2.7 探索勾股定理（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

2.7 探索勾股定理 【考点1一直直角三角形的两边，求第三边长】 【考点2求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【考点3等面积法求直接斜边上的高问题】 【考点4作无理数的线段】 【考点5勾股定理的证明】 知识点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【考点1一直直角三角形的两边，求第三边长】 【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（　　） A．6 B． C．10 D．6或 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．144 【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．或12 C． D．12 【考点2求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（　　） A．17.5 B．20 C． D．28 【变式2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．144 B．194 C．12 D．13 【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【考点3等面积法求直接斜边上的高问题】 【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4.8 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【考点4作无理数的线段】 【典例4】边长为1的正方形OABC在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　） A．1 B． C． D． 【变式4-1】如图，数轴上的点A所表示的数为x，则点A坐标为　 　． 【变式4-2】（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上； ②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 知识点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以 【考点5勾股定理的证明】 【典例5】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E． （1）求证：∠DAC＝∠BCE； （2）如果AC＝BC． ①求证：CD＝BE； ②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【变式5-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理； （2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值． 【变式5-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长． 【变式5-3】如图1，将长为2a+3，宽为3a﹣2的长方形ABCD分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）求图2中小正方形MNPQ的边长（用含a的代数式表示）； （2）当a＝3时，请直接写出小正方形MNPQ的面积． 一、单选题 1．如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． 2．下列各组线段能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，6 C．6，10，8 D．12，13，25 3．如图，在中，已知，则边上的高为（    ） A．2.4cm B．3cm C．4.8cm D．无法确定 4．如图，在中，，，分别以点A、B为圆心；大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M，N，作直线交于点D．若，则的长是（    ） A．11 B．13 C． D． 5．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为（　　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6．已知a，b，c是某三角形的三边，满足则此三角形的面积为（    ） A．32.5 B．60 C．78 D．30 7．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连结．若，，则的长是（    ）    A．5 B．10 C．12 D．13 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 10．如图，中，，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 12．如图，，，，，数轴上点A表示的数是 ． 13．一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 14．如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了 ． 三、解答题 15．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图，在中，，求的长． 17．如图，在四边形中，，，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 探索勾股定理 【考点1一直直角三角形的两边，求第三边长】 【考点2求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【考点3等面积法求直接斜边上的高问题】 【考点4作无理数的线段】 【考点5勾股定理的证明】 知识点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【考点1一直直角三角形的两边，求第三边长】 【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（　　） A．6 B． C．10 D．6或 【答案】B 【解答】解：∵两条直角边的长分别为4和6， ∴斜边＝＝2． 故选：B． 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．144 【答案】C 【解答】解：由勾股定理得：b＝＝＝12 故选：C． 【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则由勾股定理知： AB＝＝＝． 故选：A． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．或12 C． D．12 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC＝＝＝12． 故选：D． 【考点2求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（　　） A．17.5 B．20 C． D．28 【答案】C 【解答】解；如图，过A作AD⊥BC，垂足为D． 设BD＝x，则CD＝5﹣x， ∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2+BD2＝AC2+CD2， ∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2 ，∴x＝4， ∴AD＝＝＝4． ∴S△ABC＝BC•AD＝×5×4＝10． 故选：C． 【变式2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【解答】解：∵∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12， ∴AC＝＝＝5， ∵∠B＝90°，BC＝3， ∴AB＝＝＝4， 故选：A． 【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．144 B．194 C．12 D．13 【答案】A 【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144． 故选：A． 【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解答】解：设直角三角形两直角边长为a，b， ∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10， ∴24﹣（a+b）＝10， 即a+b＝14， 由勾股定理得：a2+b2＝102＝100， ∵（a+b）2＝142， ∴a2+b2+2ab＝196， 即100+2ab＝196， ∴ab＝48， ∴直角三角形的面积＝ab＝24， 故选：B． 【考点3等面积法求直接斜边上的高问题】 【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4.8 【答案】D 【解答】解：如右图所示， 在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°， ∴BC＝＝＝10， 又∵S△ABC＝AC•AB＝BC•AD， ∴6×8＝10AD， ∴AD＝4.8． 故选：D． 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设点C到AB的距离为h， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2， ∵AC＝9，BC＝12， ∴AB＝＝15， ∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h， ∴h＝＝． 故选：A． 【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝2， ∵S△ABC＝3×4﹣×1×2﹣×3×2﹣×2×4＝4， ∴AC•BD＝4， ∴2BD＝4， ∴BD＝， 故选：C． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【答案】C 【解答】解：过A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AE⊥BC， ∴EB＝EC＝CB＝3， 在Rt△ABE中，AE＝＝＝4， ∴△ABC的面积为•BC•AE＝×6×4＝12， ∴•AC•BD＝12， 5×BD＝12， 解得BD＝． 