精品解析：辽宁省沈阳市虹桥中学2023-2024学年下学期八年级数学4月考试卷

2023-2024下学期·四月月考·八年级（虹桥中学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：C． 2. 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第二象限，列出关于的不等式组，解不等式组，根据不等式组的解集求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴，解得： 故选C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点坐标、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握第二象限点坐标的特征是解答本题的关键． 3. 如图，把绕着点C顺时针方向旋转，得到，点B刚好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出，以及，再利用等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∵把绕着点C顺时针方向旋转，得到， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出是解题关键． 4. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 5. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴∠DFC＝∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC＝3， 同理可证：AE＝AB＝3， ∵AD＝4， ∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1， ∴EF＝4−1−1＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题． 6. 若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有个，可得到的范围是解本题的关键． 【详解】解：解不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解有3个， ∴得到整数解为，，， ∴m的范围为． 故选：B． 7. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到△，若上一点平移后对应点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化，平移变换，解题的关键是理解题意确定平移方向和平移距离．由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到， ， ， 故选：B． 8. 观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可． 【详解】 由图①知，， ， 故图①能说明； 由图②知射线是的平分线，不能说明； 由图③知，不能说明； 由图④知是的垂直平分线， ． 中， ， 即． 故图④能说明． 故选：B 【点睛】本题主要考查了尺规作图法，和三角形三边之间的关系．初中阶段常考的尺规作图有：做一条线段等于已知线段，做一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，做一条线段的垂直平分线．熟练掌握以上尺规作图的方法，并且懂得其中的原理是解题的关键． 9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查两条直线的交点问题，运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解，掌握一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A，B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，即可判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点D为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， 又∵是直角， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分是顶角和底角两种情况讨论，即可解答． 【详解】解：当是顶角时，的顶角度数是； 当是底角时，则的顶角度数为； 综上，的顶角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，关键在于要分情况讨论． 12. 如图，沿平移后得到，点D是点A的对应点，如果，，那么平移的距离是 __________ 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的性质，正确得出等式是解题关键． 直接利用平移的性质得出方程进而得出答案． 【详解】解：设平移的距离为x，则， 则， 故， 解得：， 即平移的距离是：4． 故答案为：4． 13. 如图，在数轴上点M、N分别表示数2、，则x的取值范围是 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键． 根据数轴得到关于x的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：由题意可知， 解得， 故答案为：． 14. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 【答案】3 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵AC+BD=24厘米， ∴OA+OB=12厘米． ∵△OAB的周长是18厘米， ∴AB=6厘米． ∵点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF是△OAB的中位线． ∴EF=AB=3厘米． 故答案为：3 15. 如图，在中，，、分别平分、，E为上一点，若，则的最小值为 __________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含的直角三角形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 过点D作交于点F，得出，根据，得到C、D、F三点共线，，根据即可求解． 【详解】解：过点D作交于点F， ∵、分别平分、， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴C、D、F三点共线， ∴ ∴ 当时，此时的值最小， 则， ∴ ∴的最小值为3． 故答案为：3． 三、解答题 16. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 该解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】根据解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解．再把解集在数轴上表示． 【详解】解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示解集。解题的关键是掌握解不等式的步骤，并在数轴上表示解集． 17. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式的解法以及不等式组解集的确定方法是解答本题的关键． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将绕着点B顺时针方向旋转． （1）请在图中画出旋转后的 （2）再在图中画出的高 （3）在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于C） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）5 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换：确定旋转后图形的基本要素有两个：旋转中心、旋转角．作图时要先找到图形的关键点是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、即可； （2）利用网格特点过C点作直线的垂线，得到垂足为格点D； （3）过C作的平行线得到满足条件的格点P有3个，利用对称在的另一侧可得到满足条件的2个格点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在图中能使的格点的个数有5个，如图． 故答案为：5． 19. 如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）试说明垂直平分 （2）连结交于点O，若，则与之间有什么数量关系是 【答案】（1） 证明：，分别是和 的高， ，， 又是的角平分线， ， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，，根据角平分线的性质得到，推出点在的垂直平分线上，根据全等三角形的判定和性质定理以及线段垂直平分线的判定即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据含直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， 是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 20. 某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植百合、玫瑰这两种鲜花，经测算，种植这两种鲜花每亩的投入与获利情况如表： 每亩需投入（万元） 每亩可获利（万元） 玫瑰 4 1.2 百合 2 0.8 设种植百合x亩，总获利y万元． （1）若投入200万元全部用来种植这两种鲜花，求y关于x的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若要求种植百合的面积不能多于种植玫瑰的面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 【答案】（1）； （2）当种植玫瑰25亩，百合50亩时，总获利最大，最大总获利为70万元． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据列出表达式即可； （2）根据题意列出不等式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意，得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得． ∵，且， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值，最大值为， 此时种植玫瑰的面积为（亩）， ∴当种植玫瑰25亩，百合50亩时，总获利最大，最大总获利为70万元． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式和不等式． 21. 定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因，故方程是不等式组的子方程． ． （1）在方程①，②，③中，不等式组的子方程是 （填序号）； （2）若不等式组的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 ； （3）若方程，都是关于x的不等式组的子方程，求m的取值范围． 