第十八章 平行四边形 第11课时　正方形的判定课件 2023-2024学年 人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 第11课时　正方形的判定 理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系． 课标要求 课前预习 返回目录 正方形的判定 几何语言 图示 判定1：有一组邻边_________的矩形是正方形 在矩形ABCD中，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形 判定2：有一个角是_________的菱形是正方形 在菱形ABCD中，∠A＝90°， ∴四边形ABCD是正方形 相等 直角 　对角线互相垂直的矩形是正方形吗？对角线相等的菱形呢？仿照上面的表格，写出你的结论． 3 课堂讲练 返回目录 例1（判定1）　如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CFDE是正方形． 图1 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠DEC＝∠DFC＝90°. 又∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形． ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF. ∴四边形CFDE是正方形． 训练　1．如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：四边形ABCD是正方形． 图2 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°．∴∠BAF＋∠DAF＝90°. ∵DE⊥AF，∴∠AGD＝90°. ∴∠ADE＋∠DAF＝90°．∴∠BAF＝∠ADE. 又AF＝DE，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴AB＝DA. 又四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形． 例2（判定2）　如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝BE，连接CE，BF．求证：四边形BECF是正方形． 图3 证明：∵EF垂直平分BC，∴BE＝CE，BF＝CF. 又CF＝BE，∴BE＝CE＝CF＝BF. ∴四边形BECF是菱形． ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45°. ∴∠EBF＝2∠EBC＝90°．∴四边形BECF是正方形． 训练　2．如图4，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE＝BF＝CG＝DH. （1）四边形EFGH是正方形吗？请说明理由． 图4 解：四边形EFGH是正方形．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA. ∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）. ∴EH＝FE＝GF＝HG，∠AEH＝∠BFE. ∴四边形EFGH是菱形． ∵∠BEF＋∠BFE＝180°－∠B＝90°， ∴∠BEF＋∠AEH＝90°．∴∠HEF＝90°. ∴四边形EFGH是正方形． （2）若正方形ABCD的边长为4 cm，且AE＝3 cm，则四边形EFGH的面积为________cm2. 10 图4 1．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形ABCD是正方形的是（　　） B 2．【知识梳理】在平行四边形的复习课上，小明绘制了如图5所示的知识框架图，则箭头处可添加的条件错误的是（　　） A．①：对角线相等 B．②：对角互补 C．③：一组邻边相等 D．④：有一个角是直角 图5 B 3．如图6，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上．求证：四边形ADFE是正方形． 图6 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°. 由折叠的性质可知，∠DFE＝∠A＝90°. ∴四边形ADFE是矩形． 由折叠的性质可知，AE＝EF． ∴四边形ADFE是正方形． 4．如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB. （1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由； 图7 解：四边形ADCE是菱形．理由如下： ∵AE∥CD，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴DA＝DC. ∴四边形ADCE是菱形． （2）当∠B＝________°时，四边形ADCE是正方形． 45 5．【推理能力】如图8，在Rt△CEF中，∠C＝90°，外角∠BEF和∠DFE的平分线交于点A，过点A分别作AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D. （1）∠EAF＝________°. 图8 45 图8 （2）①求证：四边形ABCD是正方形； 答图1 证明：如答图1，过点A作AG⊥EF于点G. ∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°. 又∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形． ∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE， AB⊥BE，AG⊥EG，AD⊥DF， ∴AB＝AG，AD＝AG．∴AB＝AD. ∴四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 答图1 随 堂 测 返回目录 1．满足下列条件的四边形是正方形的是(　　) A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形 C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形 A 2．在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，∠B＝∠D，如果再添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　) A．∠D＝90° B．AB＝CD C．BC＝CD D．AC＝BD C 3．如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝4 cm，点E，F同时从O点出发，以0.5 cm/s的速度分别沿OA，OC向点A，C运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，当t＝________s时，四边形DEBF为正方形． 图1 4 4．如图2，在▱ABCD中，BC＝AC，E，F分别是AB，CD的中点，连接CE，AF. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)当∠BCA＝_____时,四边形AECF是正方形． 图2 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∵E，F分别是AB，CD的中点， 又AB∥CD，即AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形． ∵BC＝AC，E是AB的中点，∴CE⊥AB. ∴∠AEC＝90°．∴四边形AECF是矩形． 90° 解：设DF＝x.∵BE＝EC＝3，∴BC＝6. 由①，得四边形ABCD是正方形． ∴CD＝BC＝6. ∴CF＝DC－DF＝6－x. 在Rt△ABE和Rt△AGE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AG，,AE＝AE，)) ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．∴BE＝GE＝3. 同理，GF＝DF＝x．∴EF＝GE＋GF＝3＋x. 在Rt△CEF中，EC2＋CF2＝EF2， 即32＋（6－x）2＝（3＋x）2．解得x＝2．∴DF的长为2. ∴AE＝AB，CF＝CD. ∴AE＝CF. $$