1.11特殊平行四边形与新定义问题（特色培优提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.11特殊平行四边形与新定义问题（特色培优提分练） 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·一模）定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是(    ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（20-21·湖北孝感·阶段练习）我们给出如下定义，顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH的形状是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．（20-21·上海·期中）我们定义：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形．如图：在中，，分别在边上，添加下面什么条件是无法证明四边形是等对角线四边形（    ） A． B． C． D．是和角平分线 4．（19-20八年级上·河北沧州·期中）定义：两组邻边分别相等的四边形称为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，四边形ABCD即为筝形．下列判断：①AC⊥BD ②AC、BD互相平分 ③AC平分∠BCD ④∠ABC=∠ADC=90°⑤筝形ABCD的面积为AC•BD．正确的有（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．③④⑤ 5．（2021·江苏南京·二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④存在凹四边形，有． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 6．（18-19九年级下·浙江绍兴·期中）我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为 ． 7．（2015·辽宁营口·中考真题）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径． 如图，△ABC中，∠ABC=90º，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD，若∠DBC=60º，∠ACB=15º，BD=，则菱形ACEF的面积为 ． 8．（22-23·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 9．（21-22九年级上·江苏南京·期中）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是 ． 10．（23-24·山西吕梁·阶段练习）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O，若，，则 ． 三、解答题 11．（23-24·安徽合肥·阶段练习）【图形定义】对角线相互垂直的凸四边形叫做“十字四边形”． 【问题探究】： （）如图，已知矩形是“十字四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形； （）如图，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“十字四边形”？如果是“十字四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长； 【尝试应用】： （）如图，在“十字四边形”中，对角线相交于点，，记“十字四边形”的面积为．当为何值时，“十字四边形”的面积为？ 12．（2024·河南·中考真题）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 13．（2024·河南南阳·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动． [问题情景] 如图1：在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F． [初步感知] （1）当时．四边形的形状为________．周长为________（直接写出答案）． [深入探究] （2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图1判定四边形是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形的周长（用含α的代数式表示）． [拓展提升] （3）在[问题情景]的条件下，连接，当是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此时的长度． 14．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 15．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 16．（2023·吉林松原·模拟预测）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】： （1）如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形； （2）如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长的最小值； 【尝试应用】： （3）现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时的长． 17．（23-24·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 18．（23-24·江苏盐城·阶段练习）定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．在第9章中我们学习了几种特殊四边形，请你根据已有的研究经验来探究筝形的性质． (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有___________．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点是对角线上一点，过分别作的垂线，垂足分别为点．求证：四边形是筝形． (3)【思维拓展】如图3，在筝形中，，求筝形的面积． 19．（23-24九年级上·福建宁德·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由； 20．（22-23·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    21．（22-23·湖南长沙·期末）定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．    (1)概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ； A．平行四边形   B．矩形   C．菱形   D．正方形 (2)性质探究：如图，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论； (3)问题解决：如图，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中正四边形”． 22．（22-23·江苏淮安·阶段练习）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形；性质：垂美四边形的对角线互相垂直．    (1)如图，在四边形中，接，对角线相交于，垂直于，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)如图，已知四边形是垂美四边形，求证：； (3)如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 23．（2023·陕西渭南·二模）【定义新知】 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． (1)如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使得是邻余线，点E、F在格点上； 【问题研究】 (2)如图2，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长； 【问题解决】 (3)如图3是某公园的一部分，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点E在上，是一个人工湖，是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若的延长线与OB的交点为F，按规划要求M是的中点．