【答案】（1）③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“子方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． （1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“子方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，即可求得此子方程的解； （3）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【小问1详解】 解：解不等式组，得：， 方程①的解为；方程②的解为；方程③的解为， 不等式组的子方程是是③， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：解不等式组得：， 所以不等式组的整数解为，0， 则此子方程的解是或0， 故答案为：或0； 【小问3详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为． 方程的解为， 方程的解为， 所以的取值范围是． 22. （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图1，在中，平分，．求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你回答： 如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：． （3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E，那么的长为 【答案】 （1）证明：①平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至F，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①证，得，，再证，则，即可得出结论；②证，再证，得，即可得出结论； （2）延长至F，使，连接，证，再证，得，即可得出结论； （3）延长至F，使，连接，过C作于点H，证，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长至F，使，连接，过C作于点H，如图， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 我们知道平行四边形有很多性质. 现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论. 【发现与证明】ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D. 结论1：B′D∥AC； 结论2：△AB′C与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形. …… 请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）. 【应用与探究】在ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D. （1）如图1，若，则∠ACB= °，BC= ； （2）如图2，，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积； （3）已知，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？ 【答案】 【发现与证明】证明：如答图1，设AD与B′C相交于点F， ∵△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴△ABC≌△△AB′C，∠ACB=∠ACB′，BC= B′C. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC. ∴B′C=AD，∠ACB=∠CAD. ∴.∴AF=CF. ∴B′F=DF. ∴. ∵∠AFC=∠B′FD，∴.∴B′D∥AC. 【应用与探究】(1) 45，；（2）；（3）6,2, 4或3. 【解析】 【详解】试题分析：【发现与证明】根据翻折对称的性质,平行四边形的性质和三角形内角和定理可得证. 【应用与探究】(1)∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，∠B=30°，∴∠AB′C=∠B=30°. ∵，∴∠CB′D=45°. 由【发现与证明】的结论,B′D∥AC, ∴∠ACB=∠ACB′=∠C B′D=45°. 如答图7,过A点作AP⊥BC于点P, ∵∠B=30°，, ∴. ∵∠ACB=45°,∴. ∴. (2)过C点分别作CG⊥AB，CH⊥A B′，垂足分别为G、H,应用含30度直角三角形的性质和勾股定理AE和CH的长即可求出△AEC的面积. (3)分∠B′AD="90°," ∠AB′D=90°和∠ADB′=90°三种情况讨论即可. 试题解析：解：【发现与证明】略 【应用与探究】 （1）45，. （2）如答图2，过C点分别作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分别为G、H. ∴CG=CH. 在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=1，∠B=30°， ∴. ∵，∴. ∵△AGC≌△AHC,∴. 设AE=CE=x, 由勾股定理得,,即,解得. ∴△AEC的面积. （3）按△AB′D中的直角分类: ①当∠B′AD=90°时,如答图3, ∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=6. 如答图4, ∵∠A B′D=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=2. ②当∠AB′D=90°时,如答图5, ∵∠B′AD=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=4. ③当∠ADB′=90°时,如答图6, ∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=3. 综上所述, 当BC长为6,2, 4或3时，是△AB′D直角三角形. 考点：1. 翻折问题；2.平行四边形的性质；3.翻折对称的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.三角形内角和定理；6.等腰三角形的判定和性质；7.勾股定理；8. 含30度直角三角形的性质；9.分类思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024下学期·四月月考·八年级（虹桥中学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，把绕着点C顺时针方向旋转，得到，点B刚好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 5. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 6. 若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到△，若上一点平移后对应点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 10. 如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是______． 12. 如图，沿平移后得到，点D是点A的对应点，如果，，那么平移的距离是 __________ 13. 如图，在数轴上点M、N分别表示数2、，则x的取值范围是 __________ 14. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 15. 如图，在中，，、分别平分、，E为上一点，若，则的最小值为 __________ 三、解答题 16. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 解不等式组： 18. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将绕着点B顺时针方向旋转． （1）请在图中画出旋转后的 （2）再在图中画出的高 （3）在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于C） 19. 如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）试说明垂直平分 （2）连结交于点O，若，则与之间有什么数量关系是 20. 某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植百合、玫瑰这两种鲜花，经测算，种植这两种鲜花每亩的投入与获利情况如表： 每亩需投入（万元） 每亩可获利（万元） 玫瑰 4 1.2 百合 2 0.8 设种植百合x亩，总获利y万元． （1）若投入200万元全部用来种植这两种鲜花，求y关于x的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若要求种植百合的面积不能多于种植玫瑰的面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 21. 定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因，故方程是不等式组的子方程． ． （1）在方程①，②，③中，不等式组的子方程是 （填序号）； （2）若不等式组的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 ； （3）若方程，都是关于x的不等式组的子方程，求m的取值范围． 22. （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图1，在中，平分，．求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你回答： 如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：． （3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E，那么的长为 23. 我们知道平行四边形有很多性质. 现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论. 【发现与证明】ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D. 结论1：B′D∥AC； 结论2：△AB′C与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形. …… 请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）. 【应用与探究】在ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D. （1）如图1，若，则∠ACB= °，BC= ； （2）如图2，，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积； （3）已知，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $