1.3反比例函数的应用（七大题型提分练）数学鲁教版五四制九年级上册

1.3反比例函数的应用（七大题型提分练） 题型一、反比例函数与实际问题 1．（2024·广西南宁·二模）已知甲、乙两地相距40千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时），关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋城·三模）生活中做拉面的过程渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条总长度与面条粗细（横截面面积）存在一定的函数关系；项目化学习小组的同学用一块面团进行了试验，并将数据整理如下： 面条粗细 … 0.4 0.3 0.2 0.1 … 面条总长度 … 33 44 66 132 … 根据以上数据可知，当面条总长度为220cm时，面条粗细为 ． 3．（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)在降温过程中，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围． (2)在一个加热周期内，求水温不低于的时间． 4．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 题型二、反比例函数与物理相结合问题 5．（2024·山西晋城·三模）某一用电器的电阻是可调节的，其范围为（含和），这个用电器的电路图如图所示，已知电压，则这个用电器的功率的最大值为 ． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．当时，二氧化碳的密度ρ是 ． 7．（2024·河北唐山·一模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强 200 400 500 800 1000 受力面积 (1)根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值； (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 8．（2024·河南洛阳·一模）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离x/ 30 25 20 15 10 容器与水的总质量/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于x的函数图象．      (1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据回答下列问题： ①直接写出关于x的函数表达式； ②当时，随x的增大而_______（填“增大”或“减小”），随x的增大而_______（填“增大”或“减小”） ③的图象与的图象有什么位置关系？ ④求关于x的函数表达式； (3)若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘B与点C的距离x的取值范围． 题型三、反比例函数与一次函数图象的判断 9．（2024·辽宁营口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，．的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．（2024·安徽合肥·三模）若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数  图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 12．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，正比例函数（）的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上（且），点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是 ． 题型四、一次函数与反比例函数的交点问题 13．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 14．（2024·广东河源·二模）已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D． 15．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 16．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 题型五、一次函数与反比例函数的应用问题 17．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 18．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 19．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 20．（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 题型六、一次函数与反比例函数的综合问题 21．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 22．（2024·浙江温州·二模）已知反比例函数与一次函数（，，b是常数，，）的图象交于点，． (1)求函数和的表达式； (2)若点P是反比例函数图象上一点，将点P先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得点M，点M恰好落在一次函数图象上，求点P的坐标． 23．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与y轴正半轴，x轴分别相交于C，D两点． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)求证：； (3)若点P是位于点C上方的y轴上的动点，过P，A两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点E，连接．当，且的面积为18时，求点E的坐标． 24．（2022·安徽·模拟预测）小木同学在学习了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： (1)绘制函数图象 ①列表：如表是与的几组对应值，其中______； … … … … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整． (2)探究函数性质 请你结合函数图象，写出此函数的两条性质： ①____________；②____________． (3)函数的应用 请你结合函数图象，直接写出的解集：______． 题型七 、反比例函数与几何综合问题 25．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点不与点重合，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)连接，求； (3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由． 27．（2024·江苏苏州·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，以点为直角顶点作等腰，若点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 28．（2024·四川成都·三模）已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． (1)若，请直接写出当时，x的取值范围； (2)如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值； (3)在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离． 