第12讲 有理数章末九大题型总结（拔尖）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第12讲 有理数章末九大题型总结（拔尖） 【热考题型】 【题型一】数轴中的新定义问题 1．（23-24七年级上·福建莆田·期末）数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，a，b满足，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点P为线段AB的中点，则点P对应的数______； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时t的值． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）对于有理数a，b，定义一种新运算“※”规定． （第24题） (1)计算______； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知，求a的值． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）阅读下面材料 定义：在数轴上，如果两个点所表示数的和等于2，那么我们就叫做这两个点关于表示1的点对称．若点表示的数是，点表示的数是，则点与点关于表示1的点对称． 例如：，表示的点与表示5的点关于表示1的点对称． 根据上面材料的信息，解答下列问题： (1)填空：表示18的点与表示________的点关于表示1的点对称； (2)若点表示的数是，点表示的数是，判断点与点是否关于表示1的点对称，并说明理由． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：． (1)则________；________； (2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”． ①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数； ②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值． 【题型二】数轴上的动点问题 5．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数． (1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？ 6．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）． (1)线段的长度为______； (2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)当点、两点之间的距离为3时，求的值： (4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 8．（23-24七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离． (1)求的值； (2)若，求的值． 9．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）在数轴上，若点、对应的数为、，则把称为、点间距离，并记．如图，点表示的数是方程的解，点表示最大的负整数，点在点的左边且满足．是数轴上的一个动点，设点表示的数为． (1)如果、、三点表示的数分别为，，，求，，的值； (2)如果点使得，求的值； (3)如果点从点出发向点方向移动，到达点后立即返向移动，到达点后停止．移动中，点始终保持每秒移动2个单位，设点从点处出发的移动时间为秒，当时，写出所有的值． 【题型三】绝对值中的最值问题 10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 11．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 12．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为，则．如，，则，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ； (3)若，则 ； (4)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是 ； (5)当x满足 时，的最小值是 ； (6)根据第（5）小题的探索，当 时，式子的值最小，最小值为 ； (7)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 13．（23-24七年级上·四川达州·期中）阅读下面材料，回答问题： 已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．    （）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图，． （）当、两点都不在原点时， 如图，点、都在原点的右边，； 如图，点、都在原点的左边，； 如图，点、在原点的两边，． 综上，数轴上、两点的距离． 利用上述结论及数轴，解决以下问题：    (1)数轴上表示数和的两点之间的距离是______；若数轴上表示数和的两点之间的距离是，则数为______；若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为______； (2)若代数式取最小值时，求相应的整数的值； (3)求的最小值，并写出此时的取值情况； (4)请直接写出的最大值是______，最小值是______． 14．（23-24七年级上·江苏南京·期中）数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ； 若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】 （2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】 （3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； （4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ． 【题型四】分类讨论多绝对值问题 15．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题． 提出问题：两个有理数a，b且满足a，b同号，求的值． 解决问题： 解：由，同号，可知，有两种可能； ①当，都是正数时，即，，有，，则； ②当，都是负数，即，，有，，则；所以的值为2或． 探究问题： 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个有理数a，b满足a，b异号，求的值； (2)已知，，且，求的值． 17．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． (3)若x表示一个有理数，且，则______ (4)若x表示一个有理数，且，求x的值． 18．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【题型五】与有理数有关的规律探究问题 19．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，那么： (1)（只列算式，不算结果）__________；__________； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律：__________； (3)依据（2）中的规律计算：．（写解题过程） (4)的值为__________． 20．（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 21．（23-24七年级上·云南昆明·期中）观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ①________；②________． (2)根据规律计算： ． 22．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 23．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）探索规律． (1)观察上面的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是____________； (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______， 你会发现这些算式存在一个规律： 请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）； (3)运用这个规律计算：． 【题型六】与有理数有关的新定义问题 24．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）表示两个有理数，定义一种新运算“”，规定：，如． (1)求的值； (2)求的值． 25．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若是有理数，定义一种新运算，例如：． 根据上述关于“”计算法则，完成下列任务． (1)； (2)． 26．