已知米，米，米，，且四边形始终是以为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出的中点N，连接，与的交点分别是点F和点M的位置．请问，按照规划人员的方法修建的湖心亭M是否符合规划的要求？请说明理由． 24．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形， (1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称： ； (2)如图（1），在梯形中，，，垂足为O．求证：，即四边形是等平方和四边形； (3)如果将图（1）中的绕点O按逆时针方向旋转α度后得到图（2），那么四边形能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.11特殊平行四边形与新定义问题（特色培优提分练） 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·一模）定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是(    ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、平行四边形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； B、矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； C、菱形的对角不一定互补，故本选项不符合题意； D、正方形的邻边相等，对角互补，故本选项符合题意； 故选：D 2．（20-21·湖北孝感·阶段练习）我们给出如下定义，顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH的形状是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】连接AC、BD，证明△APC≌△BPD（SAS），再根据中位线定理得到EF＝FG＝GH＝EH，从而证明四边形EFGH是菱形． 【详解】解：如图，连接AC、BD， ∵∠APB＝∠CPD， ∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD， 在△APC和△BPD中， ， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC＝BD， ∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点， ∴EFAC、FGBD，EHBD，GHAC， ∴EF＝FG＝GH＝EH， ∴四边形EFGH是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、菱形的证明，解题的关键是熟知性质定理． 3．（20-21·上海·期中）我们定义：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形．如图：在中，，分别在边上，添加下面什么条件是无法证明四边形是等对角线四边形（    ） A． B． C． D．是和角平分线 【答案】C 【分析】根据已知条件及各个选项所提供的条件，利用等腰梯形性质、三角形全等证明等方式尝试证明，如果不能证明，那么该选项就是要选择的选项． 【详解】选项：当时，且，即，所以是等腰梯形，所以对角线相等，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题意； 选项：因为，所以、都是直角三角形，所以，所以，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题意； 选项：根据已知条件，再加上选项的条件，不能证明，故符合题意； 选项：因为是和角平分线，所以，所以，所以，所以，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题意； 故选． 【点睛】本题主要考查的是等腰梯形性质及三角形全等的证明，对等腰梯形性质及三角形全等证明有很好的理解及运用，是解本题的关键． 4．（19-20八年级上·河北沧州·期中）定义：两组邻边分别相等的四边形称为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，四边形ABCD即为筝形．下列判断：①AC⊥BD ②AC、BD互相平分 ③AC平分∠BCD ④∠ABC=∠ADC=90°⑤筝形ABCD的面积为AC•BD．正确的有（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】①先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据等腰三角形的三线合一即可得；②先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据等腰三角形的三线合一即可得AC平分BD，但BD不一定平分AC；③由①已证得；④由三角形全等的判定定理与性质可得，但不一定等于；⑤先将筝形ABCD的面积分为与的面积之和，再利用三角形的面积公式即可得． 【详解】在和中， ，但与不一定等于 即AC平分 则结论③正确，结论④错误 是等腰三角形 垂直平分（等腰三角形的三线合一） 即，AC平分BD，但BD不一定平分AC 则结论①正确，结论②错误 筝形ABCD的面积为 则结论⑤正确 综上，正确的有①③⑤ 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握并灵活运用三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 5．（2021·江苏南京·二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④存在凹四边形，有． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据凹四边形的定义及相关知识，逐项加以甄别即可． 【详解】解：①如图1，连接AC并延长到点E． 即 所以结论①正确； ②如图2，连接BD，作直线AC． ∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上． ∴直线AC是线段BD的垂直平分线． 所以结论②正确； ③如图③， 由①可知， 当时，有 因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误； ④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC． 当时， ∴AB∥CD，BC∥DA． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵平行四边形是凸四边形， 这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾． ∴不存在凹四边形ABCD，使得 所以结论④错误． 故选：A 【点睛】本题考查了对新定义的理解、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的判定、反证法等知识点，综合运用上述的知识点，对每个结论加以推理证明是解题的关键． 二、填空题 6．（18-19九年级下·浙江绍兴·期中）我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为 ． 【答案】2或3或 【分析】分AM=AC、DM=DC、MD=MA三种情况考虑，当AM=AC时，由AC、AB的长度即可得出BM的长度；当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，通过解直角三角形可得出BE的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出BM的长度；当MD=MA时，过点D作DE⊥AB于E，设EM=x，则AM=-x，利用勾股定理表示出DM2的值，结合MD=MA即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出BM的长度．综上即可得出结论． 