1.10特殊平行四边形的面积问题（特色培优提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.10特殊平行四边形的面积问题（特色培优提分练） 一、单选题 1．（23-24·安徽芜湖·阶段练习）两张宽度相同的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，由四边形和四边形是全等的矩形，得出，，，所以四边形是平行四边形，在和中，利用证明两个三角形全等，得出，又因为四边形是平行四边形，推出四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理得，解得，所以图中重叠（阴影）部分的面积，解题的关键是掌握相关知识． 【详解】解：如图， 四边形和四边形是全等的矩形， ，，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 设， 则， 在中，由勾股定理得， 解得， 图中重叠（阴影）部分的面积， 故选：D．    2．（2024·浙江嘉兴·三模）如图， 正方形 是由个小长方形拼接而成， ， ，若知道正方形的边长，则一定能求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．四边形 的周长 D．四边形 的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质，根据图形的面积得出四边形 的面积，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ，设正方形的边长为， ∴，， ∵分别是四个矩形的对角线， ∴， ∴四边形 的面积 而 ∴若知道正方形的边长，则一定能求出四边形 的面积 故选：D． 3．（22-23·浙江杭州·期中）如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，根据矩形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②④正确，①③不正确，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点P分别作于点F，于点E，    ∵以为底边，以为底边， ∴此时两三角形的高的和为，即可得出矩形面积； 同理可得出矩形面积； ∴②正确； 当点P在矩形的两条对角线的交点时，． 但P是矩形内的任意一点，所以该等式不一定成立． 故①不一定正确； ③若，只能得出与高度之比，不一定等于； 故此选项错误； ∵；若，则， ∴④正确． 故选：B． 4．（23-24·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答． 【详解】解：作，垂足为，设与相交于点， ∵两张等宽的纸条，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 答：的长是； 故选． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024·山东泰安·二模）如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线；连接，，，过点P作于点E，于点F，下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键． 【详解】解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点， ， ， 是等边三角形， ∴①的结论正确， 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点， ， 在和中， ， ， ． ，， ． ∴②的结论正确； ，， ． 在和中， ， ． ∴③的结论正确， 由作图过程可知：与不一定相等， 四边形不一定是菱形， 不一定等于． ∴④的结论错误， 正确的结论共3个， 故选：B． 6．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 、、共线， ， ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故选：C 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）将两张全等的菱形纸片和另两张全等的平行四边形纸片按如图方式不重叠地放置在平行四边形内，其中菱形纸片和平行四边形纸片的周长相等．若知道四边形的面积，则一定能求出（    ）    A．菱形纸片的面积 B．平行四边形纸片的面积 C．菱形纸片和平行四边形纸片的面积之和 D．菱形纸片和平行四边形纸片的面积之差 【答案】D 【分析】 本题主要考查菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质及三角函数是解题的关键；设菱形纸片边长为，，然后根据菱形及平行四边形的性质可得平行四边形纸片的长和宽分别为，，则，进而问题可求解 【详解】 解：如图，设菱形纸片边长为，，    由菱形纸片和平行四边形纸片的周长相等得： 平行四边形纸片的长和宽分别为，，则， 得四边形为菱形， 则，， ， 故选D． 8．（23-24·北京海淀·期中）如图，，，，分别是边长为4的正方形四条边上的点（不与顶点重合），且满足，记，则下列四个变量中，不存在最小值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先证四边形是正方形，可得，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 同理可得：，， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 当时，有最小值，有最小值， 有最小值， 故选：A． 9．（2023·安徽·模拟预测）如图，八边形的每个内角都为135°，它是一个旋转对称图形，最小旋转角为，其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为，空白部分面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，等腰三角形的判定，图形的面积等知识，作辅助线利用图形的对称性是解题的关键． 过旋转对称中心向两边作垂线，垂足分别为点，延长交于，则可得四边形为正方形；易得，，则可求得的长，求得正方形的面积，正方形的面积，的面积，进一步可求得，从而求得的面积，最后可求得，从而求得其比值． 【详解】解：如图，过旋转对称中心向两边作垂线，垂足分别为点，延长交于点，则四边形为正方形， ， ， ，， ，， ，，， 故， ， ， ． 10．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】延长交于，连接，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据旋转的性质得出，得出即可判断①，根据题意得出四边形是矩形，由即可判断②，进而得出，根据判断③，根据勾股定理以及等角对等边可得，得出，由四边形是正方形，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕着点顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形，故②正确； ∴， ∴ ，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴，故④错误， ∴正确的是：①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24·江苏南京·阶段练习）如图所示，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【分析】先证明，得到，从而得到阴影部分的面积为，解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴阴影部分的面积为3， 故答案为：3． 12．（2024·江苏常州·二模）如图， 在矩形中，对角线、 相交于点O， 中点E与点D 的连线交于点 F． 已知矩形的面积为20， 则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，先证明，，相似比是，设，推导，，继而推导，，，利用求出a，从而得到，继而得解． 【详解】解：连接， 在矩形中，对角线、 相交于点O， ∴O是的中点， 又∵点E是中点， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，，， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．（23-24·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M，N分别是、的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是 ． 【答案】15 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，分点与点重合，点与点重合，分别找到的位置，结合图象即可判断扫过区域的形状，进而求出面积．解题的关键是熟练运用相关性质和定理． 【详解】解：如图所示：当点E与B点重合时，点M位于中点，点N位于中点， 当点与C点重合时，点位于中点，点位于中点： ∵是的中点，是的中点，是的中点，点是中点， ∴、分别是、的中位线， ∴且，且， ∴四边形为平行四边形， ∴扫过的区域为平行四边形， ∵，，，则， ∴， ， 故答案为：15． 