期末数学仿真模拟试卷03（考试范围：人教版八下+一元二次方程+二次函数）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

2023-2024学年八年级（下）期末数学仿真模拟试卷 【人教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考试范围：八年级下册+九年级上册第二章） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列天气图形符号中是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．下列各组线段中，能够组成直角三角形一组是（    ） A．1，1， B．1，2，3 C．2，2，2 D．6，8，10 4．当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象大致是（    ） A．B． C． D． 5．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是（    ）    A．3 B．5 C．7 D．9 6．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（    ）    A． B． C． D．无法确定 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知点，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）    A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 11．如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，二次函数部分图象和一次函数的图象如图所示．已知它们有一个交点为，点在该二次函数图象上，则它们的另一个交点在（    ） A．之间 B．点 C．之间 D．点 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 14．若将抛物线的图象先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到新抛物线的表达式为 ． 15．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩（百分制）依次是80，90，86，则小桐这学期的体育成绩是 ． 16．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 17．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      18．如图，在矩形中，，点M为边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为 °．    三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算： 20．（6分）解方程：． 21．（10分）如图，在矩形中．延长AD至点E，使，连接交于点F．    (1)求证：； (2)若，，求点A，F之间的距离． 22．（10分）长空之王和速度与激情是五一“黄金周”以来最火的两部电影，为了解本校学生对这两部部作品的评价，某调查小组从该校观看过这两部电影的学生中各随机抽取了名学生对这两部作品分别进行评分满分分，并通过整理和分析，给出了部分信息请根据以上信息，解答下列问题： 根据以上信息，解答下列问题： (1)电影长空之王得分的中位数是______ ，众数是______ ； (2)电影速度与激情得分的平均数是多少？ (3)若该校有名学生观看过这两部影片，他们都对这两部作品分别进行了评分，你认为这两部作品一共可得到多少个满分？ 23．（10分）【问题情境】勤劳智慧的中国人在很早的时候就发明了一种称重工具−−杆秤（如图1），相传为春秋时期“商圣”范蠡所创，杆秤的应用方便了古人的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．    【实践发现】某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x厘米（）与秤钩所挂物体重量y斤之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据． x 4 12 16 24 28 36 y 0 1 3 4 【实践探究】 （1）在图2的平面直角坐标系中，请以表格中的x值为横坐标、y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来；      （2）根据（1）所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由； 【问题解决】 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，求秤钩所挂物体的重量． 24．（10分）【问题情境】暑假即将来临，某水上乐园的商家看准时机，购进一批单价为40元的儿童泳装，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少6套．设销售单价提高元，销售量为套． (1)【建立模型】求与之间的函数关系式． (2)【模型应用】当销售单价为多少元时，商家每月获利最多？每月最多获利多少元？ 25．（10分）如图所示，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线上方，试求出面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G．当为直角三角形时，请直接写出点G的坐标． 26．（10分）数学活动课上，同学们用矩形纸片折叠作特殊的角．操作如下： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使折痕经过点B，得到折痕，点A的对应点为点N，把纸片展平，连接． (1)如图1，当点N落在上，直接写出和的数量关系．    (2)如图2，当时，延长交于点P．    ①求证：点P在的平分线上； ②若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级（下）期末数学仿真模拟试卷 【人教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考试范围：八年级下册+九年级上册第二章） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列天气图形符号中是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据中心对称图形的定义判断正确选项． 【详解】在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后能够与原来的图形重合，这个图形称作中心对称图形． 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 2．关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项为， 系数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键． 3．下列各组线段中，能够组成直角三角形一组是（    ） A．1，1， B．1，2，3 C．2，2，2 D．6，8，10 【答案】D 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【详解】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意； B． ，不可以构成三角形，故B选项不符合题意； C．，不可以构成直角三角形，故C选项不符合题意； D． ，可以构成直角三角形，故D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，三角形三边关系的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置． 【详解】解：∵函数y＝kx+b的k＜0，b＞0， ∴该函数图象经过一、二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 5．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是（    ）    A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理，结合正方形的面积，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的面积，正确识别图形是解本题的关键．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 6．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，由此即可得到答案． 【详解】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方差的定义，解题的关键在于能够熟练掌握，波动越小，方差越小，数据越稳定． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.不能合并，原式计算错误； B.，原式计算错误； C.，原式计算正确； D.，原式计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用第三天进馆人次=第一天进馆人次×(1+平均增长率) ×(1+平均增长率)，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．已知点，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数解析式得到函数开口向下，对称轴为直线，进而得到离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小是解题的关键． 10．如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）    A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，观察题目的信息是解题的关键． 11．如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A、B点的坐标，表示出的长，再根据配方法确定出的最小值；然后再根据三角形的面积可得的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答． 【详解】解：∵点和点， ∴， ∴的最小值为1，此时最长， ∴， 解得． 又∵点M在x轴负半轴， ∴点M的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出最小时，最长． 12．在平面直角坐标系中，二次函数部分图象和一次函数的图象如图所示．已知它们有一个交点为，点在该二次函数图象上，则它们的另一个交点在（    ） A．之间 B．点 C．之间 D．点 【答案】A 【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，根据图像进行判断即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线x=2， 因为，点在该二次函数图象上， 所以，点在该二次函数图象上， 观察图像可得它们的另一个交点在之间． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，和数形结合的数形熟练掌握相关知识是解题的关键 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 14．若将抛物线的图象先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的表达式为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 15．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩（百分制）依次是80，90，86，则小桐这学期的体育成绩是 ． 【答案】86分 【分析】根据题意，求小桐的三项成绩的加权平均数即可． 【详解】解：（分）， 答：小桐这学期的体育成绩是86分． 故答案是：86分 【点睛】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的意义，是解题的关键． 16．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】6 【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键． 17．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小． 18．如图，在矩形中，，点M为边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为 °．    【答案】75 【分析】线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，首先证明，得到，则当时，的长度最小，然后设，，则，求出，可得是等腰三角形，再证明是等边三角形，求出，进而求出的度数． 【详解】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，如图所示： ，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， 则当时，的长度最小， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，等腰直角三角形以及等边三角形的判定和性质等知识，求出当时，的长度最小是解答本题的关键. 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算： 【答案】11﹣4 【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式＝7﹣5+5﹣4+4 ＝11﹣4． 【点睛】此题考查的是二次根式的运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． 20．（6分）解方程：． 【答案】，． 【分析】先计算，再利用求根公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查的是利用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 21．（10分）如图，在矩形中．延长AD至点E，使，连接交于点F．    (1)求证：； (2)若，，求点A，F之间的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)5. 【分析】（1）由""可证； （2）由全等三角形的性质和勾股定理可求的长. 【详解】（1）解：(1)证明:∵四边形是矩形， 在和中， （2）解：， ， 在中，， ， 即点A，F之间的距离为5. 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. 22．（10分）长空之王和速度与激情是五一“黄金周”以来最火的两部电影，为了解本校学生对这两部部作品的评价，某调查小组从该校观看过这两部电影的学生中各随机抽取了名学生对这两部作品分别进行评分满分分，并通过整理和分析，给出了部分信息请根据以上信息，解答下列问题： 根据以上信息，解答下列问题： (1)电影长空之王得分的中位数是______ ，众数是______ ； (2)电影速度与激情得分的平均数是多少？ (3)若该校有名学生观看过这两部影片，他们都对这两部作品分别进行了评分，你认为这两部作品一共可得到多少个满分？ 【答案】(1)8.5，9 (2) (3)这两部作品一共大约可得到个满分 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，涉及中位数、众数、平均数， 根据中位数和众数的定义即可求解； 通过加权平均数的计算方法得出答案； 求出两部作品满分人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：∵这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多， 这组数据的众数是． 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是，，有， 这组数据的中位数为， 故答案为：，9； （2）分所占的百分比：， 《速度与激情10》评分的平均数为； （3）（个） 答：这两部作品一共大约可得到个满分． 23．（10分）【问题情境】勤劳智慧的中国人在很早的时候就发明了一种称重工具−−杆秤（如图1），相传为春秋时期“商圣”范蠡所创，杆秤的应用方便了古人的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．    【实践发现】某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x厘米（）与秤钩所挂物体重量y斤之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据． x 4 12 16 24 28 36 y 0 1 3 4 【实践探究】 （1）在图2的平面直角坐标系中，请以表格中的x值为横坐标、y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来；      （2）根据（1）所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由； 【问题解决】 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，求秤钩所挂物体的重量． 【答案】（1）见解析；（2）这些点在一条直线上，解析式为；（3） 【分析】（1）先描点，然后连线即可得到答案； （2）观察可知这些点在同一直线上，利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （3）把代入（2）所求解析式中求出y的值即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求；    （2）观察可知这些点在一条直线上，设该直线的解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴该直线解析式为； （3）当时，， ∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，秤钩所挂物体的重量为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，求一次函数解析式等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 24．（10分）【问题情境】暑假即将来临，某水上乐园的商家看准时机，购进一批单价为40元的儿童泳装，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少6套．设销售单价提高元，销售量为套． (1)【建立模型】求与之间的函数关系式． (2)【模型应用】当销售单价为多少元时，商家每月获利最多？每月最多获利多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为50元时，商家每月获利最多，每月最多获利5400元． 【分析】（1）根据销售单价每提高1元，销售量相应减少6套列函数关系式即可； （2）根据利润=每套的利润×销售量列出二次函数关系式，然后求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：设商家每月的利润为w， 由题意得：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w取最大值5400， （元）， 答：当销售单价为50元时，商家每月获利最多，每月最多获利5400元． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题的关键． 25．（10分）如图所示，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线上方，试求出面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G．当为直角三角形时，请直接写出点G的坐标． 【答案】(1) (2)当时，有最大值为 (3) 【分析】（1）将点和点代入即可得到抛物线解析式； （2）过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P横坐标为m，则，，求出，即可求出答案． （3）分情况讨论，分当时和当时两种情况，依次进行讨论． 【详解】（1）由题意知：， 解得， ． （2）设直线BC解析式为过点， ，解得． ． 过点P作轴，垂足为M，交于点D    设点P横坐标为m 则，． ， 抛物线开口向下． 当时，有最大值为． （3）解： ①如图1，当时，轴，    C与G关于对称轴：直线对称， 点． ②如图2，当时，过G作轴，垂足为F．    ， ． ． ． 设，则G为 ． 解得（不合题意，舍去），． 点． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定，分类讨论是解答本题的关键． 26．（10分）数学活动课上，同学们用矩形纸片折叠作特殊的角．操作如下： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使折痕经过点B，得到折痕，点A的对应点为点N，把纸片展平，连接． (1)如图1，当点N落在上，直接写出和的数量关系．    (2)如图2，当时，延长交于点P．    ①求证：点P在的平分线上； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析 ②cm 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，，连接，可得，进一步可求出，利用角所对直角边等于斜边的一半可得出结论； （2）①连接，证明，可得，进一步可得出结论；②由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴ 由折叠得，，，，，， ∴是的垂直平分线， 连接，则如图1，    ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 又， ∴； （2）①连接，    ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴． ∵，                                      ∴BC=BN ， 又∵， ∴ ．   ∴， ∴点P在的平分线上． ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． ∵， ∴， 由①得， ， ∴， ∴设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴ ， 解得x＝， ∴的长为 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$