故选：C． 【考点4作无理数的线段】 【典例4】边长为1的正方形OABC在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵正方形OABC的边长为1， ∴在等腰直角三角形AOB中， OB＝＝． 故选：B． 【变式4-1】如图，数轴上的点A所表示的数为x，则点A坐标为　﹣+1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， ∵OB＝OC＝1， ∴BC＝＝， ∴AC＝BC＝，OA＝﹣1， ∴点A表示的数为﹣+1， 故答案为﹣+1． 【变式4-2】（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上； ②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求的正方形； （2）以A为圆心、AB为半径做弧交数轴于点E，点E即为所求． 知识点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以 【考点5勾股定理的证明】 【题型5：勾股定理的证明】 【典例5】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E． （1）求证：∠DAC＝∠BCE； （2）如果AC＝BC． ①求证：CD＝BE； ②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）①证明过程见解答； ②证明过程见解答． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D， ∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE； （2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， 由（1）知：∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE； ②由图可知： S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB， ∴＝， 化简，得：a2+b2＝c2． 【变式5-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理； （2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值． 【答案】（1）a2+b2＝c2； （2）t＝． 【解答】解：（1）S梯形ADCB＝S△AEB+S△BEC+S△EDC， ＝++， a2+2ab+b2＝c2+2ab， a2+b2＝c2； （2）过A作∠BAC的角平分线交BC于点P，过P作PD⊥AB交AB于点D， ∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC＝8cm， ∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB， ∴PC＝PD， ∵S△ACP+S△ABP＝S△ABC， AC•CP+AB•PD＝AC•BC， ×8×CP+×10×CP＝×8×6， ∴CP＝， ∴P点走过的路径为AC+CP＝8+＝， ∴t＝÷4＝． 【变式5-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长． 【答案】1． 【解答】解：设直角三角形的两直角边中较长边为a，较短边为b， ∴大正方形的边长为，面积为a2+b2， 由题意得：， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝49﹣25＝24， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣24＝1， ∴a﹣b＝1， ∴小正方形的边长为：4﹣3＝1． 【变式5-3】如图1，将长为2a+3，宽为3a﹣2的长方形ABCD分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）求图2中小正方形MNPQ的边长（用含a的代数式表示）； （2）当a＝3时，请直接写出小正方形MNPQ的面积． 【答案】（1）+4；（2）． 【解答】解：（1）∵直角三角形的较长直角边长2a+3，较短直角边长（3a﹣2）， ∴小正方形MNPQ的边长＝2a+3﹣（3a﹣2）＝+4； （2）∵当a＝3时，+4＝， ∴小正方形MNPQ的面积是×＝． 一、单选题 1．如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， 故答案为：6． 2．下列各组线段能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，6 C．6，10，8 D．12，13，25 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴长为12，13，25的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，在中，已知，则边上的高为（    ） A．2.4cm B．3cm C．4.8cm D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过A作于D，设边上的高为h，利用等腰三角形三线合一性质求出，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过A作于D，设边上的高为h， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 4．如图，在中，，，分别以点A、B为圆心；大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M，N，作直线交于点D．若，则的长是（    ） A．11 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，由作图可知，垂直平分线段，利用线段的垂直平分线的性质求出，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ， ，，， ， ， ． 故选：D． 5．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为（　　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一，先根据勾股定理得出，再根据等腰三角形的性质得出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，平分， ∴， 故选C． 6．已知a，b，c是某三角形的三边，满足则此三角形的面积为（    ） A．32.5 B．60 C．78 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性，勾股定理的逆定理等知识，求出是解题的关键． 由非负数的性质知，得是直角三角形，从而求出面积． 【详解】解： 由绝对值、偶次方的非负性、算术平方根知： 是直角三角形， 故选：D． 7．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连结．若，，则的长是（    ）    A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理和中垂线的性质，理解基本性质是解题关键．利用勾股定理算出，再结合中垂线的性质得到，即可解题． 【详解】解： ，，，， ， 是的垂直平分线， ， 故选：D． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴根据题意可得，，， ∴， ∵是正方形的面积， ∴正方形的面积为8，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故选：C． 10．如图，中，，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，进行判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选A． 11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．结合题意，根据小三角形的面积可以得出，再根据勾股定理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 12．如图，，，，，数轴上点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．根据勾股定理求得的长，根据数轴即可求点表示的数． 【详解】解：∵，，，， ∴， 数轴上点表示的数是， 故答案为：． 13．一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可． 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴该直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 14．如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 15．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及勾股定理． （1）利用角平分线和平行线的性质即可判定； （2）先利用角平分线性质得，求出，即可求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分交于点，， ∴． 在中，， ∵， ∴， 在中，． 16．如图，在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理．根据含30度的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 先根据直角三角形的性质求出的长，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：，在中，∵ ∴ 由勾股定理，得． 17．如图，在四边形中，，，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据，可得，由，推出，即可证明； （2）由（1）中的，可得，，在中，由勾股定理可求出，进而求出，最后在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 在和中，， ； （2）， ，， 在中，由勾股定理可得：， ， 在中，由勾股定理得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$