2.2 轴对称-最短路径问题（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

2.2 轴对称-最短路径问题 【考点1：两定一动-作图】 【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 【考点4：一定两动-求角度】 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点1：两定一动-作图】 【典例1】如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置． 【变式1-1】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由． 【变式1-3】如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13千米． （1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； （2）若铺设水管的费用为每千米4500元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 【典例2】如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是（　　） A．11 B．13 C．18 D．24 【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4.5 【变式2-2】（2023春•老城区校级月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-3】（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠PCD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 【典例3】已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 【变式3-1】（2023•紫金县校级开学）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【典例4】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【变式4-1】（2023春•高州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．9.6 B．8 C．6 D．4.8 【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【考点4：一定两动-求角度】 【典例5】如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．α B．2α C．180﹣α D．180﹣2α 【变式6-1】如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（　　） A．72° B．36° C．108° D．38° 【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是（　　） A．50° B．70° C．90° D．100° 【变式6-3】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF＝（　　） A．α B．90°﹣α C． D．180°﹣2α 1．如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 4．如图，中，点D在边上，过D作交AB于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，P是边上的一个动点，要使的值最小，则点P应满足（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB上一点，DE∥CB，交AC于点E，点P是EC上的一个动点，要使PD+PB最小，则点P应该满足（　　） A．PB＝PD B．PC＝PE C．∠BPD＝90° D．∠CPB＝∠DPE 8．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（    ） A．130° B．120° C．110° D．100° 9．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（    ） A．500m B．1000m C．1500m D．2000m 10．如图，等边三角形的边长为7，是边上的中线，是边上的动点，是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 ． 11．如图，等边中，是边上的中线，且，E，P分别是，上的动点，则的最小值等于 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 轴对称-最短路径问题 【考点1：两定一动-作图】 【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 【考点4：一定两动-求角度】 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点1：两定一动-作图】 【典例1】如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置． 【答案】见解答． 【解答】解：如图，点P即为所求． 【变式1-1】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由． 【答案】作图及理由见解答． 【解答】解：取格点Q，格点R，连接QR分别交OA、OB于点M，点N， 点M、点N就是所求的图形. 理由：连接PQ、PR， ∵点Q与点P关于直线OA对称， ∴OA垂直平分PQ， ∴PM＝QM， ∵点R与点P关于直线OB对称， ∴OB垂直平分PR， ∴PN＝RN， ∴PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR， ∵Q、M、N、R四点在同一条直线上， ∴QM+RN+MN＝QR的值最小， ∴PM+PN+MN的值最小， ∴△PMN周长最小． 【变式1-3】如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13千米． （1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； （2）若铺设水管的费用为每千米4500元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 【答案】（1）见解析；（2）67500元． 【解答】解：（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线， 设这两线交于点C，则∠C＝90°． 又过A作AE⊥BC于E， 依题意BE＝5，AB＝13， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝132﹣52＝144． ∴AE＝12． 由平移关系，A′C＝AE＝12， △BA′C中，∵BC＝7+2＝9，A′C＝12， ∴A′B2＝A′C2+BC2＝92+122＝225， ∴A′B＝15． ∵PA＝PA′， ∴PA+PB＝A′B＝15． ∴4500×15＝67500（元）． 【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 【典例2】如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是（　　） A．11 B．13 C．18 D．24 【答案】B 【解答】解：连接AM，当A、M、D时，此时AD⊥BC，△CDM的周长最小， ∵△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30， ∴AD＝10， ∴△CDM周长的最小值是：10+3＝13， 故选：B． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4.5 【答案】B 【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线， ∴点C与点B关于直线MN对称， ∴线段AB与直线MN的交点即为点P， ∴PA+PC＝AB． ∵AB＝3， ∴PA+PC的最小值是3． 故选：B． 【变式2-2】（2023春•老城区校级月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解答】解：连接AD，MA． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16， 解得AD＝8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10． 故选：C． 【变式2-3】（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠PCD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∴PE+PC＝PB+PE≥BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC， ∴∠PCD＝∠PBC＝30°， 故选：D． 【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 【典例3】已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB， ∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD， ∴∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴OC＝OD＝CD＝OP， ∵△PMN周长的最小值是3cm， ∴PM+PN+MN＝3cm， ∴DM+CN+MN＝3cm， 即CD＝3cm＝OP， 故选：B． 【变式3-1】（2023•紫金县校级开学）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB， ∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD， ∵△PMN周长的最小值是6cm， ∴PM+PN+MN＝6， ∴DM+CN+MN＝6， 即CD＝6＝OP， ∴OC＝OD＝CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠AOB＝30°， 故选：B． 【典例4】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 【变式4-1】（2023春•高州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．9.6 B．8 C．6 D．4.8 【答案】A 【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD垂直平分BC， ∴BP＝CP． 过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示． ∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ， ∴BQ＝＝9.6． 故选：A． 