2.5 逆命题与逆定理（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

2.5 逆命题与逆定理 【考点1定理与证明】 【考点2判断是否为互逆命题】 【考点3写出命题的逆命题】 【考点4 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【考点5根据给出的论断组命题并证明】 命题、定理、证明 【考点1定理与证明】 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 【变式1-1】数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【变式1-2】有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【考点2判断是否为互逆命题】 【典例2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【变式2-1】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【变式2-2】判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A． ①② B．①④ C．②④ D．②③ 【考点3写出命题的逆命题】 【典例3】命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题可以写成： ，所写出的命题是 命题(填“真”或“假”) ． 【变式3-1】写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ． 【变式3-2】请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【变式3-3】命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【考点4 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【典例4】命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【变式4-1】如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【变式4-2】如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【变式4-3】【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 【考点5根据给出的论断组命题并证明】 【典例5】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【变式5-1】数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【变式5-2】如图，现有以下三个语句：①；②；③．请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举反例说明． 【变式5-3】如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①． （1）在构成的三个命题中，真命题有________个； （2）请选择其中一个真命题加以证明． 1．下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．下列命题的逆命题错误的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．两直线平行，内错角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．对顶角相等 3．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，那么 C．若，则 D．等边三角形的三个内角都相等 4．下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．等边三角形是等腰三角形 D．全等三角形的对应角相等 5．下列命题：①等边三角形的三个内角都相等；②若，则；③对顶角相等；④等边对等角．它们的逆命题是真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的每一个角都等于 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 7．下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．全等三角形的面积相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 8．下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．相等的角是对顶角 C．全等三角形的对应边相等 D．同旁内角互补，两条直线平行 9．下列命题的逆命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．若，，则 10．下列命题的逆命题正确的是( ) A．全等三角形对应角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．如果，那么 D．等边三角形是锐角三角形 11．命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ． 12．写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假． (1)如果，，那么； (2)两直线平行，同旁内角互补． 13．求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，______． 求证：______． 证明： 14．卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 逆命题与逆定理 【考点1定理与证明】 【考点2判断是否为互逆命题】 【考点3写出命题的逆命题】 【考点4 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【考点5根据给出的论断组命题并证明】 命题、定理、证明 【考点1定理与证明】 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义解答本题．熟练掌握命题与定理的知识是解决此类问题的关键． 【详解】解：A. 每个命题都有逆命题，说法正确； B. 每个定理不一定有逆定理，说法错误； C. 假命题不是定理，说法错误； D. 假命题的逆命题可能是真命题，说法错误； 故选A． 【变式1-1】数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【答案】B 【分析】根据数学史，即可得到答案； 【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得， 故选：B． 【点睛】本题考查了《几何原本》，早在公元前3世纪，希腊数学家欧几里得用由反复实践所证实而被认为不需要证明的少数命题为前提，用逻辑推理的方法，将前人在几何方面的研究成果整理成《几何原本》． 【变式1-2】有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 【考点2判断是否为互逆命题】 【典例2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【变式2-1】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 【变式2-2】判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【考点3写出命题的逆命题】 【典例3】命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题可以写成： ，所写出的命题是 命题(填“真”或“假”) ． 【答案】 两个面积相等的三角形是全等三角形 假 【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，全等三角形的判定．正确的写逆命题并判断命题的真假是解题的关键． 根据题意写出逆命题，然后判断命题的真假即可． 【详解】解：由题意知，“两个全等三角形的面积相等”的逆命题为两个面积相等的三角形是全等三角形，该命题为假命题， 故答案为：两个面积相等的三角形是全等三角形，假． 【变式3-1】写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ． 【答案】两直线平行，内错角相等 【分析】考查了命题与与逆命题，熟练掌握知识点是解题的关键． 交换原命题的特设与结论即可写出逆命题． 【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 【变式3-2】请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了逆命题，根据题意进行解答即可得． 【详解】解：如果，那么的逆命题是如果，那么， 故答案为：如果，那么． 【变式3-3】命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 锐角三角形是等边三角形 假 【分析】本题考查了逆命题及判断命题真假，正确理解三角形的分类是解题关键．先根据原命题写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：锐角三角形是等边三角形；假； 【考点4 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【典例4】命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 【变式4-1】如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【变式4-2】如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【答案】(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 【变式4-3】【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直； (2)见解析； (3)“筝形”的面积等于对角线积的一半． 【分析】（）根据题意写出答案即可； （）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“”可证明，得到，利用“”可证明，即可证明“筝形”的对角线互相垂直； （）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式； 本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直； （2）已知：四边形是“筝形”，，，对角线相交于点． 求证：．    证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴“筝形”的面积等于对角线积的一半． 【考点5根据给出的论断组命题并证明】 【典例5】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【变式5-1】数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】求证：， 证明：如图，设直线与的交点为， 直线为线段的垂直平分线， ，， ， 在与中， ， ∴（SAS）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式5-2】如图，现有以下三个语句：①；②；③．请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举反例说明． 【答案】（1）详见解析；（2）都是真命题． 【分析】（1）分别以①②③为结论即可写出三个命题； （2）根据平行线的判定和性质对三个命题进行判断即可. 【详解】解：（1）如果，，那么． 如果，，那么． 如果，，那么． （2）根据平行线的判定和性质可知，三个命题都是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，熟知命题的结构、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键. 