一、单选题 1．（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则（    ） A．4或 B． C． D． 3．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，由3个边长均为1的小正方形拼成矩形，其中矩形的顶点在坐标原点，顶点在轴正半轴上，顶点在函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 4．（2024·江苏无锡·二模）如图，双曲线经过矩形的顶点．双曲线交，于点、，且与矩形的对角线交于点．连接，若．则的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·河北石家庄·三模）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·福建莆田·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：随的增大而减小；关于的函数图象位于第一、第三象限；当为时，抙动石头至少需要的力；当抙动石头需要的力，至少为；上面四种说法正确的是 ．（只填序号） 7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，点为上一点且是的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，若，则的值为 ． 8．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题： （1）内整点的个数最多有 个； （2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1） ； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积= ． 10．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限． （1）当G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）G上； （2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 三、解答题 11．（2024·山东泰安·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点在该反比例函数图象上，且它到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，视力表上视力值V和字母E的宽度a（）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图所示，经整理，视力表上部分视力值和字母E的宽度a（）的对应数据如表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第4行 0.2 35 第7行 0.4 17.5 第14行 2.0 3.5 (1)请你根据表格数据判断并求出视力值V和字母E的宽度a（）之间的函数表达式，并说明理由； (2)已知第5行首个字母E的宽度a（）的值是28，第8行视力值V为0.5，请分别求出第5行的视力值和第8行字母E的宽度 13．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． (1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ (2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 14．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 15．（2019·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为轴于点，反比例函数的图像的一支分别交于点，延长交反比例函数的图像的另一支于点E，已知D的纵坐标为． （1）求反比例函数的解析式及直线OA的解析式； （2）连接BC，已知，求 （3）若在轴上有两点，将直线绕点旋转，仍与交于，能否构成以为顶点的四边形为菱形，如果能请求出的值，如果不能说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3反比例函数的应用（七大题型提分练） 题型一、反比例函数与实际问题 1．（2024·广西南宁·二模）已知甲、乙两地相距40千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时），关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据路程时间速度可得，再变形可得． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 2．（2024·山西晋城·三模）生活中做拉面的过程渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条总长度与面条粗细（横截面面积）存在一定的函数关系；项目化学习小组的同学用一块面团进行了试验，并将数据整理如下： 面条粗细 … 0.4 0.3 0.2 0.1 … 面条总长度 … 33 44 66 132 … 根据以上数据可知，当面条总长度为220cm时，面条粗细为 ． 【答案】0.06 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 根据数据判断是反比例函数，再用待定系数法求出反比例函数解析式，将代入解析式计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据，，判断该函数为反比例函数， 设反比例函数解析式为， 当时，， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：0.06． 3．（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)在降温过程中，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围． (2)在一个加热周期内，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)在一个加热周期内，水温不低于的时间是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， 当时，， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 4．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 题型二、反比例函数与物理相结合问题 5．（2024·山西晋城·三模）某一用电器的电阻是可调节的，其范围为（含和），这个用电器的电路图如图所示，已知电压，则这个用电器的功率的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，利用电功率的公式写出反比例函数表达式，根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】 这个用电器的功率 是反比例函数 电阻越小，用电器的功率越大 由题可知，电阻最小值为 则：这个用电器的功率的最大值为： 故答案为：． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．当时，二氧化碳的密度ρ是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入表达式中得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴当时，气体的密度是， 故答案为：． 7．（2024·河北唐山·一模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强 200 400 500 800 1000 受力面积 (1)根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值； (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2)这种摆放方式不安全，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式． （1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令，求出a的值即可； （2）算出S的值，即可求出P的值，比较就可得出答案． 【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设，将代入得： ， ， 将代入得：， ； （2）这种摆放方式不安全，理由如下： 由图可知， 将长方体放置于该水平玻璃桌面上， ． ， 这种摆放方式不安全． 8．（2024·河南洛阳·一模）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离x/ 30 25 20 15 10 容器与水的总质量/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于x的函数图象．      (1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据回答下列问题： ①直接写出关于x的函数表达式； ②当时，随x的增大而_______（填“增大”或“减小”），随x的增大而_______（填“增大”或“减小”） ③的图象与的图象有什么位置关系？ ④求关于x的函数表达式； (3)若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘B与点C的距离x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①；②减小，减小；③的图象向下平移5个单位长度得到的图象；④ (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用平滑的曲线将这些点连接起来即可； （2）①根据表格数据，直接利用待定系数法求解即可； ②观察图象即可作答； ③观图象即可作答； ④根据表格中数据的变化规律作答即可； （3）将的函数表达式代入，解不等式组求解即可． 【详解】（1）关于x的函数图象如图所示：    （2）①设关于x的函数表达式为， 把代入，得，解得， ∴关于x的函数表达式为； ②观察图象可知，当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小， 故答案为：减小，减小； ③由图象可知，将的图象向下平移得到的图象； ④由题意得，关于x的函数表达式为， ∴关于x的函数表达式为； （3）当，即， 解得， ∴盘B与点C的距离x的取值范围为． 题型三、反比例函数与一次函数图象的判断 9．（2024·辽宁营口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，．的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数解析式，图像法解不等式等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．首先利用待定系数法解得反比例函数解析式，进而确定点坐标，然后根据不等式的解集是一次函数图像在反比例函数图像上方所对应的的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴该反比例函数解析式为， 将代入， 可得，， 解得， ∴， 由图像知，不等式的解集是或． 故选：D． 10．（2024·安徽合肥·三模）若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程的两根， ， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B.由图象得：，，符合题意； D .由图象得：，，，结论错误，不符合题意； 故选：B． 11．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数  图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，进而证明，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图像上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，正比例函数（）的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上（且），点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：正比例函数（）的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ． 令，则． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ， ， ． ， ， ． ①当时，， 不符合要求，应舍去． ②当时，， 符合要求． ③当时，， 不符合要求，应舍去． ④当时，， 符合要求． ⑤当时，， 不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解不等式是本题的关键． 题型四、一次函数与反比例函数的交点问题 13．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 14．（2024·广东河源·二模）已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集，先求出一次函数和反比例函数的交点横坐标，根据函数图象分析得出答案即可，熟练掌握根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数， ∴时，， 整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 如图，画出图象观察分析， ∴当时，的取值范围为或， 故选：A． 15．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，求得直线EF的解析式为，解方程得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 16．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)在第一象限内当时， (3)点P的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解： 双曲线过点， ， 双曲线的解析式为， 点，线段，都垂直于轴，， 点的横坐标为6， 把代入解得， ， 把、点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：观察图象可知，在第一象限内当时，； （3）解：设， ，， ，，，， 当点在的左侧时， ， ， ， ，解得， 此时， 当点在的右侧时， ，， ， ，解得， 此时， 综上，点的坐标是或． 题型五、一次函数与反比例函数的应用问题 17．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 18．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3)小时 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． （1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）当时，， ， 当时，， ， 在时时内有个小时气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 19．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 20．（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 题型六、一次函数与反比例函数的综合问题 21．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，补全表格见解析 (2)的取值范围为或； 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 22．（2024·浙江温州·二模）已知反比例函数与一次函数（，，b是常数，，）的图象交于点，． (1)求函数和的表达式； (2)若点P是反比例函数图象上一点，将点P先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得点M，点M恰好落在一次函数图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求出函数解析式，平移的性质，一次函数和反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数的表达式，将点代入，求得点，再将点A，B代入求解，即可解题； （2）设，则，根据点M恰好落在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 将点代入，得， 将点A，B代入， 得，解得， ； （2）解：设，则， 点M恰好落在一次函数图象上， ，得， 当时，， ． 23．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与y轴正半轴，x轴分别相交于C，D两点． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)求证：； (3)若点P是位于点C上方的y轴上的动点，过P，A两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点E，连接．当，且的面积为18时，求点E的坐标． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中求得a，即可求出A点坐标；把点A坐标代入反比例函数式中求得m，即可求得反比例函数解析式； （2）由一次函数解析式可求得点C、D的坐标，联立一次函数与反比例函数解析式可求得点B的坐标，分别计算即可证明； （3）由已知及（2）的结论得C点是的中点，则可求得k的值，进而求得点C的坐标；连接，易得；设点，则可求得直线解析式，求得点P的坐标，由建立方程即可求得t的值，最后求得点E的坐标． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数解析式中， 得：， 即A点坐标为； 把点A坐标代入反比例函数式中， 得：， ∴反比例函数解析式为； （2） 证明：在一次函数解析式中，令，得；令，得； 点C、D的坐标为、， 联立一次函数与反比例函数解析式，即， 消去y整理得：， 解得：， 当时，， ∴点B的坐标为； ∵，， ∴； （3） 解：∵，， ∴， ∴C点是的中点，且C、D为线段的三等分点， 由A、C、D三点坐标得：，解得：， ∴点C的坐标为； 如图，连接， ∵C、D为线段的三等分点，， ∴； 设点，设直线解析式为， 把A、E两个点坐标分别代入得：，解得：， 即直线解析式为， 令，得 ∴点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等底等高三角形面积相等等知识，有一定的综合性．第（3）小题中把的面积转化为求出的面积是解此问的关键． 24．（2022·安徽·模拟预测）小木同学在学习了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： (1)绘制函数图象 ①列表：如表是与的几组对应值，其中______； … … … … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整． (2)探究函数性质 请你结合函数图象，写出此函数的两条性质： ①____________；②____________． (3)函数的应用 请你结合函数图象，直接写出的解集：______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①利用待定系数法即可得解．②根据表中各数对即可描点，③根据描点即可补充图象如图所示； （2）①写出函数的增减性；②写出函数图象与直线没有交点即可． （3）先求出与的交点，再利用数形相结合即可得解． 【详解】（1）解：（1）①把代入得， 解得． ∴， 当时，， 故答案为：； ②③补充图象如图所示． （2）解：由图可得①当时，函数值随的增大而增大； ②此函数图象与直线没有交点． （3）解：， 解得或， 当时，， 当时，， ∴与相交于点和， 由图可得的解集：或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，解一元二次方程，反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的关系．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型七 、反比例函数与几何综合问题 25．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点不与点重合，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)符合条件的点有个，坐标为或或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分两种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时存在点；②当为平行四边形的边时存在点，求出点坐标即可． 【详解】（1）如图1，作轴，垂足为， 是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：． （2）在轴上存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 根据（1）中求C点坐标，同理可得点坐标，设直线解析式为，代入点坐标得：，解得， 直线解析式为：， 当为平行四边形的对角线时，在中，令，得， ， ， 是平行四边形， ， ， ， ； 当为平行四边形的边时， 点向上移动个单位得到平行四边形， 此时点的坐标为． 同理可得，当点、在轴下方时，． 综上所述，符合条件的点有个，坐标为或或． 26．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)连接，求； (3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)9 (3)存在， 【分析】（1）根据得出点A、D的坐标，即可求出反比例函数的表达式，因为点E是反比例函数和直线的交点，所以先求出直线的表达式，再将反比例函数的表达式与直线的表达式联立，即可求出点E的坐标； （2）根据即可求出； （3）存在，当时，四边形是平行四边形，当时，可证，此时平行四边形为矩形，利用勾股定理分别求出，即可得到矩形的周长． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点 D的纵坐标为2， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为 设直线的解析式为， ∵点A 在直线上， ∴， 解得 ∴直线的解析式为 联立得 解得 或 ∴，； （2）解：由（1）可知， ∵， ； （3）解：在x轴上存在两点M，N，使以点 E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下： ∵设， ∴， ∵， ∴， ∴四边形 是平行四边形，当 时， ∴，即或， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴此时平行四边形为矩形， ∵点M在点N 的左侧， ∴， ∴矩形周长为 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，求坐标系内图形的面积，平行四边形和矩形的判定，根据要求求出点的坐标是解答本题的关键． 