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 27．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值． （2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值． 28．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）阅读：定义一种新的运算，取名为运算，按这种运算进行运算 的算式举例如下：①；②（﹣4）；③；④；⑤；⑥．问题： (1)【阅读归纳】请归纳运算的运算法则： 两数进行运算时， ；特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得 ． (2)【理解运用】计算：； 【题型七】与有理数有关的对折问题 29．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，点A、B都在数轴上，O为原点，且O，A两点间的距离为2，A，B两点间的距离为6． (1)分别求出点A和点B表示的数； (2)若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求4秒后点B表示的数； (3)对折纸面，使数轴上点A与点B重合，求同时与表示的点重合的点表示的数． 30．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为毫米．请在下面括号内填上适当的数： (1)对折2次后，厚度为 毫米；对折3次后，厚度为 毫米； (2)对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：，，．设每层楼高度为3米） 31．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______； (2)点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折． ①若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数； ②若对折后，A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时点P代表的数是______． 32．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图在数轴上点表示的数分别为，且满足．    (1)点表示的数为_____________；点表示的数为_____________； (2)若数轴上有一点到点和点的距离相等，则点表示的数为_____________． (3)若该数轴可以折叠，点在数轴上，并且点与点之间的距离为，若以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点折叠后与点重合，则折点表示的数为_____________． (4)若在原点处放一挡板，一只小蚂蚁甲从点处以个单位/秒的速度向左运动；同时另一只小蚂蚁乙从点处以个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略蚂蚁的大小，可看作一点）以个单位/秒的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）， 当时，蚂蚁甲到原点的距离_____________；蚂蚁乙到原点的距离_____________； 当时，蚂蚁乙到原点的距离_____________；蚂蚁乙到蚂蚁甲的距离_____________（均用含的代数式表示） 直接写出甲，乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时的值． 33．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，将一张长方形纸片对折，记折痕为，，将之置于数轴上，初始状态为点与原点重合，点与数3所对应的点重合（即纸片正好覆盖住数，，，）；点在数轴上，对应的数为5．在此基础上，纸片左右滑动． (1)若将纸片向左滑动个单位长度，则点所对应的数为__________，纸片覆盖住的负整数为__________； (2)若纸片能覆盖住数，则需要将其向__________（填写“左”或“右”）滑动，且至少滑动__________个单位长度，至多滑动__________个单位长度； (3)在初始状态的基础上，点与纸片同时开始滑动．纸片向右滑动，速度为每秒3个单位长度；点滑动的速度为每秒1个单位长度；二者滑动的时间为秒． ①若点向左滑动，请求出纸片覆盖住点的最初时刻、最后时刻及覆盖时长为多少； ②若点向右滑动，当纸片能覆盖住点时，请直接写出的取值范围，不用说明理由． 【题型八】幻方的应用 34．（22-23七年级上·河南驻马店·阶段练习）阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    35．（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧． (1)若一个数x的立方等于，请求出x的值． (2)请利用整体思想和方程思想进行解题． ①若（1）中的x的值也是关于x的一元次方程的解，那么关于y的一元一次方程的解为y= ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则的值为多少？ (3)在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后？ 36．（23-24七年级上·全国·课后作业）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和. (1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系； (2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数. ①求中心数的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.      37．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图是一个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每横行、每竖列、每条对角线上的三个数之和相等．      (1)请将10、8、6、4、2、0、、、这九个数填入图2的方格中，使其每一横行，每一竖列以及每条对角线上的三个数字之和都相等： (2)如图3所示的三阶幻方中，其每一横行，每一竖列以及每条对角线上的三个数字之和都相等，若，，，． ①求整式F． ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【题型九】有理数的实际应用 38．（23-24七年级上·河南周口·期中）随着人居环境的改善，人们的生活品位也逐渐提高，盆栽走进了千家万户．某花盆厂计划每天生产各种花盆共300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．如表是某周的生产情况（超产记为“”，减产记为“”）： 星期 一 三 三 四 五 六 日 超减产量（个） (1)求出该厂星期三生产花盆的数量； (2)该周产量中最少的一天比最多的一天少生产花盆多少个？ (3)求出该厂本周实际生产的花盆数． 39．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）有一路电车起点站和终点站分别是甲站和乙站．每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站．他出发时，恰有一辆电车到达乙站．在路上遇到了10辆迎面开来的电车．当到达甲站时，恰又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 40．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）川维中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔．笔记本的单价是元，签字笔的单价是2元．商店决定在“双十一”开展促销活动，提供了2种促销方案． 方案一：买一本笔记本送一支签字笔 方案二：笔记本和签字笔都按定价的付款 说明：两种方案可以同时选择． 现在一个学生要到该商店购买本笔记本，签字笔x支() (1)分别用含有x的代数式表示单独选择方案一和方案二所需要的费用． (2)若时，通过计算，说明选择方案一划算，还是选择方案二划算． (3)当时，你能给出一种更为省钱的方案吗？试写出购买的方法，计算所需费用是多少元？ 41．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ； (3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可） 42．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； (3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 43．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）小伟是一个懂事的孩子，他每天都会从妈妈给的零花钱中存下一部分，他原计划每天存元，下表是小伟在某一周实际各天存钱的情况（多存记为“”，不足记为“”）． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 存钱（元） 0 (1)小伟在这一周中存钱最多的一天是星期_______，这一天存了_______元． (2)请计算小伟这一周存了多少钱？ 44．（23-24七年级上·山东德州·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 有理数章末九大题型总结（拔尖） 【热考题型】 【题型一】数轴中的新定义问题 1．（23-24七年级上·福建莆田·期末）数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，a，b满足，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点P为线段AB的中点，则点P对应的数______； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)1 (2)点对应的数是或5； (3)的值或1.3或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． （1）先根据绝对值的非负性质求出a，b的值，再根据点到点、点的距离相等，结合数轴可得答案； （2）此题要分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，再列出方程求解即可； （3）由点恰好是点，的“2倍点”，列出方程可求解． 【详解】（1）， ， ， 为的中点，． 依题意得， 解得：． 故答案为：1； （2）由，若存在点到点、点的距离之和为8，不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． ①在点左侧，，， 依题意得， 解得：； ②在点右侧，，， 依题意得， 解得：． 故点对应的数是或5； （3）由题意可得：秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 点恰好是点，的“2倍点”， 或， 解得：（舍去）或或或， 的值或1.3或． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）对于有理数a，b，定义一种新运算“※”规定． （第24题） (1)计算______； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知，求a的值． 【答案】(1)8 (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据定义的新运算“※”，代入数据即可； （2）观察数轴即可得出，，结合新运算的定义式，代入数据即可； （3）分以及两种情况考虑，根据新运算的定义式分别得出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：依据新运算的定义“※”得， ； （2）从数轴位置得，，， ∴，， ∴ ； （3）∵， ∴当时，， 解得：； 当时，， 解得： ， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值以及解一元一次方程，整式的加减，解题的关键是根据新定义，分清，的符号，分情况讨论． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）阅读下面材料 定义：在数轴上，如果两个点所表示数的和等于2，那么我们就叫做这两个点关于表示1的点对称．若点表示的数是，点表示的数是，则点与点关于表示1的点对称． 例如：，表示的点与表示5的点关于表示1的点对称． 根据上面材料的信息，解答下列问题： (1)填空：表示18的点与表示________的点关于表示1的点对称； (2)若点表示的数是，点表示的数是，判断点与点是否关于表示1的点对称，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，整式的加减运算． （1）根据“若点表示的数是，点表示的数是，，则点与点关于表示1的点对称”，代入计算即可； （2）将代数式、相加，若值为2，则点与点是关于表示1的点对称即可． 【详解】（1）解：根据“关于表示1的点对称”的定义， ， 表示18的点与表示的点关于表示1的点对称； 故答案为：； （2）解：根据题意得： ， 点与点是关于表示1的点对称． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：． (1)则________；________； (2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”． ①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数； ②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值． 【答案】(1)，12 (2)①6或0；②3或4或或 【分析】本题是新定义题型，主要考查了数轴，绝对值以及偶次幂的非负性的应用，理解新定义，进行分类讨论是解题的关键． （1）直接根据绝对值的非负性，偶次方的非负性即可得出答案； （2）①设点M表示的数为m，然后根据友好点的定义求解即可； ②根据题意得点P表示的数是，点Q表示的数是，然后分点B在P、Q之间；点B在P、Q的左侧讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，． 故答案为：，12； （2）①设点M表示的数为m， 根据题意得或， 解得或， 所以A、B两点的和谐点M在数轴上对应的有理数是6或0． ②设运动的时间为x秒，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当B在P、Q之间时， 根据题意，得或， 解得或4； 当点B在P、Q的左侧时， 根据题意，得或， 解得或， 综上，当t的值为3或4或或时，，，三点中有一点是另两点的“友好点”． 【题型二】数轴上的动点问题 5．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数． (1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？ 【答案】(1)，，见解析 (2)运动3秒后，点P可以追上点Q 【分析】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据题意列出方程． （1）根据有理数的分类求出，根据相反数的定义可得，进而根据数轴上的点所表示数的特点在数轴上标出即可； （2）根据数轴上点所表示数的特点分别表示出点P、Q运动t秒后所表示的数，进而根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ a是最大的负整数，b是的相反数 ， ∴，， ∵a、b分别是点A、B在数轴上对应的数， ∴将点A、B标注在数轴上如下图： （2）解：由题意易得t秒后点P所表示的数为：，点Q所表示的数为， 根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，可得， 解得， 即运动3秒后，点P可以追上点Q． 6．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）． (1)线段的长度为______； (2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)当点、两点之间的距离为3时，求的值： (4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)27 (2) (3)或 (4)或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及的知识点有两点间的距离，中点的定义，以及一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程并准确解方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，即可得到答案； （3）根据、两点之间的距离为3时，列方程或，求解即可； （4）由题意可知其中一个点是另外两个点的中点，分三种情况：①是的中点时；②是的中点；③是的中点；分别求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：27． （2）∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动， ∴在数轴上对应的数为， 故答案为：． （3）∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动， ∴在数轴上对应的数为， 点的运动时间为：秒，点的运动时间为：秒， 当点、两点之间的距离为3时，或， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上，当点、两点之间的距离为3时，或； （4）当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，即：其中一个点是另外两个点的中点， ①是的中点时，得，解得； ②是的中点，得，解得； ③是的中点，得，解得； 综上，或或． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离： （1）根据长方形得，点表示的数为，则，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）由得，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系即可求解； （3）设经过秒后，，则点C表示的数为，点P表示的数为，，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系求得的值，进而可求解； 熟练掌握两点之间的距离公式及利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：是长方形，长为3，宽为2，点B与表示的点重合， ，，点表示的数为， 点P表示的数为， ， ． （2）是长方形，宽为2， ，， ， ， 即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 综上所述：点所表示的数为或． （3）设经过秒后，， 长方形各个点都向左移动了个单位长度， 则点C表示的数为， 点P向右移动了个单位长度， 则点P表示的数为， ，即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为， 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为，     综上所述：点P表示的数为或． 8．（23-24七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)12； (2)或； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离，分点在、之间与点在点右侧两类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：∵M对应的数是，点N对应的数是， ∴， 答：的值是； （2）解：①当点在、之间时， ∵， ∴， 即， ， ②当点在点右侧时， ∵， ∴， ， 答：x的值是5或． 9．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）在数轴上，若点、对应的数为、，则把称为、点间距离，并记．如图，点表示的数是方程的解，点表示最大的负整数，点在点的左边且满足．是数轴上的一个动点，设点表示的数为． (1)如果、、三点表示的数分别为，，，求，，的值； (2)如果点使得，求的值； (3)如果点从点出发向点方向移动，到达点后立即返向移动，到达点后停止．移动中，点始终保持每秒移动2个单位，设点从点处出发的移动时间为秒，当时，写出所有的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)或或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离公式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用 （1）解方程求出的值即为；根据点表示最大的负整数，求出，再根据求出； （2）根据说明点在，之间，再根据得出，然后根据两点间的距离列出方程，求出的值； （3）先求出点在点、之间和点在点、之间时的值，再分当点从点到方向移动时，当点从点到方向移动到处时，当点从点到方向移动到处时三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 点表示最大的负整数， ， ， ， ， ， 解得； （2）解：因为，，， 当点在点的左边或点的右边时，将大于16， 点只能在点、之间， ， ， ， 解得或； （3）解：当点移动在点、之间时， ，， 由得， 解得； 当点移动在点、之间时， ，， 由得，， 解得， 所以，当点从点到A方向移动到时，则， 解得； 当点从点到方向移动到处时，， 解得； 当点从点到方向移动到处时，， 解得， 所以，或或． 【题型三】绝对值中的最值问题 10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 【答案】(1)； (2)5， (3)，8 (4)E，40 【分析】本题考查有理数在数轴上对应的点、绝对值： （1）根据数轴上A、B两点之间的距离计算便可； （2）当x在表示数与1的两点及两点之间时，的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （2）解：当时，取最小值， 其最小值为：， 满足条件的整数x的和为 故答案为：5，； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8， 故答案为：，8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40； 11．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 【答案】(1)3，4 (2)，或0 (3)3 (4)或2 【分析】本题考查两点间的距离．绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和．结合数轴，根据点M的位置分类讨论计算即可； （4）由（3）可得当或时， 才成立，分和两种情况，去掉绝对值符号，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是． 故答案为：3，4 （2）表示数x的点A和表示的点B之间的距离， 若，则点A到点B的距离为2， ∵点B表示的数是， ∴点A表示的数是或0， ∴x为或0． 故答案为：，或0 （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和，即． 若点M在点A的左侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 若点M在线段上，即，如下图： ， 则， ∴； 若点M在点B的右侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 综上所述，，即的最小值为3． 故答案为：3 （4）由（3）可得当或时， 才成立， 当时，可化为：， 解得：， 当时，可化为：， 解得：， 综上，当或2时，． 故答案为：或2 12．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为，则．如，，则，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ； (3)若，则 ； (4)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是 ； (5)当x满足 时，的最小值是 ； (6)根据第（5）小题的探索，当 时，式子的值最小，最小值为 ； (7)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)5或 (3) (4)整数x为：，，，，，0，1，2 (5)，3 (6)0，4 (7)运动9秒或11秒后， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、化简绝对值、一元一次方程的应用： （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离直接列式表示，即可作答； （2）运用绝对值的性质，化简计算，即可作答； （3）运用绝对值的性质，化简计算，即可作答； （4）根据绝对值的几何意义可知位于和之间，结合整数的定义，即可得出答案； （5）根据绝对值的几何意义可知的位置，结合两点之间的距离可得答案； （6）根据绝对值的几何意义可知的位置，结合两点之间的距离可得答案； （7）根据的距离为1，列出方程，解方程，可得答案． 【详解】（1）解：由两点间的距离公式得， 故答案为：5． （2）解：， 或， 或， 故答案为：5或． （3）解：， 或， ， 故答案为：． （4）解：， ，即到的距离与到的距离之和为7， 和之间的距离为7， 位于和之间， 整数x为：，，，，，0，1，2． （5）解：3和6之间的距离为3， 当或时，x到3的距离x到6的距离， x位于3和6之间， 有最小值是3， 故答案为：，3． （6）解：由得， x位于和3之间，且当时，， 此时最小值为4， 故答案为：0，4． （7）解：点A表示的数为，，且点B在点A的右侧， 点B表示的数为9． 设运动时间为t秒， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ，， 当P在Q的左侧时， ， ， ， ． 当P在Q的右侧时， 同理：， ． 答：运动9秒或11秒后，． 13．（23-24七年级上·四川达州·期中）阅读下面材料，回答问题： 已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．    （）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图，． （）当、两点都不在原点时， 如图，点、都在原点的右边，； 如图，点、都在原点的左边，； 如图，点、在原点的两边，． 综上，数轴上、两点的距离． 利用上述结论及数轴，解决以下问题：    (1)数轴上表示数和的两点之间的距离是______；若数轴上表示数和的两点之间的距离是，则数为______；若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为______； (2)若代数式取最小值时，求相应的整数的值； (3)求的最小值，并写出此时的取值情况； (4)请直接写出的最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)，或，； (2)最小值为，相对的整式为或或或； (3)最小值为，； (4)的最大值是，最小值是． 