第二章 特殊三角形 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第二章 特殊三角形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·浙江·二模）“天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国人一直都在追求对称美．中国传统图形比较注重于对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，下列图形、文字为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·浙江温州·一模）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． A、3 B、4 C、5 D、6 6．（2024·浙江·二模）如图是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形，则三块中面积最大的图形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 8．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在四边形中，，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图，点，在的边上，，只需添加一个条件即可证明≌，则这个条件可以是 写一个即可 12．（2024·浙江台州·二模）如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 13．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．    14．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则 ． 15．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    16．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点．    （1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ； （2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（2024·浙江·二模）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 18．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，连结小正方形的顶点，，． (1)求的长； (2)求的度数． 19．（2024·浙江·二模）如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，边上取一点，过点作，交于，连结，已知． (1)求证：． (2)若，求的长． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当斜坡的角度不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长； (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？ 23．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动．若、两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为，连结、． (1)当时，四边形的面积等于________． (2)当为何值时，线段长为？ (3)当为何值时，的面积为？ 24．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 特殊三角形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·浙江·二模）“天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国人一直都在追求对称美．中国传统图形比较注重于对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，下列图形、文字为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A，B，D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算即可． 【详解】解：A、， 设， ， ， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、， 设，，， ，解得：， ， 是直角三角形，故此选项不符合题意； C、， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、设，，，， 解得：， 则， 所以不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是4号． 故选：D． 4．（2024·浙江温州·一模）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴它的一个顶角为． 故选：C 5．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． A、3 B、4 C、5 D、6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， 故答案为：D． 6．（2024·浙江·二模）如图是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形，则三块中面积最大的图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，勾股定理．设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积为8，其边长为．由此可见，剪痕应是方格的对角线． 【详解】解：设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积为8，其边长为． 由此可见，剪痕应是方格的对角线． 如图1，沿各剪一刀，就可以拼成如图2的大正方形． 三块中面积最大的图形的周长为． 故选：A． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，先根据勾股定理计算出，再证明四边形是矩形，得到，再根据垂线段最短求出的最小值即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵，且四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，当最小， 当时，， ∴， 故选：C． 8．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在四边形中，，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，延长交于点，则，，故有，根据所对直角边是斜边的一半得，由勾股定理得，在通过线段和差得，最后由等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2． 【详解】解：如图，连接、，   ，，， ， ，点、分别是、的中点， ，， 当、、在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故选：A． 10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作    ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图，点，在的边上，，只需添加一个条件即可证明≌，则这个条件可以是 写一个即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意可得，，即添加一组边对应相等，可证与全等． 本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：添加，则≌， ， ， 在与中， ， ≌， 故答案为：答案不唯一． 12．（2024·浙江台州·二模）如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了平行线的性质、勾股定理．根据角平分线定义及平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ， ， ，， ， 于点， ， 故答案为：4． 13．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或7 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，分别求解即可． 【详解】解：如图1中，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 如图2中，当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或7． 故答案为：或7． 14．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则 ． 【答案】40°/40度 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其推论，弄清题目中角的关系是解题的关键． 先证出, 进而证出，再由可求出的度数． 【详解】解：∵, ∴, ∵是由折叠得到的, ∴, ∴, ∵, ∴, 又∵, ∴. 故答案为: ． 15．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点．    （1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ； （2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题，涉及动点最值问题-两点之间线段最短模型、动点最值问题-点线模型，熟练掌握动点最值问题的两个模型是解决问题的关键． （1）本题考查动点最值问题-两点之间线段最短模型，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案； （2）本题考查动点最值问题-点线模型，先由等腰三角形性质得到关于对称，由点到直线的距离垂线段最短可得，过点作于点，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：（1）由两点之间线段最短可得，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示：    是等边三角形，点为边中点， 由等腰三角形“三线合一”可得， 在中，，，，则， 若点为边中点，在上存在点，使最小；最小值是； 故答案为：； （2）是等边三角形，平分交与点， 由等腰三角形“三线合一”可得关于对称， 由点到直线的距离垂线段最短可得，过点作于点，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示：    由等腰三角形“三线合一”可得点为边中点， 在中，，，，则， 若点为边任意一点，在上存在点，使最小；最小值是； 故答案为：． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（2024·浙江·二模）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边： （1）只需要证明，即可证明； （2）证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ， ∵， ， ， ∵，， ， ∵， 四边形的周长为20． 18．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，连结小正方形的顶点，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理． （1）由勾股定理，即可求出线段的长度； （2）求出和的长度，然后利用勾股定理的逆定理，得到是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，每个小正方形的边长为1， ∴，； （2）根据勾股定理可以得到：， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 19．（2024·浙江·二模）如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合垂直定义以及角的等量代换，得出，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ，， ． 20．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，边上取一点，过点作，交于，连结，已知． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质及等量代换得出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． （2）∵， ∴， ∵，， ∴． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当斜坡的角度不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长； (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是关键． （1）根据题意及勾股定理进行求解即可得BE的长． （2）当是时，作于点H，连接，在直角、中，求得的长，则即可求得． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， 则 解得：， 则，； （2）作于点H，连接， 则， 当时，， 则， 则至少是米． 23．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动．若、两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为，连结、． (1)当时，四边形的面积等于________． (2)当为何值时，线段长为？ (3)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)37 (2) (3)或 【分析】 本题主要考查三角形面积公式的应用，勾股定理： （1）根据求解即可； （2）求出，根据勾股定理求解即可； （3）根据点E在点F左侧和右侧两种情况，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ 当时， ∴ ， 故答案为：37； （2）解：∵运动时间为，且， ∴， ∴ 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去） 所以，； （3）解：当点E在点F在左侧时，如图， 此时，， ∵， ∴，即， 解得，； 当点E在点F在右侧时，如图， 此时，， ∵， ∴，即， 解得，； 综上，当或时，的面积为． 24．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①90度；②2；（3）6 【分析】（1）先证明，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）①同（1）证明即可；②过点A作，垂足为M，先证明，再根据等腰直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）连接，同（1）得，，可得，再证明，，由平行线间距离处处相等得出，再根据，得出，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴； （2）①∵， ∴， 即， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，垂足为M，    ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）连接，    同（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴同底等高，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$