【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】A 【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H． ∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称， ∴点Q′值AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC＝•AB•CH， ∴CH＝2.4， ∴CP+PQ≥2.4， ∴PC+PQ的最小值为2.4． 故选：A． 【考点4：一定两动-求角度】 【典例5】如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．α B．2α C．180﹣α D．180﹣2α 【答案】D 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值． ∵∠C＝α°，∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠DAB＝180°﹣α°， ∴∠AA′E+∠A″＝α°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝α°， ∴∠EAF＝180°﹣α°﹣α°＝180°﹣2α°． 故选：D． 【变式6-1】如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（　　） A．72° B．36° C．108° D．38° 【答案】B 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠DAB＝108°， ∴∠HAA′＝72°， ∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×72°＝144°， ∴∠MAN＝36°， 故选：B． 【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是（　　） A．50° B．70° C．90° D．100° 【答案】D 【解答】解：作C点关于AD的对称点E，C点关于AB的对称点F，连接EF交AD于N′点，交AB于M′，如图， ∴N′E＝N′C，M′F＝M′C， ∴CN′+M′N′+CM′＝N′E+N′M′+M′F＝EF， ∴此时△MCN的周长最小， ∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°， ∴∠BCD＝140°， ∵N′E＝N′C，M′F＝M′C， ∴∠E＝∠N′CE，∠F＝∠M′CF， ∵∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝180°﹣140°＝40°， ∴∠N′CE+∠M′CF＝40°， ∴∠M′CN′＝∠ECF﹣（∠N′CE+∠M′CF）＝140°﹣40°＝100°， 即△MCN的周长最小时，∠MCN为100°． 故选：D． 【变式6-3】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF＝（　　） A．α B．90°﹣α C． D．180°﹣2α 【答案】D 【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求． ∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α， ∴∠ADC＝180°﹣α， 由轴对称知，∠ADE＝∠P，∠CDF＝∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC ＝180°﹣（180°﹣α） ＝α， ∴∠ADE+∠CDF＝∠P+∠Q＝α， ∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+∠CDF） ＝180°﹣α﹣α ＝180°﹣2α， 故选：D． 1．如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出，的位置是解题的关键．根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示，结合图形及已知条件，不难得出；再结合三角形外角的性质不难得到，由此分析即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示． ， ， ． ，，且，， ． 故选：B 2．如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接．    ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 【答案】D 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案． 【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求． ∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°， ∴∠ADC＝180°﹣32°， 由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC ＝180°﹣（180°﹣32°） ＝32°， ∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°， ∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′） ＝180°﹣32°-32° ＝116°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键． 4．如图，中，点D在边上，过D作交AB于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点A关于的对称点，过点作于点E，与相交于点P，点P即为所求． 【详解】解：作点A关于的对称点，过点作于点E，与相交于点P，点P即为所求． ∵点A和点关于的对称， ∴， ∵， ∴． 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意，确定点P的位置． 5．如图，在四边形中，P是边上的一个动点，要使的值最小，则点P应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点B关于的对称点，连接，则交点P即为符合题意的点，根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：如图所示，作点B关于的对称点，连接，交于点P，连接， 则的最小值为的长，点P即为所求． ∵点与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， 故D符合题意； 由图可知，选项A和选项B不成立， 而C只有在时成立，条件不充分． 故选：D． 【点睛】此题考查轴对称的性质，明确轴对称的相关性质并正确作图，是解题的关键 6．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果． 【详解】解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，    ∵点B与点D关于AC对称 ∴FD=FB ∴FD+FE=FB+FE=BE最小 又∵正方形ABCD的面积为16 ∴AB=4 ∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=4． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段． 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB上一点，DE∥CB，交AC于点E，点P是EC上的一个动点，要使PD+PB最小，则点P应该满足（　　） A．PB＝PD B．PC＝PE C．∠BPD＝90° D．∠CPB＝∠DPE 【答案】D 【分析】如图，作点P关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小． 【详解】解：如图，作点D关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小． 由对称性可知：∠APD＝∠APD′， ∵∠CPB＝∠APD′， ∴∠CPB＝∠DPE， ∴DP+PB最小时，点P应该满足∠CPB＝∠DPE， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 8．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（    ） A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】B 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠BAD＝120°， ∴∠HAA′＝60°， ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN， ∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°． 故选：B． 9．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（    ） A．500m B．1000m C．1500m D．2000m 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值． 【详解】解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长． 由题意：AC=BD，∠A’CM=∠BDM=90°， ∴A′C=BD， 在△A′CM与△BDM中， ， ∴△A′CM≌△BDM， ∴CM=DM，M为CD的中点，A′M=BM， 由于A到河岸CD的中点的距离为500米， 所以A′到M的距离为500米， A′B=2A′M=1000米． 故最短距离是1000米． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称的性质和“两点之间线段最短”，全等三角形的判定和性质等，解答时注意应用全等三角形的性质是解题关键． 10．如图，等边三角形的边长为7，是边上的中线，是边上的动点，是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题．熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，是解本题的关键． 根据等边三角形的对称性，作点E关于中线的对称点，连接交于点F，连接，结合是边的中点，得到，，得到，最小， 的周长取得最小值，结合，得到，即得． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在上取点E关于的对称点，连接交于点F，连接（如图）， 则， 由对称性知，， ∴， ∴，最小，此时， 的周长取得最小值， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，等边中，是边上的中线，且，E，P分别是，上的动点，则的最小值等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，作于E，交于P，根据等边三角形的性质得到，求得点B，C关于为对称，得到，根据垂线段最短得出，即可得到结论． 【详解】解：于E，交于P， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点B，C关于为对称， ∴， 根据垂线段最短得出：，即此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， 即的最小值为17， 故答案为：17． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$