14．（2024·江苏盐城·三模）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，小明同学在研究如图1边长为7的弦图时，发现将其中的四个全等的直角三角形取出，可以分别拼成如图2边长为9的正方形和如图3所示的菱形，则图3中菱形的面积为 ． 【答案】32 【分析】设直角三角形较长边长为a，较短边长为b，根据题意，得，后利用菱形的面积计算即可． 本题考查了勾股定理弦图计算，方程组的应用，菱形的面积，熟练掌握弦图的意义，方程组的应用是解题的关键． 【详解】设直角三角形较长边长为a，较短边长为b，根据题意，得， ∴， 解得 故菱形的面积为， 故答案为：32． 15．（22-23·重庆·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，点为边中点，作于点连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，利用菱形的面积公式求出，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：四边形是菱形，， 菱形的面积， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点， ． 故答案为：． 16．（23-24·陕西西安·阶段练习）如图，是菱形的对角线，P是上的一个动点，过点P分别作，的垂线，垂足分别是F和E．若菱形的周长是24，面积是12，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了菱形的性质，如图所示，过点A作于H，连接，根据菱形的面积公式和周长公式求出，，再根据，即可推出． 【详解】解：如图所示，过点A作于H，连接， ∵菱形的周长为24， ∴， ∵菱形的面积是12， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：2． 17．（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； 证明，由勾股定理算出，根据阴影部分面积为即可求解； 【详解】由折叠可得：， 是矩形， ， 是正方形， ， ， 则（阴影部分）的面积， 故答案为：． 18．（22-23·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可． 【详解】解：连接，，交于点M， ∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，， ∴，同理：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 三、解答题 19．（22-23·湖北武汉·期中）如图，矩形的对角线，交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据矩形性质可得：，再证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定即可证得结论； （2）先求出矩形面积，再根据矩形性质可得，再由菱形性质可得菱形的面积，可求解． 【详解】（1）证明：矩形的对角线，相交于点， ，，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是矩形，，， ，， ， 四边形是菱形， 菱形的面积； 【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积，平行四边形的判定等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键． 20．（2024·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形的面积； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时， 如图1，过作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，可有， ∴， 解得，； ②当时， 如图2，过作于， 由①可知四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ③当时， ∴， ∴， 在中，可有， ∴， ∴． 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 21．（23-24·浙江嘉兴·期末）如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，交各边于，连接．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）由矩形的面积可得出，得出，则可得答案； （2）过点作交的延长线于点，证明，得出，证明，得出，证出，则可得出结论； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：在正方形中，， ， ， ， ， ， ． （2）证明：过点作交的延长线于点，如图： 在正方形中，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 化简得：， ， ． 22．（23-24·江苏无锡·期中）如图，四边形是矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作一个菱形，其中F在直线上，E在直线上； （不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求所作菱形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)菱形的面积为15． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点F，交BC于点E，连接，即可． （2）根据菱形的性质可得．由矩形的性质可得，，．设，则．在中，由勾股定理建立等式求解，再结合菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点F，交BC于点E，连接，，则四边形即为所求． （2）解：四边形为菱形， ． 四边形是矩形， ，，． 设，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查了垂直平分线作图、垂直平分线性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关性质． 23．（23-24·四川绵阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键. （1）证明是的中位线， 得，再证， ， 则四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质和时间在我想到了得，， 再求出 ，然后由菱形的性质和面积公式即可得出结论. 【详解】（1）证明： ∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）由（1）可知， 四边形是矩形， 是的中位线， ∴， ∵， ， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴. 24．（22-23·江苏淮安·期末）如图1，在平行四边形中，，，点E为对角线上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接．    (1)求证； (2)若所在的直线交于点M，求的长度； (3)如图2，当点F落在的外部，构成四边形时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过作于，由“”可证，可得，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求解； （3）将绕点逆时针旋转得到，通过证明四边形为正方形，即可求解． 【详解】（1）解：证明：绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过作于，   四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ； （3）如图，过D作于N，将绕点逆时针旋转得到，   ，，， ， ， ， 点，点，点三点共线， ， 四边形是矩形， 又， 四边形为正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 25．（23-24·江苏扬州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【答案】【问题一】；【问题二】；【问题三】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等． 问题一：证明，即可得到结论； 问题二：连接，由正方形的性质可得，，由（1）中结论可得，等量代换即可得到； 问题三：先证明四边形是菱形，再证明，即可得证． 【详解】问题一： ， 证明如下：在 和 中， 因为 ， 且 ， 所以 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ； 问题二： 如图，连接， 因为点O是正方形的中心，所以， 又由问题一可知，，所以， 所以； 问题三：四边形是正方形， 证明如下：由问题一知，，所以， 所以由勾股定理知，所以四边形是菱形， 又因为在和中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以， 所以，所以，所以四边形是正方形． 