【分析】（）用数轴表示两点间的距离公式即可； （）进行当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时，即，时分类，用数轴表示两点间的距离公式即可； （）进行当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时，即，时，用数轴表示两点间的距离公式即可； （）首先当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时，即，时，用数轴表示两点间的距离公式即可； 本题考查了绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． 【详解】（1）和的两点之间的距离：， 由数轴上表示数和的两点之间的距离是，则， ∴，解得：或， ∵数的点位于与之间， ∴， 故答案为：，或，； （2）当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即，时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，的值最小，最小值为，相对的整式为或或或； （3）当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点右侧时，即，时， ， ∴， 综上可知：当位于点与点之间时，有最小值，最小值为； （4）当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴ 当位于点右侧时，即，时， ， 综上可知：的最大值是，最小值是， 故答案为： ，． 14．（23-24七年级上·江苏南京·期中）数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ； 若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】 （2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】 （3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； （4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ． 【答案】（1）4，3，；（2）7；（3）见解析；（4）3或5 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式进行求解即可； （2）分当时，当时，当时，三种情况去绝对值进行求解即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据（2）的结论进行求解即可； （4）当时， 当时，当时，根据（2）的结论求出的最小值，然后建立方程求解即可； 【详解】解：（1）若，则； 若，则； 一般地，； 故答案为：4，3，； （2）当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值7， 故答案为：7； （3）当时，由（2）可知当时， 的最值为， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时， 的最值为7， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时， 的最值为， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； （4） ， 当时，由（2）可知的最小值为7， 当时，由（2）可知的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∵代数式（m为常数）的最小值为8， ∴， ∴； 当时，同理可得当时，有最小值，不符合题意； 当时，同理可得当时，的最小值为， 解得； 综上所述，m的值为3或5． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，绝对值的意义，正确推出在时，有最小值是解题的关键． 【题型四】分类讨论多绝对值问题 15．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则； （1）根据绝对值的意义和，确定、的值，再计算； （2）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或，． 则或， 即的值为或； （2）已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3）因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个正数一个负数， 设，，， 则． 16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题． 提出问题：两个有理数a，b且满足a，b同号，求的值． 解决问题： 解：由，同号，可知，有两种可能； ①当，都是正数时，即，，有，，则； ②当，都是负数，即，，有，，则；所以的值为2或． 探究问题： 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个有理数a，b满足a，b异号，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)的值为1或15． 【分析】本题考查绝对值，有理数的加减法，理解绝对值的定义，掌握有理数的加法的计算方法是正确解答的前提． （1）根据绝对值的定义，得出当时，，当时，，即可求出答案； （2）根据绝对值的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：两个有理数，满足，异号， ； （2）解：，， 或，或， 又， ，或，， 或， 答：的值为1或15． 17．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． (3)若x表示一个有理数，且，则______ (4)若x表示一个有理数，且，求x的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)4 (4)或3 【分析】本题主要考查了学生对绝对值的综合运用能力，解答时注意运用数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可； （3）根据x的取值范围，分别判断与的正负，然后根据绝对值的性质求解即可；（4）根据两种情况，去绝对值，解方程即可； 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是， 故答案为：3；4； （2）解：根据绝对值的定义有：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 故答案为：； （3）解：当时， 则, 故答案为：4； （4）解：由(3)可知，时，； 当时，可得， 解得； 当时，可得， 解得， 的值为或3． 18．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． 【详解】（1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 【题型五】与有理数有关的规律探究问题 19．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，那么： (1)（只列算式，不算结果）__________；__________； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律：__________； (3)依据（2）中的规律计算：．（写解题过程） (4)的值为__________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算： （1）利用题干中反映的规律解答即可； （2）利用（1）中的方法解答即可； （3）利用（2）中的规律将式子中的每一项变成两数之差即可得出结论； （4）先把原式变形为，再利用（2）中的规律计算，即可求解． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；； （2）解：由（1）中的规律得： 用含有n（n为正整数）的式子表示为：； 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ； 故答案为：． 20．（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）的规律化解原式： ． 21．（23-24七年级上·云南昆明·期中）观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ①________；②________． (2)根据规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的式子的结果； （2）根据题目中的式子和所求式子的特点，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2） 22．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 23．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）探索规律． (1)观察上面的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是____________； (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______， 你会发现这些算式存在一个规律： 请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）； (3)运用这个规律计算：． 【答案】(1) (2)（答案不唯一）； (3) 【分析】本题考查了图形规律，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键，再由数字规律求解即可．空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数． 【详解】（1）解：； （2）（答案不唯一）； 规律为：，为正整数； （3） ． 【题型六】与有理数有关的新定义问题 24．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）表示两个有理数，定义一种新运算“”，规定：，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义： （1）根据新定义得到，据此计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解： ． 25．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若是有理数，定义一种新运算，例如：． 根据上述关于“”计算法则，完成下列任务． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)189 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握新定义的法则，是解题的关键． （1）根据新定义的法则，列出算式，进行计算即可； （2）根据新定义的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式 ． 26．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 27．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值． （2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴的值为． （2）解：由题意知，， ∴的值为． 28．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）阅读：定义一种新的运算，取名为运算，按这种运算进行运算 的算式举例如下：①；②（﹣4）；③；④；⑤；⑥．问题： (1)【阅读归纳】请归纳运算的运算法则： 两数进行运算时， ；特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得 ． (2)【理解运用】计算：； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值 (2) 【分析】（1）本题考查新运算的计算，根据题意得到新运算的规律直接求解即可得到答案； （2）本题考查新运算的计算，根据（1）的规律代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 新运算的规则是：同号得正，异号得负，并把绝对值相加，0与任何数的新运算都得这个数的绝对值， 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2）解：由（1）得， 原式． 【题型七】与有理数有关的对折问题 29．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，点A、B都在数轴上，O为原点，且O，A两点间的距离为2，A，B两点间的距离为6． (1)分别求出点A和点B表示的数； (2)若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求4秒后点B表示的数； (3)对折纸面，使数轴上点A与点B重合，求同时与表示的点重合的点表示的数． 【答案】(1)点A所表示的数为2，点B所表示的数为 (2)8 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）用点B运动前表示的数加上点B运动的路程即可得到答案； （3）根据题意可得折叠点为线段的中点，据此先求出折叠点，进而可求出与表示的点重合的点表示的数． 【详解】（1）解：∵O，A两点间的距离为2，且点A在点O的右侧， ∴点A所表示的数为2． 又∵A，B两点间的距离为6，且点B在点O的左侧， ∴点B所表示的数为． （2）解：由题意得，4秒后点B表示的数为． （3）解：设线段的中点为P， ∴点P所表示的数为． ∴同时与表示的点重合的点表示的数为． 30．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为毫米．请在下面括号内填上适当的数： (1)对折2次后，厚度为 毫米；对折3次后，厚度为 毫米； (2)对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：，，．设每层楼高度为3米） 【答案】(1)4；8 (2)毫米；35层 【分析】（1）根据有理数的乘方的定义解答； （2）根据对折后2的次数与对折次数相同，表示出对折20次后的高度，再转化为单位米即可． 【详解】（1）解：对折2次后，厚度为毫米； 对折3次后，厚度为毫米； （2）解：对折20次后，厚度为：毫米， 104857.6毫米米， ． 答：厚度为104857.6毫米，大约有35层楼高． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记有理数的乘方的概念是解题的关键，计算时要注意单位换算． 31．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______； (2)点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折． ①若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数； ②若对折后，A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时点P代表的数是______． 【答案】(1)，1，4 (2)①点P代表的数为1.5；②0.75或2或3.5 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负数时，的相反数是1，绝对值是4的正数时4，据此解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可．②分类讨论解决． 【详解】（1）最大的负数时，的相反数是1，绝对值是4的正数时4． 故答案为：，1，4． （2）①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②折后，不动，在之间到，距离相等． 折后对应的数：． 点表示的数为：． 折后，动，不动，在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． 折后，动，不动，点在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． 故答案为：0.75或2或3.5． 32．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图在数轴上点表示的数分别为，且满足．    (1)点表示的数为_____________；点表示的数为_____________； (2)若数轴上有一点到点和点的距离相等，则点表示的数为_____________． (3)若该数轴可以折叠，点在数轴上，并且点与点之间的距离为，若以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点折叠后与点重合，则折点表示的数为_____________． (4)若在原点处放一挡板，一只小蚂蚁甲从点处以个单位/秒的速度向左运动；同时另一只小蚂蚁乙从点处以个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略蚂蚁的大小，可看作一点）以个单位/秒的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）， 当时，蚂蚁甲到原点的距离_____________；蚂蚁乙到原点的距离_____________； 当时，蚂蚁乙到原点的距离_____________；蚂蚁乙到蚂蚁甲的距离_____________（均用含的代数式表示） 直接写出甲，乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)，；，；或． 【分析】（）利用非负数的意义即可求得的值； （）利用两点间距离公式即可求解； （）依据题意利用距离速度时间解答即可； 依据题意利用距离速度时间解答即可； 利用分类讨论的方法分两种情况解答：蚂蚁乙未到达挡板前和蚂蚁乙到达挡板后，依据题意列出方程解答即可； 本题考查了非负数的应用，数轴，列代数式，解一元一次方程，依据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为，由题意得， ， 解得， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）解：设点表示的数为， ∵点与点之间的距离为， ∴， 解得或， 当时，， ， 此时折点表示的数为； 当时，， ， 此时折点表示的数为； 故答案为：或； （4）解：当时，蚂蚁甲到原点的距离，蚂蚁乙到原点的距离， 故答案为：，； 当时，蚂蚁乙到原点的距离为：， 蚂蚁乙到蚂蚁甲的距离为：， 故答案为：，； 当蚂蚁乙未到达挡板前，由题意得：， 解得； 当蚂蚁乙到达挡板后，由题意得：， 解得； 答：当或时，甲、乙两只蚂蚁到原点的距离相等． 33．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，将一张长方形纸片对折，记折痕为，，将之置于数轴上，初始状态为点与原点重合，点与数3所对应的点重合（即纸片正好覆盖住数，，，）；点在数轴上，对应的数为5．在此基础上，纸片左右滑动． (1)若将纸片向左滑动个单位长度，则点所对应的数为__________，纸片覆盖住的负整数为__________； (2)若纸片能覆盖住数，则需要将其向__________（填写“左”或“右”）滑动，且至少滑动__________个单位长度，至多滑动__________个单位长度； (3)在初始状态的基础上，点与纸片同时开始滑动．纸片向右滑动，速度为每秒3个单位长度；点滑动的速度为每秒1个单位长度；二者滑动的时间为秒． ①若点向左滑动，请求出纸片覆盖住点的最初时刻、最后时刻及覆盖时长为多少； ②若点向右滑动，当纸片能覆盖住点时，请直接写出的取值范围，不用说明理由． 【答案】(1)；， (2)左，4，7 (3)①，，，② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点之间的距离， （1）根据数轴上两点之间的距离求解方法即可作答； （2）初始时，点与原点重合，点与数3所对应，当点与数对应时，刚好可以开始覆盖，当点与数所对应时，刚好可以覆盖，纸片继续向左移动，则无法再覆盖，据此计算即可； （3）①初始时，，，当点B与点P重合时，即是纸片开始覆盖点P，当点A与点P重合时，即是纸片最后覆盖点P，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；②初始时，，，当点B与点P重合时，即是纸片开始覆盖点P，当点A与点P重合时，即是纸片最后覆盖点P，当纸片能覆盖住点时， 同理列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）初始时，点与原点重合，点与数3所对应， ∵将纸片向左滑动个单位长度， ∴，， ∴点与数对应，点与数所对应， 即纸片覆盖住的负整数为，， 故答案为：；，； （2）初始时，点与原点重合，点与数3所对应， 纸片向左移动后，则有可能覆盖， 当点与数对应时，刚好可以覆盖， 此时，移动的距离为：； 纸片继续向左移动， 当点与数所对应时，刚好可以覆盖， 此时，移动的距离为：； 纸片继续向左移动，则无法再覆盖， 故答案为：左，4，7； （3）①初始时，，， 当点B与点P重合时，即是纸片开始覆盖点P， 则有：， 解得：， 当点A与点P重合时，即是纸片最后覆盖点P， 则有：， 解得：， 覆盖的时长为：； ②初始时，，， 当点B与点P重合时，即是纸片开始覆盖点P， 则有：， 解得：， 当点A与点P重合时，即是纸片最后覆盖点P， 则有：， 解得：， 当纸片能覆盖住点时， 的取值范围：． 【题型八】幻方的应用 34．（22-23七年级上·河南驻马店·阶段练习）阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【答案】（1）15；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）求出第一行三个数的和即可； （2）先求出对角线三个数的和，再根据每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，进行填写； （3）先求出绝对值小于5的整数，再根据题意，填写即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：15． （2）如图所示：（答案不唯一）    （3）绝对值小于5的整数分别为， 如图所示：（答案不唯一）    【点睛】本题考查有理数加法运算．理解幻方的定义，是解题的关键． 35．（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧． (1)若一个数x的立方等于，请求出x的值． (2)请利用整体思想和方程思想进行解题． ①若（1）中的x的值也是关于x的一元次方程的解，那么关于y的一元一次方程的解为y= ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则的值为多少？ (3)在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后？ 【答案】(1)x的值为-2 (2)①6；②(a-b)+(d-c)的值为16 (3)当P点运动1秒或秒或秒或3秒时，OQ=2OP． 【分析】（1）利用立方根的意义即可求解； （2）①代入相关数据解一元一次方程即可求解； ②根据题意列出代数式，利用整式的加减运算即可求解； （3）分四种情况，分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵一个数x的立方等于，即， ∴x=-2； ∴x的值为-2； （2）①∵x=-2是关于x的一元次方程的解， 即， 解得：p=6； 解方程得：y=6； 故答案为：6； ②∵x=-2，y=6， ∴中间正方形四个顶点上的数字之和为m+n+6-2=m+n+4， 根据题意得：d+n-2= m+n+4，即d=m+6， c+n+6= m+n+4，即c=m-2， b+m+6= m+n+4，即b=n-2， a+m-2= m+n+4，即a=n+6， ∴(a-b)+(d-c)=8+8=16， ∴(a-b)+(d-c)的值为16； （3）解：∵x=-2，y=6，P点表示的数为(t-2)， 当点Q在线段OB上，即t1.5时， Q点表示的数为(6-4t)，则OP=2-t，OQ=6-4t， 依题意得：6-4t=2(2-t)， 解得：t=1； 当点P、Q都在线段OA上，即1.5<t2时， Q点表示的数为(6-4t)，则OP=2-t，OQ=4t-6， 依题意得：4t-6=2(2-t)， 解得：t=； 当点Q在线段OA上，点P在线段OB上，即2<t2.5时， Q点表示的数为(4t-10)，则OP=t-2，OQ=10-4t， 依题意得：10-4t=2(t-2)， 解得：t=； 当点P、Q都在线段OB上，即2.5<t4时， Q点表示的数为(4t-10)，则OP=t-2，OQ=4t-10， 依题意得：4t-10=2(t-2)， 解得：t=3； 综上，当P点运动1秒或秒或秒或3秒时，OQ=2OP． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，立方根的性质，整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，理解题意并灵活运用是本题的关键． 36．（23-24七年级上·全国·课后作业）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和. (1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系； (2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数. ①求中心数的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.    【答案】(1)，图1中所有数和为其“幻和”的3倍 (2)①2；②见解析 【分析】（1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． 【详解】（1）斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； 每行数字之和为9，共3行， 图1中所有数字之和为， 图1中所有数的和为其“幻和”的3倍； （2）①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6， 填方格如图：    【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． 37．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图是一个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每横行、每竖列、每条对角线上的三个数之和相等．      (1)请将10、8、6、4、2、0、、、这九个数填入图2的方格中，使其每一横行，每一竖列以及每条对角线上的三个数字之和都相等： (2)如图3所示的三阶幻方中，其每一横行，每一竖列以及每条对角线上的三个数字之和都相等，若，，，． ①求整式F． ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查有理数及整式的加减运算，注意计算的准确性． （1）将10、8、6、4、2、0、、、这九个数按照从大到小的顺序排列，将最中间的数填入中心位置，其余的数大小匹配填在中心位置两侧即可； （2）①利用可求整式，根据即可求整式F；②利用可求整式，计算，分类讨论、、即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：①∵， ∴ ∴ ②∵， ∴ ∵ ∴ 当时，； 当时，； 当时，． 【题型九】有理数的实际应用 38．（23-24七年级上·河南周口·期中）随着人居环境的改善，人们的生活品位也逐渐提高，盆栽走进了千家万户．某花盆厂计划每天生产各种花盆共300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．如表是某周的生产情况（超产记为“”，减产记为“”）： 星期 一 三 三 四 五 六 日 超减产量（个） (1)求出该厂星期三生产花盆的数量； (2)该周产量中最少的一天比最多的一天少生产花盆多少个？ (3)求出该厂本周实际生产的花盆数． 【答案】(1)294个 (2)25个 (3)2106个 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，此类题常常结合生产、生活中的热点问题，认真阅读，理解题意是解此类题的关键． （1）根据表格将300与相加即可； （2）由表格中的数字可知星期日产量最高，星期五产量最低，两者相减即可求出所求的个数； （3）求出表中7个数据的和再加上300乘以7即可． 【详解】（1）解：星期三生产花盆的数量为（个）； （2）解：由表格可知：星期日产量最高，为（个）， 星期五产量最低，为（个）， 则产量最多的一天比产量最少的一天多生产（个）； （3）根据题意得一周生产的工艺品个数为： （个）． 39．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）有一路电车起点站和终点站分别是甲站和乙站．每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站．他出发时，恰有一辆电车到达乙站．在路上遇到了10辆迎面开来的电车．当到达甲站时，恰又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 【答案】他从乙站到甲站用了40分钟 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，根据题意可知骑车的时间即为第四辆电车从甲出发到第十二辆电车恰好从甲出发的时间，再根据每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站进行求解即可． 【详解】解：由题意得，骑车的人一共看见了辆电车， 因为每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟， 所以骑车的人从乙出发时，15分钟前出发的电车刚好到达乙，第4辆电车恰好从甲出发， 所以骑车的人在路上遇到的是第四辆到第十一辆出发的电车，到达甲时，第十二辆电车恰好出发， 所以骑车的时间即为第四辆电车从甲出发到第十二辆电车恰好从甲出发的时间，即分钟， 答：他从乙站到甲站用了40分钟． 40．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）川维中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔．笔记本的单价是元，签字笔的单价是2元．商店决定在“双十一”开展促销活动，提供了2种促销方案． 方案一：买一本笔记本送一支签字笔 方案二：笔记本和签字笔都按定价的付款 说明：两种方案可以同时选择． 现在一个学生要到该商店购买本笔记本，签字笔x支() (1)分别用含有x的代数式表示单独选择方案一和方案二所需要的费用． (2)若时，通过计算，说明选择方案一划算，还是选择方案二划算． (3)当时，你能给出一种更为省钱的方案吗？试写出购买的方法，计算所需费用是多少元？ 【答案】(1)； (2)方案一划算 (3)故先按方案一购买个笔记本，再按方案二购买个笔记本总费用为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是解题的关键． （1）根据两种方案，利用笔记本的费用+签字笔的费用列代数式； （2）当时，分别求解两方案的费用，即可求解； （3）根据可列出更为省钱的方案，列式计算可求解． 【详解】（1）解：按方案一购买∶(元)； 按方案二购买∶(元) （2）把代入（1）问中两式，得 方案一： 方案二∶ ， 按照方案一购买划算； （3）先按方案一购买个笔记本，再按方案二购买个笔记本总费用为： 故先按方案一购买个笔记本，再按方案二购买个笔记本总费用为． 41．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ； (3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可） 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，所以学生平时要培养自己的逆向思维能力． （1）被减数最大，减数最小，选5和； （2）商最小，找符号不同的，选1和； （3）选这四张卡片，． 【详解】（1）解：2张卡片上的数字的差最大，则被减数最大，减数最小即可，选5和， ∴， 故答案为：12． （2）解：2张卡片上的数字相除得到的商最小，找符号不同的，选1和， ∴， 故答案为：． （3）解：选这四张卡片，． 42．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； (3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)前三天共生产15300个口罩 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个 (3)本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数混合运算的应用． （1）把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解； （2）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解； （3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（个）． 故前三天共生产15300个口罩； （2）解：（个）． 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个； （3）解：（个）， （元）． 故本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元． 43．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）小伟是一个懂事的孩子，他每天都会从妈妈给的零花钱中存下一部分，他原计划每天存元，下表是小伟在某一周实际各天存钱的情况（多存记为“”，不足记为“”）． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 存钱（元） 0 (1)小伟在这一周中存钱最多的一天是星期_______，这一天存了_______元． (2)请计算小伟这一周存了多少钱？ 【答案】(1)星期日，8 (2)36元 【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，解题的关键是读懂题意． （）比较每天的存钱数，进而求出星期日的存钱数即可得解； （）将一周各天的存钱求和即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴小伟在这一周中存钱最多的一天是星期日， ∵， ∴这一天存了元． （2）解：一周存的钱数为： （元）， ∴小伟这一周存了元； 44．（23-24七年级上·山东德州·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在欢乐谷门口的北边2千米处 (2)将第六位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远 (3)这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米 (4)小李这天上午共得车费56.8元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解此题的关键． （1）将这些正数和负数全部相加，进行计算即可解答； （2）分别计算出送完每一位乘客时，距欢乐谷的距离，即可解答； （3）将这些正数和负数的绝对值全部相加，进行计算即可解答； （4）八名顾客均有起步价，再求出超出千米的加价，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： （千米）， 将最后一位乘客送到目的地时，小李在欢乐谷门口的北边2千米处； （2）解：由题意得： 第一位乘客：（千米）， 第二位乘客：（千米）， 第三位乘客：（千米）， 第四位乘客：（千米）， 第五位乘客：（千米）， 第六位乘客：（千米）， 第七位乘客：（千米）， 第八位乘客：（千米）， ， 将第六位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远； （3）解：由题意得： （千米）， ， 这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米； （4）解：由题意得： （元）， 小李这天上午共得车费元． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$