2.3 等腰三角形的性质和应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

2.3 等腰三角形的性质和应用 【考点1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【考点2根据等腰三角形的性质求角度】 【考点3与垂直平分线有关运算】 【考点4判断等腰三角形的个数】 【考点5根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点6等腰三角形的判定】 【考点7等腰三角形的判定与性质】 【考点8 等腰三角形的实际应用】 知识点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【考点1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】（2023秋•苍梧县期末）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5 【变式1-1】（2023秋•昆明期中）等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【变式1-2】（2023秋•滨海新区校级期中）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．18 【变式1-3】（2023秋•仁化县期中）一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．7cm B．8.5cm C．10cm D．7cm或8.5cm 【考点2根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】（2023春•兴宁市期末）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 【变式2-1】（2023秋•巫溪县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【变式2-2】（2023秋•曲阜市期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内角是70°，则顶角A的度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．40°或70° 【变式2-3】（2023秋•南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【考点3与垂直平分线有关运算】 【典例3】（2023秋•建瓯市期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．45° D．25° 【变式3-1】（2023秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．12 C．14 D．16 【变式3-2】（2023春•蓬莱区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-3】（2023秋•惠州期末）如图，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 知识点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【考点4判断等腰三角形的个数】 【典例4】（2023秋•德城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-1】（2023秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是 　　． 【变式4-2】（2023•鄞州区校级开学）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 　　个． 【考点5根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例5】（2023秋•东阿县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式5-1】（2023秋•西湖区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】（2023秋•五华区校级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（　　）个． A．4 B．6 C．8 D．10 【变式5-3】（2023秋•原阳县期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　　个． 【考点6等腰三角形的判定】 【典例6】（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 【变式6-1】（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠C，AB＝AC，BD＝AD． （1）求∠A的度数． （2）求证：△DBC是等腰三角形． 【变式6-2】（2023秋•泗洪县期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F． （1）证明：BA＝BC； （2）求证：△AFC为等腰三角形． 【变式6-3】（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【考点7等腰三角形的判定与性质】 【典例7】（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F． （1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； （2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长． 【变式7-1】（2023秋•岳阳楼区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数． 【变式7-2】（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 【变式7-3】（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE． （2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数． 【考点8 等腰三角形的实际应用】 【典例8】（2022秋•铁锋区期中）数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是　14海里　，灯塔M在轮船的　南偏东60°　方向上． 【变式8-1】（2022秋•新会区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile/h＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从海岛B到灯塔C的距离． 【变式8-2】（2022秋•越秀区校级期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上． （1）求B处离灯塔C的距离； （2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向． 1．若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，，，于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形周长为，其中一边长为，则该三角形的底边长为（　　） A． B． C． D．或 4．如图，D为延长线上一点，点E在上，连结交于点F．若，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，D为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知等腰三角形，，长为半径画弧，交腰于点E，则（　　）      A． B． C． D． 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是(   ) A． B． C． D． 9．如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是（        ）    A． B． C． D． 10．如图，点B、D在上，点C、E在上，且，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 11．如图，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAC＝（      ） A．30° B．40° C．60° D．120° 12．如图，在中，和的平分线交于点E，过点作分别交、 于、，，，则长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 13．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 15．在中，，于点D，于点E，于点F，，则（　　） A． B． C． D． 16．在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（　　）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 17．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 18．已知：如图中，，平分，平分，过D作直线平行于交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 19．如图，在中，．过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 20．如图，在中，，D是的中点，点E在线段上．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 22．如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 1 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【变式1-3】（2023秋•仁化县期中）一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．7cm B．8.5cm C．10cm D．7cm或8.5cm 【答案】D 【解答】解：∵若7cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：24﹣2×7＝10（cm），此时三角形的三边长分别为7cm，7cm，10cm，符合三角形的三边关系； 若7cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（24﹣7）÷2＝8.5（cm），此时三角形的三边长分别为8.5cm，8.5cm，7cm，符合三角形的三边关系； ∴该等腰三角形的腰长为7cm或8.5cm， 故选：D． 【考点2根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】（2023春•兴宁市期末）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 【答案】B 【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为（180°﹣80°）＝50°； ②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°； 综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°； 故选：B． 【变式2-1】（2023秋•巫溪县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【答案】C 【解答】解：当它的顶角为70°时， 它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°； 当它的底角为70°时， 它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°； ∴它的底角度数是55°或70°． 