26．（23-24·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 【答案】(1)② (2)①见解析；②4． 【分析】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可； （2）①根据菱形的性质得到，即，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N作于H，于G，证明四边形是矩形可得，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，最后四边形的面积=正方形的面积． 【详解】（1）解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为，但对角不一定为，不是对角直角四边形． 故答案为：②． （2）①证明:∵.四边形是菱形， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是对角直角四边形； ②如图：过N作于H，于G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键． 27．（22-23·河南郑州·期末）小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片，爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，，，，，．她发现如果将纸片沿着裁剪，拼到的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形（），通过证明和计算，她得到了这张纸片的面积．    同桌小智经过思考，过点A作的垂线，然后沿着裁剪，将拼接到的左侧，这样就拼出了两个等腰直角三角形（和），通过证明和计算，他也得到了这张纸片的面积．    你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形的面积． 【答案】，见解析 【分析】小慧的作法：通过裁剪，拼接，得到，进而得到，进而得到为等腰直角三角形，得到四边形的面积等于的面积，进行求解即可；小智的作法：通过裁剪，拼接，得到，推出四边形为正方形，四边形的面积等于四边形的面积，进行求解即可． 【详解】解：四边形的面积为；理由如下： 小慧的作法：由题意，得：， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形的面积； 小智的作法：由题意，得：，， ∴， 同上法可得：，， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于四边形的面积． 【点睛】本题考查割补法求面积，重点考查两了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． ( 35 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.10特殊平行四边形的面积问题（特色培优提分练） 一、单选题 1．（23-24·安徽芜湖·阶段练习）两张宽度相同的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ）    A．2 B． C．1 D． 2．（2024·浙江嘉兴·三模）如图， 正方形 是由个小长方形拼接而成， ， ，若知道正方形的边长，则一定能求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．四边形 的周长 D．四边形 的面积 3．（22-23·浙江杭州·期中）如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东泰安·二模）如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线；连接，，，过点P作于点E，于点F，下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）将两张全等的菱形纸片和另两张全等的平行四边形纸片按如图方式不重叠地放置在平行四边形内，其中菱形纸片和平行四边形纸片的周长相等．若知道四边形的面积，则一定能求出（    ）    A．菱形纸片的面积 B．平行四边形纸片的面积 C．菱形纸片和平行四边形纸片的面积之和 D．菱形纸片和平行四边形纸片的面积之差 8．（23-24·北京海淀·期中）如图，，，，分别是边长为4的正方形四条边上的点（不与顶点重合），且满足，记，则下列四个变量中，不存在最小值的是（　　） A． B． C． D． 9．（2023·安徽·模拟预测）如图，八边形的每个内角都为135°，它是一个旋转对称图形，最小旋转角为，其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为，空白部分面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．（23-24·江苏南京·阶段练习）如图所示，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（2024·江苏常州·二模）如图， 在矩形中，对角线、 相交于点O， 中点E与点D 的连线交于点 F． 已知矩形的面积为20， 则四边形的面积为 ． 13．（23-24·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M，N分别是、的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是 ． 14．（2024·江苏盐城·三模）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，小明同学在研究如图1边长为7的弦图时，发现将其中的四个全等的直角三角形取出，可以分别拼成如图2边长为9的正方形和如图3所示的菱形，则图3中菱形的面积为 ． 15．（22-23·重庆·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，点为边中点，作于点连接，若，，则 ． 16．（23-24·陕西西安·阶段练习）如图，是菱形的对角线，P是上的一个动点，过点P分别作，的垂线，垂足分别是F和E．若菱形的周长是24，面积是12，则的值是 ． 17．（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 18．（22-23·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 三、解答题 19．（22-23·湖北武汉·期中）如图，矩形的对角线，交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，请直接写出菱形的面积． 20．（2024·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 21．（23-24·浙江嘉兴·期末）如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，交各边于，连接．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 22．（23-24·江苏无锡·期中）如图，四边形是矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作一个菱形，其中F在直线上，E在直线上； （不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求所作菱形的面积． 23．（23-24·四川绵阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的值． 24．（22-23·江苏淮安·期末）如图1，在平行四边形中，，，点E为对角线上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接．    (1)求证； (2)若所在的直线交于点M，求的长度； (3)如图2，当点F落在的外部，构成四边形时，求四边形的面积． 25．（23-24·江苏扬州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 26．（23-24·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 27．（22-23·河南郑州·期末）小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片，爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，，，，，．她发现如果将纸片沿着裁剪，拼到的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形（），通过证明和计算，她得到了这张纸片的面积．    同桌小智经过思考，过点A作的垂线，然后沿着裁剪，将拼接到的左侧，这样就拼出了两个等腰直角三角形（和），通过证明和计算，他也得到了这张纸片的面积．    你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形的面积． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$