2.4 等边三角形的性质和应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

2.4等边三角形的性质和应用 【考点1利用等边三角形的性质求边长】 【考点2利用等边三角形的性质求角度】 【考点3 等边三角形的判定】 【考点4等边三角形的判定与性质】 知识点1：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【考点1利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式1-1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 【变式1-2】（2023春•东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．则CD的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-3】（2023秋•浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为 　　． 【考点2利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】（2023秋•金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式2-1】（2023秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【变式2-2】（2023秋•琼中县期中）如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．18° B．42° C．60° D．102° 【变式2-3】（2023秋•西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．60° C．75° D．45° 知识点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【考点3 等边三角形的判定】 【典例3】（2023秋•前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 【变式3-1】（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 【变式3-2】（2023秋•宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD． 求证：△ECB是等边三角形． 【变式3-3】（2023秋•浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． （1）求证：∠C＝∠CDE． （2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 【考点4等边三角形的判定与性质】 【典例4】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【变式4-1】如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 【变式4-2】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 1．如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是等边的一条中线，若在边上取一点E，使得，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，是等边的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 6．如图，为等边三角形， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 8．如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为 ． 9．如图，在等边三角形中，点是边的中点，则 ． 10．如图，三个等边三角形如图放置，若，则 ．    11．如图，是等边三角形，D是边的中点，延长至点E，使．连接．小夏在该图上的作法如下：①在和上分别截取．使；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点P；③作射线．则的度数为 ． 12．如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为 ． 13．如图，等边中，，和相交于，垂足为，求的度数． 14．如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点． (1)； (2)； (3)求的度数． 15．如图1，点，分别是等边边，上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在，边上运动时，变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数； (3)如图2，若点，在分别运动到点和点后，继续在射线，上运动，直线，交点为，则______度．（直接填写度数）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4等边三角形的性质和应用 【考点1利用等边三角形的性质求边长】 【考点2利用等边三角形的性质求角度】 【考点3 等边三角形的判定】 【考点4等边三角形的判定与性质】 知识点1：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【考点1利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5， ∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°， ∴∠BED＝∠EFC， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EC＝1， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4． 故选：C． 【变式1-1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8． ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8， ∵点E，F是BC边的三等分点， ∴， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴， ∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝3×＝8． 故选：D． 【变式1-2】（2023春•东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．则CD的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【解答】解：∵∠B＝60°，AD⊥BC， ∴∠BAD＝30°， ∴， ∵AB＝AC＝10，AD⊥BC， ∴CD＝BD＝5， 故选：D． 【变式1-3】（2023秋•浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为 　15　． 【答案】15． 【解答】解：∵∠C＝60°，AC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∵BC＝5， ∴△ABC的周长为5×3＝15， 故答案为：15． 【考点2利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】（2023秋•金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点， ∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB， ∴∠PBC＝30°， ∵PE＝PB， ∴∠PBC＝∠E＝30°， ∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°， 故选：C． 【变式2-1】（2023秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 【变式2-2】（2023秋•琼中县期中）如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．18° B．42° C．60° D．102° 【答案】D 【解答】解：∵a∥b，∠1＝42°， ∴∠1+∠BAC＝∠2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠2＝42°+60° ＝102°， 故选：D． 【变式2-3】（2023秋•西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．60° C．75° D．45° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A+∠3+∠2＝180°， ∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝75°． 故选：C 知识点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【考点3 等边三角形的判定】 【典例3】（2023秋•前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵E是AC的中点，DE⊥AC， ∴AD＝CD， ∵DE∥BC， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠DCA＝30°， ∴∠CDB＝60°， ∵∠A＝30°， ∴BC＝AB， ∴BC＝BD， ∴△BDC是等边三角形． 【变式3-1】（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DF平分∠CDE， ∴∠CDF＝∠EDF＝∠CDE， ∵∠CDE＝120°， ∴∠CDF＝60°， ∵DF∥BA， ∴∠ABC＝∠CDF＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 【变式3-2】（2023秋•宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD． 求证：△ECB是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AD∥CE， ∴∠A＝∠CEB＝60°． ∵∠CEB＝∠B， ∴CE＝CB． ∴△CEB是等腰三角形． 又∵∠CEB＝60°， ∴△CEB是等边三角形． 【变式3-3】（2023秋•浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． （1）求证：∠C＝∠CDE． （2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥AB， ∴∠CED＝∠B， ∴∠C＝∠CDE； （2）△DEC是等边三角形， 理由：∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠A＝60°， 由（1），△DEC是等腰三角形， ∴△DEC是等边三角形． 【考点4等边三角形的判定与性质】 【典例4】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN， ∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形； （2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN， ∴BM+PB＝AB＝12cm， ∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴2PB＝BM， ∴2PB+PB＝12cm， ∴PB＝4cm， ∴MC＝4cm． 【变式4-1】如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 【答案】见解析． 【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝30°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCB＝∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形； （2）∵CE∥DA， ∴∠BEC＝∠ADB＝60， ∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝BE＝CB， ∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°， ∴BC＝BD， ∴CE＝BD， ∴E是BD的中点， ∴AE是边BD的中线， ∵△ADB是等边三角形， ∴AE⊥BD． 【变式4-2】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°； ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°， ∴△ODE为等边三角形． （2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝OD；同理可证CE＝OE； ∴△ODE的周长＝BC＝10． 1．如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线线有关的内角和计算以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，再根据等边对等角得出，利用三角形内角和可得出，最后利用角的和差关系即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，为角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边得，根据对等角相等，得，结合，得，解答即可． 本题考查了对等角相等，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线性质，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵对顶角相等，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 3．如图，是等边的一条中线，若在边上取一点E，使得，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边对等角是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是等边的一条中线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，是等边的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A 5．如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 故选：A． 6．如图，为等边三角形， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据平行线性质得，最后根据周角的定义可得出的度数．此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 7．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 8．如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵，平行光线， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为： 9．如图，在等边三角形中，点是边的中点，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，可得出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：． 10．如图，三个等边三角形如图放置，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形的外角和定理，由图可知的三个外角的分别为，，，利用三角形的外角和是即可解决问题． 【详解】解：如图，   的外角和， 即， 又， 所以． 故答案为：． 11．如图，是等边三角形，D是边的中点，延长至点E，使．连接．小夏在该图上的作法如下：①在和上分别截取．使；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点P；③作射线．则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边对等角，角平分线的作法等知识，先求出，再利用等角对等边求出，继而求出，利用作图可知平分，从而求出，最后利用求解即可，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，D是边的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴ 故答案为：． 12．如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】由翻折性质可知：， ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 故答案为：． 13．如图，等边中，，和相交于，垂足为，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据定理得出，故可得出，再由三角形外角的性质得到，，再根据可知，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ∴， ， ， ． 14．如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点． (1)； (2)； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出，得证； （2）由，利用全等三角形的对应边相等即可得到； （3）由，利用全等三角形的对应角相等得到，而为三角形的外角，利用外角的性质列出关系式，等量代换后即可求出其度数． 【详解】（1）证明：和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：， ； （3）解：， ， 则 ． 15．如图1，点，分别是等边边，上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在，边上运动时，变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数； (3)如图2，若点，在分别运动到点和点后，继续在射线，上运动，直线，交点为，则______度．（直接填写度数）． 【答案】(1)见解析； (2)点，在运动的过程中，不变，理由见解析； (3)； 【分析】（1）本题考查等边三角形的性质及三角形的判定，根据等边三角形得到，，结合运动得到即可得到判定； （2）本题考查三角形全等的性质及角度加减，根据三角形全等得到，结合即可得到答案； （3）本题考查等边三角形的性质及三角形的判定，根据等边三角形得到，，结合运动得到，从而得到，即可得到，即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵点，运动速度相同， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）解：点，在运动的过程中，不变，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵点，运动速度相同， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$