【详解】当AM=AC时，如图1所示． ∵AB=4，AC=2， ∴BM=AB-AM=AB-AC=4-2=2； 当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，如图2所示． 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2， ∴BC=，∠B=30°． ∵D是BC的中点， ∴BD=CD=DM=． 在Rt△BDE中，BD=，∠B=30°，∠BED=90°， ∴DE=BD=，BE=． ∵DB=DM，DE⊥BM， ∴BM=2BE=3； 当MD=MA时，过点D作DE⊥AB于E，如图3所示． ∵BE=，AB=4， ∴AE=． 设EM=x，则AM=-x． 在Rt△DEM中，DE=，∠DEM=90°，EM=x， ∴DM2=DE2+EM2=+x2． ∵MD=MA， ∴+x2=（-x）2， 解得：x=， ∴BM=BE+EM=+=． 综上所述：当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为2或3或． 故答案为2或3或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及解一元一次方程，分AM=AC、DM=DC、MD=MA三种情况寻找BM的长度是解题的关键． 7．（2015·辽宁营口·中考真题）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径． 如图，△ABC中，∠ABC=90º，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD，若∠DBC=60º，∠ACB=15º，BD=，则菱形ACEF的面积为 ． 【答案】 【分析】首先取AC的中点G，连接BG、DG，再根据∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，判断出A、B、C、D四点共圆，点G是圆心；然后求出∠BGD＝90°，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后解直角三角形，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积为多少即可． 【详解】解：如图，取AC的中点G，连接BG、DG， ∵四边形ACEF是菱形， ∴AE⊥CF， ∴∠ADC＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心， ∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°， ∵∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°， ∴∠BGD＝30°+60°＝90°， ∴△BGD是等腰直角三角形， ∴BG＝DG＝ ， ∴AC＝2， ∴AD＝ ， ∴， ∴菱形ACEF的面积为： 故答案为：12 ． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握相关知识的应用是关键． 8．（22-23·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可． 【详解】解：连接，，交于点M， ∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，， ∴，同理：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 9．（21-22九年级上·江苏南京·期中）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②/②① 【分析】连接AC并延长至点E，根据三角形外角的性质可证明结论①；连接AC，BD，根据“”证明△ABC≌△ADC，结论②可得；由由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，不能得出BC＝CD，可得结论③；连接BD，假设存在凹四边形ABCD，则可证△ABD≌△CDB，∠A＝∠BCD，从而得出结论④． 【详解】解：①连接AC并延长至点E，如图1所示： ∵∠BCE为△ABC的外角， ∴∠BCE＝∠BAC+∠B， ∵∠DCE为△DAC的外角， ∴∠DCE＝∠CAD+∠D， ∴∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝∠BAC+∠DAC+∠B+∠D＝∠BAD+∠B+∠D， 故①正确； ②连接AC，BD，如图2所示： 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）． ∴∠BAC＝∠DAC， 又∵AB＝AD， ∴△ABD为等腰三角形， ∴AC⊥BD， 故②正确； ③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D， 不能得出BC＝CD， 故③不正确； ④连接BD，假设存在凹四边形ABCD， 有AB＝CD，AD＝BC， 则在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SSS）． ∴∠A＝∠BCD， 又∵∠BCD＝∠A+∠B+∠D， 故④不正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、凹四边形的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 10．（23-24·山西吕梁·阶段练习）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．根据“垂美”四边形，得到，由勾股定理得，由此求出答案． 【详解】解：∵是“垂美”四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24·安徽合肥·阶段练习）【图形定义】对角线相互垂直的凸四边形叫做“十字四边形”． 【问题探究】： （）如图，已知矩形是“十字四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形； （）如图，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“十字四边形”？如果是“十字四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长； 【尝试应用】： （）如图，在“十字四边形”中，对角线相交于点，，记“十字四边形”的面积为．当为何值时，“十字四边形”的面积为？ 【答案】（）一定；（）是，证明见解析，；（）． 【分析】（）根据“十字四边形”定义及正方形的判定方法即可求解； （）连接，和，由菱形的性质可得，，，由三角形中位线的性质可得，即得，即可得四边形是十字四边形，分别求出，即可求出四边形的周长； （）求出的长度，可求出与之间的关系式，再把代入即可求解； 本题考查了正方形的判定，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）∵矩形是“十字四边形”， ∴矩形的对角线互相垂直平分， ∴四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （）四边形是十字四边形，理由如下： 连接，和， ∵四边形是菱形， ∴，，， ，都是等边三角形， ， ∴和是的中点， ， ∴， ∴四边形是十字四边形， ∵和是的中点， ∴， 又∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为； （）由题意可知，， 在中，，，， ∴，， ∴为线段的垂直平分线，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，即， 化简得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 时，“十字四边形”的面积为． 12．（2024·河南·中考真题）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①．理由见解析；② (3)或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①，理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 13．（2024·河南南阳·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动． [问题情景] 如图1：在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F． [初步感知] （1）当时．四边形的形状为________．