27．（2024·江苏苏州·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，以点为直角顶点作等腰，若点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式，一次函数的表达式 (2) 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）过点A作x轴的平行线，过点E，F作x轴的垂线，交直线于点，根据等腰直角三角形的性质证明，设点，，则，从而得到，再列方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ， 解得， ∴； （2）解：过点A作x轴的平行线，过点E，F作x轴的垂线，交直线于点， ， ， ， ， ， 设点，， ， ， ， ，即， 两式相加得:，即， 将代入得：，即， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 点是反比例函数图象上点右侧一点， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定与性质，利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 28．（2024·四川成都·三模）已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． (1)若，请直接写出当时，x的取值范围； (2)如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值； (3)在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离． 【答案】(1)或 (2)15 (3)． 【分析】（1）依题意，列式，进行计算，得出，运用数形结合思想，得出当时，x的取值范围为或，即可作答． （2）结合正方形的性质以及角的等量代换，得证，表达出以及结合在直线上，得出，因为点和点在上，则，列式 进行计算，即可作答． （3）结合正方形的性质，以及一次函数的性质得出此时的平移距离．结合（2）得出，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． ∴ 整理得 ∴ 解得 经检验，是原方程的解， 记直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点E(第三象限) ∴结合图象，当时，x的取值范围为或 （2）解：分别过点作轴、轴，如图所示： 当时，则，解得 ∴点的坐标为 ∵轴、轴， ∴， ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴ 则 ∴ ∵在直线上 ∴ ∴ ∵点和点在上 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 把代入 解出； （3）解：∵在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时， ∴此时的平移距离． ∵，， ∴， 在中， 即此时的平移距离为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，      ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故选：D． 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则（    ） A．4或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．如图连接，，作于，轴于，．根据，得到，根据已知条件得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图连接，，作于，轴于，则． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，由3个边长均为1的小正方形拼成矩形，其中矩形的顶点在坐标原点，顶点在轴正半轴上，顶点在函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，坐标与图形，勾股定理，过点C作轴，交y轴于点H，利用勾股定理求出，再根据求出，再利用勾股定理求出，即可得到点C的坐标，代入中求解即可． 【详解】解：过点C作轴，交y轴于点H， 根据题意得：， 在中，， ，即， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 4．（2024·江苏无锡·二模）如图，双曲线经过矩形的顶点．双曲线交，于点、，且与矩形的对角线交于点．连接，若．则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，则，由双曲线经过矩形的顶点，得，再根据反比例函数的性质得，双曲线（），，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】解：设，过点作轴于点，则,， ∵四边形是矩形， ∴，，, ∴, ∴, ∵， ∴即， ∴， 同理可得： ∴， ∵双曲线经过矩形的顶点， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴， ∴双曲线（）， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 5．（2024·河北石家庄·三模）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数解析式是解题的关键． 设，将代入得，，由题意知，，当时，，然后判断作答即可． 【详解】解：设， 将代入得，， 由题意知，， 当时，， ∴当小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足， 故选：C． 二、填空题 6．（2024·福建莆田·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：随的增大而减小；关于的函数图象位于第一、第三象限；当为时，抙动石头至少需要的力；当抙动石头需要的力，至少为；上面四种说法正确的是 ．（只填序号） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，由题意知，，则，根据反比例函数的图象与性质，反比例函数的实际应用对各说法进行判断即可，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：由题意知，则，， ∵， ∴随的增大而减小， 故正确，符合题意； 由题意知，关于的函数图象位于第一象限， 故错误，不符合题意； 当时，， 故正确，符合题意； 当时，， 故正确，符合题意； 故答案为：． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，点为上一点且是的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象以及一次函数图象上点坐标的特征，三角形中位线的性质，勾股定理，先根据一次函数图象及中位线定义求出点坐标，从而确定点坐标，设点坐标，用分别表示出和值，由构造的方程求解即可，掌握反比例函数图象以及一次函数图象上点坐标的特征是解题的关键． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∵是的中位线， ∴平行于轴， ∴点坐标为，点坐标为， 设点坐标为，则， 在中，由勾股定理可得， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 8．