高二数学期末模拟卷-2023-2024学年高二数学人教A版2019

2023-2024学年高二数学下学期期末模拟卷 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（    ） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 2．的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 3．已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 5．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 7．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 8．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从M到达N处的方法有15种 B．甲从M必须经过到达N处的方法有6种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为 11．已知定义域为的连续函数满足，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上的最大值为1 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为 ；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值 . 13．若，则实数a的取值范围为 14．已知六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围. 16．（15分）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程. (3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（15分）已知函数（，）． (1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项； (2)若，且， ①求的值； ②求的最大值． 18．（17分）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：． 19．（17分）AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为，，. (1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率； (2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束. ①求获得“优惠券”的概率； ②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二数学下学期期末模拟卷 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（    ） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合回归方程可判断x与y正相关，再由变量y与z负相关，即可判断x与z负相关. 【详解】根据回归方程可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关， 由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关. 故选：D 2．的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，得这些项的系数之和为. 故选：B 3．已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简不等式得出函数单调性，再把单调递增转化为导数恒为正即可求出参数最值. 【详解】假设,又因为,可得, 设,,单调递增， ,恒成立, 所以,即可得. 故选：B. 4．已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，，得，则，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 5．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件为“该考生不知道正确答案”，B事件为“该考生答对了”．表示出，，，再结合条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解． 【详解】设事件为“该考生不知道正确答案”，事件为“该考生答对了”． 则，，，， 所以所求概率为. 故选：A. 6．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 【答案】A 【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解. 【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法； 当在4人组时，有种方法. 第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法； 当在3人组时，有种方法. 故这8名同学游玩行程的方法数为. 故选：A. 7．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【答案】D 【分析】对于A，由即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算即可判断 【详解】对于A，当满足时， 江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误； 对于，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时， 此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误； 对于C，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误； 对于D，若出门， 江先生乘坐地铁上班， 当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解. 8．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设由题可知，利用导函数研究单调性知存在使得，此时得，而，即，则即构造，由的单调性可知，，构造，利用导函数研究的单调性，进而求得的值域，得出的取值范围. 【详解】不等式，即 ， 设，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增. 故只需， 所以，即. 设，则在上单调递增，又， 所以，设，则， 所以在上单调递增，所以的值域为，即的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点点睛： 1、构造，原不等式恒成立转化为有成立； 2、由导数知在使得，此时保证即原不等式恒成立； 3、由上得，构造讨论单调性，求得的值域. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对ABD选项根据条件概率公式求解；对C选项根据求解. 【详解】因为，所以，A正确； 因为，，所以，B错误； 因此，，C正确； 从而．D正确． 故选：ACD 10．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从M到达N处的方法有15种 B．甲从M必须经过到达N处的方法有6种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为 【答案】ACD 【分析】根据组合数原理可判断A；根据分步乘法计数原理和组合数原理可判断B；根据分步乘法计数原理、组合数原理和古典概型概率公式可判断C、D. 【详解】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走， 需要走6步，2步向上，4步向右，共有种，故A正确； 对于B，第一步，甲从M到，有种走法， 第二步，从到N，有种走法，所以共有种走法，故B错误； 对于C，由B可知甲、乙经过的走法都有9种，所以在处相遇共有种走法， 而甲、乙两人的总走法有种，所以两人在处相遇的概率为，故C正确； 对于D，因为甲、乙两人以相同的速度同时出发，因而相遇时走过的路程相等，故两人只能在处相遇，由C可知D对． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛:本题C中主要利用分步乘法计数原理和组合数原理进行求解，再结合古典概率从而可求解. 11．已知定义域为的连续函数满足，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上的最大值为1 【答案】ABD 【分析】令，即可判断A；由，得，令，则，令，即可判断B；关于求导得，，从而可求出d的解析式，进而可求出的解析式，再利用导数即可判断CD. 【详解】对于A，令， 则，所以，故A正确； 对于B，由，得， 令，则， 令，则，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，故B正确； 由， 关于求导得，， 令， 则， 所以（为常数），即， 所以（为常数）， 因为， 所以，所以， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故C错误；D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：由，得出，是解决本题的关键. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为 ；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值 . 【答案】 / / 【分析】首先根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】设事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅， 由题意可知，，，， 则， ， 所以第2天去餐厅的概率为； 由题意可知，每个人去餐厅的概率为，，所以. 