周长为________（直接写出答案）． [深入探究] （2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图1判定四边形是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形的周长（用含α的代数式表示）． [拓展提升] （3）在[问题情景]的条件下，连接，当是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）正方形，24；（2）是，理由见解析，；（3）3或12 【分析】本题主要考查正方形的判定，直角三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用： （1）先证明四边形是矩形，再由旋转得，从而可判断四边形是正方形； （2）连接，根据证明可得，从而得出结论； （3）分两种情况，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是矩形， ∴， 将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∵ ∴正方形的周长为 故答案为：正方形；24； （2）四边形是筝形，理由如下： 连接，如图， 由旋转得 又 ∴ ∴ 又 ∴四边形是筝形， ∵旋转角度数为α度， ∴ 又 ∴ ∴四边形的周长为 （3）如图， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ 在中， ∴， 解得，， ∴； 如图， ∵ ∴ ∴，即 解得，， 综上，的值为：3或12 14．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形； (2)①的最小值是4；②；③或． 【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案； （2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解； ②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解； ③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角， ∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”； ∵菱形、正方形的对角线平分一组对角， ∴菱形、正方形一定是“可折四边形”； 故答案为：菱形、正方形． （2）解：①当，时，与最小， ∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解． 15．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 【答案】(1)是 (2)四边形是补等四边形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据菱形性质得出再结合，通过证明，结合角的等量代换，即可作答． （2）作因为角平分线的性质 ，得出，又因为垂直平分，得出，再证明，结合角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是补等四边形， 故答案为：是； （2）解：四边形是补等四边形． 理由如下：作 ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴． ∴ ∴四边形是补等四边形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16．（2023·吉林松原·模拟预测）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】： （1）如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形； （2）如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长的最小值； 【尝试应用】： （3）现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时的长． 【答案】（1）一定； （2）四边形是等邻边四边形，理由见解析，周长的最小值为4+4； （3）AP的长为或或3 【分析】（1）根据等邻边四边形”的定义和正方形的判定可得出结论； （2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形．利用全等三角形的性质证明即可； （3）如图③中，过点作于，过点作于，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，四边形为“等邻边四边形”，分别求解即可． 【详解】解：（1）矩形是“等邻边四边形”， 四边形的邻边相等， 矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形． 理由：连接． 四边形是菱形， ，， ，都是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 四边形是等邻边四边形， ， ， 的值最小时，四边形的周长最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，此时， 四边形的周长的最小值为； （3）如图③中，过点作于，过点作于，则四边形是矩形． ，， ，， ， ， ①当时，四边形为“等邻边四边形”； ②当时，四边形为“等邻边四边形”， 设， 在 中，， ， ， ； ③当时，四边形为“等邻边四边形”， 此时点与重合， ， 综上所述：的长为或或3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 17．（23-24·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)见解析 (3)4 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质可得，根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； （2）证明：如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， 又∵∠， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵的值为32， ∴， 根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 18．（23-24·江苏盐城·阶段练习）定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．在第9章中我们学习了几种特殊四边形，请你根据已有的研究经验来探究筝形的性质． (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有___________．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点是对角线上一点，过分别作的垂线，垂足分别为点．求证：四边形是筝形． (3)【思维拓展】如图3，在筝形中，，求筝形的面积． 【答案】(1)③④⑤ (2)见详解 (3)672 【分析】（1）由垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和逐一判断即可； （2）根据筝形性质．同（1）得：，得出．由角平分线的性质定理得出．再通过证明，即可得出结论； （3）先判断出，得到．利用勾股定理，．即可求解 【详解】（1）解：∵筝形， ∴①不一定成立；②不一定成立；故①②是错误的； ∵， ∴垂直平分．故③是正确的； 在和中， ∴． ∴ ∴平分和；故④正确； ∵ ∴，故⑤是正确的； 故答案为：③④⑤． （2）解：依题意， ∵在筝形中，， 同（1）得： ∴． 又依题意∵， ∴． ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是筝形 （3）解：如图，过点B作，垂足为H． ∵， ∴． ∴ 在中，由勾股定理得：． 在中，由勾股定理得：． ∴ ∴． ∴． ∴ ∴筝形的面积为672． 故答案为：672 【点睛】此题是四边形的综合题．考查了筝形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．本题综合性强，证明三角形全等是解此题的关键． 19．