故选：C． 【变式2-2】（2023秋•曲阜市期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内角是70°，则顶角A的度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．40°或70° 【答案】D 【解答】解：若70°是顶角，则顶角为70°； 若70°是底角，则设顶角是y， ∴2×70°+y＝180°， 解得：y＝40°． 故选：D． 【变式2-3】（2023秋•南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【答案】C 【解答】解：如图：在△ABC中，AB＝AC， 当∠DAC＝70°时， ∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°， ∴等腰三角形的顶角的度数为110°， 故选：C． 【考点3与垂直平分线有关运算】 【典例3】（2023秋•建瓯市期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．45° D．25° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°， ∵DE垂直平分线AB， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°． 故选：C． 【变式3-1】（2023秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长为24， ∴BD+CD+BC＝24， ∴AB+BC＝24， ∵BC＝10， ∴AC＝AB＝24﹣10＝14． 故选：C． 【变式3-2】（2023春•蓬莱区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC＝12， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中 ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝12，BD＝CE， ∵BD＝4， ∴CE＝BD＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8． 故选：C． 【变式3-3】（2023秋•惠州期末）如图，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴， ∵AB的垂直平分线MN交AC于D， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝50°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°； 故选：B． 知识点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【考点4判断等腰三角形的个数】 【典例4】（2023秋•德城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴BD＝AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BD＝BC， ∴△BCD是等腰三角形； ∵BE＝BC， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°， ∴∠A＝∠ADE， ∴DE＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有5个． 故选：D． 【变式4-1】（2023秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝＝72°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BD＝BC， ∴△ABC，△ABD，△BDC都是等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数是3， 故答案为：3． 【变式4-2】（2023•鄞州区校级开学）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 　6　个． 【答案】6． 【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°， ∴△ABC和△ADE是等腰三角形， ∵∠B＝36°，∠ADE＝72°， ∴∠BAD＝36°， ∴AD＝BD， ∴△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形， ∵∠ADE＝∠AED＝72°， ∴∠DAE＝36°， ∴∠CAD＝36°+36°＝72°， ∴∠CAD＝∠CDA＝72°， ∴△ADC是等腰三角形， 同理：△ABE是等腰三角形， 综上所述：等腰三角形有6个， 故答案为：6． 【考点5根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例5】（2023秋•东阿县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件； （2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件； ②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件， 因此共有8个符合条件的点． 故选：D． 【变式5-1】（2023秋•西湖区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：如图：分情况讨论 ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：D． 【变式5-2】（2023秋•五华区校级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（　　）个． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：如图， 当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外）， 当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外）， 当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点， 综上所述：符合条件的点C的个数有8个， 故选：C． 【变式5-3】（2023秋•原阳县期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　3　个． 【答案】3． 【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个； 当AB为底时，点C的个数有1个， 故答案为：3 【考点6等腰三角形的判定】 【典例6】（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵D是AB中点， ∴AD＝BD， 在Rt△ADE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形． 【变式6-1】（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠C，AB＝AC，BD＝AD． （1）求∠A的度数． （2）求证：△DBC是等腰三角形． 【答案】（1）36°；（2）见详解． 【解答】（1）解：设∠A＝x． ∵∠A＝∠C，AB＝AC， ∠ABC＝∠ACB＝2∠A＝2x， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴x+2x+2x＝180°， 解得 x＝36°， ∴∠A＝36°， （2）证明：由（1）可知∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72° ∵BD＝AD， ∴∠ABD＝∠A， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC，即△DBC是等腰三角形． 【变式6-2】（2023秋•泗洪县期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F． （1）证明：BA＝BC； （2）求证：△AFC为等腰三角形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【解答】证明：（1）在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（AAS）， ∴BA＝BC； （2）∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BAD＝∠BCE， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴FA＝FC， ∴△AFC为等腰三角形． 【变式6-3】（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【答案】（1）108°； （2）见解析． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 【考点7等腰三角形的判定与性质】 【典例7】（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F． （1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； （2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长． 【答案】（1）△AEF是等腰三角形，理由见解析； （2）12． 【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形， 理由：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形； （2）∵△ABC的周长为18，BC＝6， ∴AB+AC＝18﹣6＝12， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴BE＝ED， 同理DF＝CF， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12． 【变式7-1】（2023秋•岳阳楼区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数． 【答案】（1）见解析； （2）34°． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE； （2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝37° ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣37°＝68°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD＝34°． 【变式7-2】（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2． ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴AB＝AD． ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形； （2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3， ∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°， ∠ABC＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝40°， 由（1）知，AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°， ∴∠BDC＝50°． 【变式7-3】（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE． （2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠BAD的度数是54°． 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，即∠FBE＝∠CBE， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠EBF＝∠FEB， ∴FB＝FE． （2）解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC，∠ABD＝∠C＝36°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°， ∴∠BAD的度数是54°． 【考点8 等腰三角形的实际应用】 【典例8】（2022秋•铁锋区期中）数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是　14海里　，灯塔M在轮船的　南偏东60°　方向上． 【答案】（1）14海里； （2）轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向． 【解答】解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°， ∵∠CBM＝∠BAM+∠BMA， ∴∠BMA＝30°， ∴∠BMA＝∠BAM， ∴AB＝BM， ∴AB＝28×0.5＝14， ∴BM＝14， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； （2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60°， ∴△BMC是等边三角形， ∴CM＝BC，∠BCM＝60°， ∴CM＝14， 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向上， 故答案为：14海里，南偏东60°． 【变式8-1】（2022秋•新会区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile/h＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从海岛B到灯塔C的距离． 【答案】从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里）， ∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°， ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°， ∴∠C＝∠NAC， ∴BC＝AB＝30海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 【变式8-2】（2022秋•越秀区校级期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上． （1）求B处离灯塔C的距离； （2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向． 【答案】（1）40；（2）1． 【解答】（1）解：根据题意可得∠1＝30°，∠2＝60°， ∴∠C＝∠2﹣∠1＝60°﹣30°＝30°， ∴∠1＝∠C＝30°， .BC＝AB＝20×（10﹣8）＝40（海里）， 即B处离灯塔C的距离为40海里； （2）解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示 ∴∠CDB＝90°， ∵∠2＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝BC＝20海里， ∴20+20＝1（小时） ∴轮船从B处出发，按原速度航行，再过1小时灯塔C正好在船的正东方向 1．若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质．由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角的度数是或． 故选：C． 2．如图，在中，，，于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再求出，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选A． 3．等腰三角形周长为，其中一边长为，则该三角形的底边长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系由于长为的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： （1）当腰长为时，则另一腰也为， 底边为15﹣2×3＝9cm， 边长分别为，，9cm，不能构成三角形； （2）当底边长为时，腰的长， ∴边长为，，，能构成三角形． 故选：A． 4．如图，D为延长线上一点，点E在上，连结交于点F．若，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5．如图，在中，，D为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三线合一是解题的关键． 【详解】解：∵，D为中点， ∴， 故选：D． 6．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解． 【详解】解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 7．如图，已知等腰三角形，，长为半径画弧，交腰于点E，则（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点B为圆心，长为半径画弧， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，分别利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出它的底角的度数即可．分两种情况解答是解题的关键 【详解】解：在中，设于D． ①当锐角三角形，， 所以底角； ②当是钝角三角形，， 此时底角． 所以等腰三角形底角的度数是． 故选：D． 9．如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是（        ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用三角形内角和定理推出，则． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 10．如图，点B、D在上，点C、E在上，且，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，根据，利用等腰三角形的性质即可找出各角的度数，再根据三角形外角的性质即可求出结论． 【详解】，且， ，，， ． 故选：C． 11．如图，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAC＝（      ） A．30° B．40° C．60° D．120° 【答案】A 【分析】根据等腰三角形性质求出∠C，根据线段垂直平分线性质得CD=AD，推出∠DAC＝∠C，即可求出答案． 【详解】∵AB=AC ∴∠C＝∠B＝30° ∵MN垂直平分AC ∴CD=AD ∴∠DAC＝∠C＝30° 故选A 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 12．如图，在中，和的平分线交于点E，过点作分别交、 于、，，，则长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质和平行线性质；由、的平分线相交于点，，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后即可求得结论． 【详解】、的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ，即． ， ， 故选：C． 13．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查利用格点构造等腰三角形，分为腰和为底两种情况，利用格点找出等长线段即可． 【详解】解：如图： 为腰时，有2个 为底时，有1个，共3个． 故选C． 14．如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线的性质，延长交于，证明，再由等腰三角形的性质可得，根据三角形的中线的性质可得，，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选：C． 15．在中，，于点D，于点E，于点F，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是等腰三角形，于点D，得到，，又由得到，则，由得到，则，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 16．在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（　　）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】分三种情况讨论：以为腰，点为顶角顶点；以为腰，点为顶角顶点；以为底． 【详解】解：如图：如图，以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有5个；以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以为底的等腰，所以合计8个． 故选：C．    【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键． 17．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．已知：如图中，，平分，平分，过D作直线平行于交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）， ， 平分， ， ， ， ，， ∴的周长为： ． 19．如图，在中，．过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理； （1）根据角平分线定义和平行线的性质证明，得到，然后等量代换求出即可； （2）求出，可得的度数，然后证明，再根据平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，，D是的中点，点E在线段上．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，D是中点，得到，，证明即可证明； （2）利用角平分线的性质和全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，D是中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，D为中点， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 21．如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，等量代换得，即可求证； （2）由三角形内角和定理得，由平行线的性质得，即可求解； 掌握性质及等腰三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 22．如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，然后推出，，结合已知条件，得到结论． （2）根据等腰三角形的三线合一，得到，根据的周长，利用已知条件，求出答案． 【详解】（1）证明：根据题意得： 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接， 当时， ， ， 的周长，，， 的周长 的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$