故答案为：； 13．若，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知可得，再利用导数求得函数的最小值，可得的取值范围. 【详解】不等式可化为， 设，则，即在R上单调递增， 因为，所以恒成立， 根据对数函数的性质可得，时显然不成立，所以， 所以，所以恒成立. 令，则, 当时，即单调递减；当时，即单调递增. 所以， 所以只需，即，又， 所以的取值范围为. 故选：B 14．已知六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有 种． 【答案】120 【分析】利用条件，分析得到每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位，再利用分步计数原理即可求出结果. 【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序， 这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF的顺序， 这里不妨记A，B，C，D，E，F六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6， 首先，考虑一种情况：假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位， 其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作， 即第一次让“B”归位，第二次让“C”归位，第三次让“D”归位，第四次将“E”与“F”同时归位， 这样仅需进行4次操作，不满足题意； 若A，B，C，D，E，F均不在对应的自己位置，但经过一次交换后，可使得两个字母同时归位， 此时也不能满足“必须进行5次操作”的情况， 例如，，同时交换可使两者同时归位，此时只需交换四次即可， 而，只需交换三次即可，不合要求， 所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置， 且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位， 1号位可放中的一个，有5种选择，不妨设放的为， 则3号位不能放，可从剩余中选一个，有4种选择，不妨设放的为， 则5号位不能放，否则可先交换，再交换，交换过程中出现交换一次使两个字母同时归位的情况， 故5号位可从种选择一个，有3种选择，不妨设放的为， 字母可选择号位或5号位，有2种选择，剩余只有1种放法，才能满足要求， 综上，总的排序方法有种. 故答案为：120 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键在于，分析出要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分） 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意只需满足，解得即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 且 令，解得或，则函数在上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为....................................6分 （2）由（1）知函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 则，， 且当时，，当时，， 要使得函数有三个零点，则需满足， 解得， 综上可得，实数的取值范围.....................................13分 16．（15分） 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程. (3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)更适合 (2) (3)能 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型. （2）将两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可. （3）应用卡方公式求卡方值，由独立性检验的基本思想下结论即可. 【详解】（1）依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型.....................................2分 （2）由，得， 依题意得， ， 所以，即....................................9分 （3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联， 此推断犯错误的概率不超过0.10......................................15分 17．（15分） 已知函数（，）． (1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项； (2)若，且， ①求的值； ②求的最大值． 【答案】(1)或 (2)①，② 【分析】（1）由得二项式系数最大的项为第四项或第五项，求出即可得解； （2）对①，先求通项， 由求得，求得，再赋值即可得解； （3）若求最大项，根据求解即可； 【详解】（1）当时，的展开式共有8项， 二项式系数最大的项为第四项或第五项， 所以或；.....................................4分 （2）①的通项公式为， 且，所以，解得， 所以， ， 令，得.....................................9分 ②的通项公式为， 所以，当时，， 设为()中的最大值，则， 解得，即，，所以， 所以.....................................15分 18．（17分） 已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （2）原不等式等价于，当时，可由各式符号证明此不等式成立，当时，设，利用导数可证明恒成立，据此可得的单调性，从而可得原不等式成立. 【详解】（1），， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得， 函数在区间上单调递增， 由，得， 函数在区间上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，无减区间. 当时，在上单调递增，在上单调递减.....................................8分 （2）当时，， 要证，即证， ①当时，，， ； ②当时，令， 则，设，则， ，，，，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增，， 即． 综上，当时，．....................................17分 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立，应该根据不等式中含有的函数的类型进行合理的分类讨论，特别是含有三角函数式时，可根据其值域选择分类讨论的标准. 19．（17分） AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为，，. (1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率； (2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束. ①求获得“优惠券”的概率； ②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值. 【答案】(1)； (2)①；②8525元. 【分析】（1）根据题意可得三道工序后是合格品的概率为，再利用条件概率公式求出在家用机器人智能自动检测合格的前提下人工抽检合格的概率为； （2）①根据题意抽到奇数和偶数的概率都为，设乙箱中有个球的概率为，由获奖规则并利用等比数列前项和公式可得，计算出获得“优惠券”的概率为； ②易知参与游戏的32个幸运顾客中获得优惠券的人数，由二项分布求出期望值为8525元. 【详解】（1）设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为， 则， 设家用机器人智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，则 ，， 所以， 即在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率约为；.....................................4分 （2）①设乙箱中有个球的概率为（），抽到奇数和偶数的概率都为， 若第一次抽到奇数，家用机器人运1个乒乓球，概率为，即， 若要使乙箱中有2个球，有两类情况，所以， 乙箱中有（）个球的情况有： ⅰ家用机器人已运个球，又抽出偶数，其概率为； ⅱ家用机器人已运个球，又抽出奇数，其概率为； 所以，且， 所以，所以， 即当时，数列是公比为的等比数列， 所以， 又，，所以当时也成立， 所以，，……，， 上述各式相加得 ， 又，所以，（）， 经检验，当时上式也成立， 所以（，）， 所以，即获得“优惠券”的概率为；.....................................12分 ②设参与游戏的32个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则， 所以的期望， 设优惠券的总金额为元，则， 所以32个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值（元）， 故该企业预备的优惠券总金额的期望值为8525元......................................17分 【点睛】方法点睛：在求解概率统计与数列结合的问题时，找到与（或）之间的关系，再利用数列的递推关系求出对应的通项公式即可求得出相应概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$