（23-24九年级上·福建宁德·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）由旋转可得，，又在正方形中，，从而，因此满足，，，故四边形是“直等补”四边形； （2）由四边形是“直等补”四边形，，，可得，，从而，又，，证得四边形是矩形，有，，利用“”证明，从而， 进而证得． 【详解】（1）∵将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴四边形是“直等补”四边形． 故答案为：是 （2）∵四边形是“直等补”四边形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，        ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（22-23·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    【答案】(1)①详见解析；②1 (2)周长的最小值： 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】（1）证明：①如图1中，   四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； （2）周长的最小值：； 延长到点，过作于点，   四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．（22-23·湖南长沙·期末）定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．    (1)概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ； A．平行四边形   B．矩形   C．菱形   D．正方形 (2)性质探究：如图，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论； (3)问题解决：如图，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中正四边形”． 【答案】(1)D (2)①，② (3)见解析 【分析】（1）根据中正四边形的概念得出结论即可； （2）根据三角形中位线的性质得出结论即可； （3）先根据三角形中位线的性质证四边形是平行四边形，再证≌，得出四边形是菱形，然后得出四边形是正方形即可得证结论． 【详解】（1）平行四边形的“中点四边形”仍然是平行四边形，矩形的“中点四边形”是菱形，菱形的“中点四边形”是矩形，正方形的“中点四边形”是正方形， 根据中正四边形的概念知，正方形的“中点四边形”一定是“中正四边形”， 故答案为：； （2）性质探究：四边形是“中正四边形”， 四边形是正方形， ，且， 且，且， ，； （3）问题解决：如图，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，   四边形各边中点分别为、、、， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ，，，    又， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， 又，， ， 是菱形， ， ， 又，， ， ， 又，， ， 菱形是正方形， 即原四边形是“中正四边形”． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形与正方形的判定等知识是解题的关键． 22．（22-23·江苏淮安·阶段练习）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形；性质：垂美四边形的对角线互相垂直．    (1)如图，在四边形中，接，对角线相交于，垂直于，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)如图，已知四边形是垂美四边形，求证：； (3)如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）依据垂美四边形定义，即可判定； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．   四边形的对角线， 四边形是垂美四边形． （2）证明：设与相交于点，   已知四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得，， ， ． （3）如图3，设与相交于点，连接、， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ，，， ， ．    【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理等知识，推导出垂美四边形四条边的关系是解题的关键． 23．（2023·陕西渭南·二模）【定义新知】 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． (1)如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使得是邻余线，点E、F在格点上； 【问题研究】 (2)如图2，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长； 【问题解决】 (3)如图3是某公园的一部分，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点E在上，是一个人工湖，是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若的延长线与OB的交点为F，按规划要求M是的中点．已知米，米，米，，且四边形始终是以为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出的中点N，连接，与的交点分别是点F和点M的位置．请问，按照规划人员的方法修建的湖心亭M是否符合规划的要求？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)符合要求，理由见解析 【分析】（1）利用网格的特征得到，即可得邻余四边形； （2）延长相交于点P，利用邻余四边形的性质得到，推出是等腰直角三角形，设，再利用勾股定理列式计算即可求解； （3）证明四边形是菱形，根据已知条件证明，由，证明，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：邻余四边形如图所示， ； （2）解：延长相交于点P， ∵四边形是以为邻余线的邻余四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， 由勾股定理得，即， 整理得， 解得，(舍去)， ∴； （3）解：∵四边形始终是以为邻余线的邻余四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵米，，米，的中点N， ∴米，米，米，米， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，理解邻余四边形的性质是解题的关键． 24．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形， (1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称： ； (2)如图（1），在梯形中，，，垂足为O．求证：，即四边形是等平方和四边形； (3)如果将图（1）中的绕点O按逆时针方向旋转α度后得到图（2），那么四边形能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由． 【答案】(1)菱形或正方形 (2)见解析 (3)能，证明见解析 【分析】（1）据题中定义，只要邻边相等的平行四边形即符合要求，则菱形或正方形都符合要求； （2）根据和勾股定理易证得即四边形是等平方和四边形； （3）作出原梯形，连接交于点，首先证明，再证明，可得，以下同（2）的证法即得到即四边形是等平方和四边形． 【详解】（1）解：菱形或正方形； （2）证明：∵， ∴， ∴；；；． ∴即四边形是等平方和四边形； （3）解：四边形是等平方和四边形． 证明：原梯形记为， 依题意旋转后得四边形，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴， 又∵， ∴， 由（2）的结论得：． 即四边形是等平方和四边形． 【点睛】本题考查学生对一个新的定义的理解，涉及到相似三角形的判定及性质、勾股定理的、菱形、正方形的性质等知识点，是一道考查学生综合能力的好题． ( 52 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$