【变式5-3】如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①． （1）在构成的三个命题中，真命题有________个； （2）请选择其中一个真命题加以证明． 【答案】（1）2；（2）选择①②③，见解析. 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判断； （2）选择①②③，根据全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到. 【详解】解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题； ①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题； ②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题； 故答案为2； （2）选择①②③． 证明：在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键. 1．下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】运用不等式的基本性质即可判断①的原命题和逆命题是否正确； 运用不等式的基本性质先判断出②的原命题是否正确，再判断逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正确；运用直角三角形的性质判断③的原命题正确与否，再判断逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”正确与否，问题即可解答. 【详解】①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题. ②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况. ③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形. 故只有①的原命题与其逆命题都是真命题. 故选A. 【点睛】本题考查判断原命题与逆命题正确与否的问题，首先判断原命题的条件及结论，将其对调即可写出其逆命题是解题的关键. 2．下列命题的逆命题错误的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．两直线平行，内错角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】A、直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是正确的； B、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是正确的； C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是正确的； D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是错误的； 故选：D． 3．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，那么 C．若，则 D．等边三角形的三个内角都相等 【答案】B 【分析】本题主要考查逆命题、平行线的性质、开平方、等边三角形的判定与性质，能写出一个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A. 逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； B. 若那么，或，是假命题； C. 若，则，是真命题； D. 三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题； 故选B． 4．下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．等边三角形是等腰三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查逆命题的判定，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假即可． 【详解】解：A．逆命题是如果两个数都是正数，那么它们的积是正数，真命题，符合题意； B．逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，假命题，不符合题意； C．逆命题是等腰三角形是等边三角形，假命题，不符合题意； D．逆命题是如果两个三角形的三组对应角相等，那么这两个三角形全等，假命题，不符合题意； 故选：A． 5．下列命题：①等边三角形的三个内角都相等；②若，则；③对顶角相等；④等边对等角．它们的逆命题是真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：①等边三角形的三个内角都相等的逆命题为三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意； ②若，则的逆命题为若，则，正确，是真命题，符合题意； ③对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，错误，是假命题，不符合题意； ④等边对等角的逆命题为等角对等边，正确，是真命题，符合题意； 所以，真命题有3个， 故选：B． 6．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的每一个角都等于 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查逆命题真假判断，涉及不等式的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定等，先根据题设、结论写出每个选项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A选项的逆命题为“若，则”，当时不成立，因此该逆命题是假命题，不合题意； B选项的逆命题为“若三角形每一个角都等于，则这个三角形是等边三角形”，该逆命题是真命题，符合题意； C选项的逆命题为“若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”，该逆命题是假命题，不合题意； D选项的逆命题为“若，则”，该逆命题是假命题，不合题意； 故选B． 7．下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．全等三角形的面积相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题主要考查了逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟悉课本中的性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”是假命题，故A不符合题意； B、“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”是假命题，故B不符合题意； C、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故C不符合题意； D、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故D符合题意； 故选：D． 8．下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．相等的角是对顶角 C．全等三角形的对应边相等 D．同旁内角互补，两条直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了命题的逆命题，根据平方性质、对顶角性质、全等三角形的性质，平行线的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、原命题的逆命题是如果它们的平方相等，那么两个实数相等，逆命题是错误的，也可能是互为相反数，故该选项是错误的； B、原命题的逆命题是对顶角是相等的角，逆命题是正确的，故该选项是正确的； C、原命题的逆命题是三角形的对应边相等的三角形是全等三角形，逆命题是正确的，故该选项是正确的； D、原命题的逆命题是两条直线平行，同旁内角互补，逆命题是正确的，故该选项是正确的； 故选：A． 9．下列命题的逆命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题；分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、若，则，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意； B、如果，那么，逆命题是如果，那么，逆命题是真命题，符合题意； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； D、若，，则的逆命题是若，则，，逆命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 10．下列命题的逆命题正确的是( ) A．全等三角形对应角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．如果，那么 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了命题和定理；平行线的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，先写出个命题的逆命题，再逐项分析判断． 【详解】解：A的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题； B的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， C的逆命题为：如果，则，，是假命题，还可以是，； D的逆命题为：锐角三角形是等边三角形，是假命题，例如：三个角分别是：，，； 故选：B． 11．命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行 12．写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假． (1)如果，，那么； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)如果，那么，；假命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，逆命题．逆命题就是将原命题的条件和结论对换位置即可． （1）写出原命题的逆命题，结合有理数的乘法即可判断逆命题的真假； （2）写出原命题的逆命题，结合平行线的判定和性质即可判断逆命题的真假； 【详解】（1）如果，，那么为真命题， 其逆命题为：如果，则，，此逆命题为假命题． ∵如果，则，，或者，． （2）两直线平行，同旁内角互补为真命题， 其逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，根据平行线的判定逆命题为真命题． 13．求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，______． 求证：______． 证明： 【答案】；．证明见解析 【分析】本题主要考查命题的证明，根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，再延长至D，使得，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明． 【详解】解：根据直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则． 根据这条直角边所对的角等于30度，则． 延长至D，使得，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵，且． ∴垂直平分 ∴， ∴， 则是等边三角形． ∴． ∴． 故答案为：，，（证明见上）． 14．卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是．结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 【详解】已知：如图，，为的中点． 求证： 证明：如图，连接， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$