式性质与不等式性质 【考点梳理】 · 考点一、由已知条件判断不等式是否正确 · 考点二、作差法比较大小 · 考点三、作商法比较大小 · 考点四、利用性质比较大小 · 考点五：利用不等式的性质求范围 · 考点六、利用不等式的性质判断或证明 【知识梳理】 知识点一　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二　重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三　等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【例题详解】 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与举反例的方法逐个判断即可. 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误； 对B，当时，故B错误； 对C，， 因为，故，故， 故，故C错误； 对D，，因为，故， 故，即，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用作差法判断B、D. 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B错误； 对于C：当，，，时满足，，但是，故C错误 对于D：因为， 所以，当时取等号，故D正确． 故选：D． 3．（23-24高一上·河南许昌·期末）关于实数，下列结论正确的有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】结合不等式的基本性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当时，有，故A错误； 对B：如果，那么，故B正确； 对C：当时，有，故C错误； 对D：如果，则，故，即，故D错误. 故选：B. 题型二、作差法比较大小 4．（23-24高一上·北京丰台·期末）若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质可知，即可对A判断；由不等式性质得，即可对B判断，利用特殊值可对C、D判断； 【详解】对A：由，所以，故A错误； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，令，则，故C错误； 对D：由，，令，所以，故D错误. 故选：B. 5．（23-24高一上·黑龙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】作差后，即可判断不等式，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】 ， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 题型三、作商法比较大小 7．（19-20高一下·江西抚州·阶段练习）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 8．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 9．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 题型四、利用性质比较大小 10．（23-24高一上·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质一一判断各选项中的不等式是否成立，即得答案. 【详解】由于，故，，A错误，B正确； 由，不能确定与的大小关系，比如取， 则，C错误； 由，可得，D错误， 故选：B 11．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由作差法逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：C. 12．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）若实数a，b，c满足且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，，再利用不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出答案. 【详解】由，可得，， 对于选项A：因为，可得，故选项A不正确； 对于选项B：因为，可得，故选项B不正确； 对于选项C：因为，当时，；故选项C不正确； 对于选项D：因为，所以，所以，故选项D正确； 故选：D. 题型五：利用不等式的性质求范围 13．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 14．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：D. 15．（23-24高一上·河北张家口·期中）若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果. 【详解】因为，所以， 又，， 所以 所以， 故， 故选：C 题型六、利用不等式的性质判断或证明 16．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 17．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 18．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 【专项训练】 一：单选题 19．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 20．（23-24高二下·上海·期中）已知，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特值或不等式的性质可得答案. 【详解】对于A， ，而，A不成立； 对于B，，而，B不成立； 对于C，，因为，所以，，即，C不成立； 对于D，，因为，所以，即，D成立. 故选：D 21．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质判断AD，举反例判断BC. 【详解】因为实数a，b满足，所以，所以，故选项A错误； 当时，满足，但是，不满足， 故选项B错误； 当时，满足，但是，不满足， 故选项C错误； ，即，故选项D正确. 故选：D 22．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】A 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低． 故选：A. 23．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论. 【详解】由于，则成立，等价于成立， 充分性：若，且，则，则， 所以成立，满足充分性； 必要性：若，则成立， 其中，且， 则可得成立，即成立，满足必要性； 故选：C. 24．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明正确选项，举反例排除错误选项即可. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误， 对于B，当时，无意义，故B错误， 对于C，若且，则，，故C正确， 对于D，令，则，，显然，故D错误， 故选：C 25．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】 根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C 26．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举反例说明ACD；利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，A错误； 对于B：，，所以，B正确； 对于C：当时，满足，但，C错误； 对于D：当时，满足，，D错误. 故选：B. 27．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断. 【详解】 因为，， 若，则，可得， 则，所以成立，即甲是乙的充分条件； 若，可知，则，即， 可得，即，即甲是乙的必要条件． 综上可知：甲是乙的充要条件． 故选：C． 28．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）若正实数满足不等式组，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简不等式为，得到，即可求解. 【详解】由不等式组，因为均为正实数，于是， 所以，所以. 故选：B. 二、多选题 29．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质判断A、B、D，由特殊值判断C. 【详解】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确； 对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，可得，故C错误； 对于D，由及，可得，故D正确． 故选：ABD． 30．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若，给出下列命题中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：因为，，则，所以，故B错误； 对于C：若，，，，满足，，但是，故C错误； 对于D：因为，，所以，故D正确， 故选：BC 31．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】选项AC，可由不等式的性质证明；选项BD，用特值排除法可得 【详解】选项A，因为，若， 当时，，不满足条件， 所以，故，即A正确； 选项B，当时，若，有， 不满足条件，故B错误； 选项C，若，则由不等式的性质有，又，则，故C正确； 选项D，当，则，， 不满足，故D错误. 故选：AC. 32．（23-24高一上·浙江湖州·期末）若，，，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值判断A，利用作差法判断B、C、D. 【详解】对于A：当，时，满足且，但，故A错误； 对于B：因为且， 所以，故，故B正确； 对于C：因为，所以，即，故C错误； 对于D：因为， 所以，故D正确． 故选：BD． 33．（23-24高一上·湖北武汉·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项，利用特殊值法可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 则，故，A错； 对于B选项，因为，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，取，，则，C错； 对于D选项，因为，， 则 ， 所以，，D对. 故选：BD. 三、填空题 34．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）如果，那么下列不等式成立的是 ． ①    ②    ③    ④ 【答案】④ 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得， 对于①中，由，所以，所以①不正确； 对于②中，由，所以，所以②不正确； 对于③中，由，所以，所以③不正确； 对于④中，由，所以，所以④正确. 故答案为：④. 35．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式的加法性质可求. 【详解】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为：. 36．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知,，则“,”是“”的 条件，“”是“”的 条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】 充分不必要 必要不充分 【分析】由不等式的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由可得， 由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件； 由可得， 由，得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：充分不必要；必要不充分 37．（23-24高一上·浙江温州·期中）设实数x，y满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得出，结合不等式的基本性质即可得解. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，，所以，， 所以，即. 因此的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 38．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差比较法比较大小即可； （2）先利用表示出，结合的范围可得答案. 【详解】（1）. 因为，所以，， 所以. 因为，都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立. （2）由题意可设， 则，解得，， 因为， 所以，， 则，故答案为. 39．（23-24高一上·重庆·阶段练习）（1）已知，，求， 的取值范围 （2）已知，且，，试比较与的大小. 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）由不等式的性质直接求范围即可；（2）作差，再结合不等式的性质比较即可. 【详解】（1）∵，， ∴，. ∴. 又， ∴ （2）， 因为且，， 所以； 又因为，所以，， 所以． 40． （23-24高一上·安徽芜湖） （1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质推理即得. （2）由（1）的结论，结合不等式的性质推理即得. 【详解】（1）， 由，得，而，，，则， 所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． 41．（23-24高一上·陕西榆林·）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系. 【详解】（1）， . （2）， ， ， 则， . 42． （23-24高一上·福建泉州· （1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$