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题： （1）内整点的个数最多有 个； （2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题； （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． （2）∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1） ； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积= ． 【答案】 9 8 【分析】（1）设点 则 ，根据平行四边形面积列出 ，解得： 即可； （2）根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出 ，再根据三角形、平行四边形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：(1)设点 则 ， 的面积为8. 解得： ， 故答案为：9； (2)如图，过点 作 轴，垂足为 过 点 作 轴，垂足为， 交 于点 ， 由(1)可知两个反比例函数解析式为： 和 ， . 故答案为：8. 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形、平行四边形的面积的计算方法是正确解答的关键. 10．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限． （1）当G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）G上； （2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 【答案】 不在 且 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像综合问题： （1）先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再代入点A的横坐标坐标计算即可得到答案； （2）先求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围． 【详解】解：（1）的直角顶点C的坐标为，轴， 则轴， ∴设点， ∵顶点A，B在直线上， 将代入得， 点A的坐标为， 令，解得， 点B的坐标为，代入，得， 双曲线G的解析式为， 当时，， 点A不在双曲线G上， 故答案为：不在； （2）点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合）， 分别为、、、、、， 由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图像越远离x轴而越接近y轴，即开口越大， 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值； 当时，有，即； 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值； 当时，有，即； 但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，； 综上，k的取值范围为且， 故答案为：且． 三、解答题 11．（2024·山东泰安·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点在该反比例函数图象上，且它到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)反比例函数的解析式 (3)或 【分析】（）由反比例函数过，，得出即可； （）设一次函数解析式为，由一次函数过，两点，则一次函数解析式为，又交轴交于点，解得：，得出即可； （）根据图象即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数过，， ∴， ∴； （2）设一次函数解析式为， ∵一次函数过，两点， ∴， 由（）得：， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， ∵一次函数交轴交于点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式； （3）∵它到轴的距离小于， ∴或． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，视力表上视力值V和字母E的宽度a（）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图所示，经整理，视力表上部分视力值和字母E的宽度a（）的对应数据如表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第4行 0.2 35 第7行 0.4 17.5 第14行 2.0 3.5 (1)请你根据表格数据判断并求出视力值V和字母E的宽度a（）之间的函数表达式，并说明理由； (2)已知第5行首个字母E的宽度a（）的值是28，第8行视力值V为0.5，请分别求出第5行的视力值和第8行字母E的宽度 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可； （2）将，，分别代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系， 设视力值和宽度的函数解析式为：， 将点，代入求得， 故视力值和宽度的函数解析式为：． （2）解：∵第5行首个字母E的宽度的值是， 即，将代入函数解析式得，求得； ∵第8行视力值V为， 将代入函数解析式得，求得； 故第5行的视力值和第8行字母E的宽度分别是，． 13．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． (1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ (2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 【答案】(1)当增大时，变小 (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）根据反比例函数的性质，即可求解； （2）取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求得和的值，即可求得相应的函数解析式． 【详解】（1）解：，则当增大时，变小 （2）解：由题意得：． ∵，；， ∴． 解得： 14．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 15．（2019·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为轴于点，反比例函数的图像的一支分别交于点，延长交反比例函数的图像的另一支于点E，已知D的纵坐标为． （1）求反比例函数的解析式及直线OA的解析式； （2）连接BC，已知，求 （3）若在轴上有两点，将直线绕点旋转，仍与交于，能否构成以为顶点的四边形为菱形，如果能请求出的值，如果不能说明理由． 【答案】（1），；（2）24；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可求A、D的坐标，用待定系数法即求出反比例函数解析式；由点A坐标求直线OA的解析式． （2）把直线OA与反比例函数解析式联立方程组，即求出交点C,E的坐标，再把△CEB分成△COB与△EOB，以OB为公共底，点C和点E纵坐标的绝对值为高即求出三角形面积． （3）若为菱形，则对角线互相垂直，但CE不与x轴垂直，矛盾，故不能成为菱形． 【详解】解：（1）因为点A的坐标为轴于B，所以 ，B（8,0） 点D在反比例函数的图象上 所以反比例函数的解析式为 设直线OA的解析式 解得 所以直线OA的解析式为； （2）联立，解得或 ∴又 ； （3）因为所在直线不可能与轴垂直，即不能与垂直 所以为顶点的四边形不能是菱形． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的综合运用，平行四边形、矩形、菱形的判定． ( 63 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$