第十八章 平行四边形 第10课时　正方形的性质 2023-2024学年 人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 第10课时　正方形的性质 理解正方形的概念；正方形既是矩形，又是菱形． 课标要求 课前预习 返回目录 正方形的性质 边：正方形的四条边都__________； 角：正方形的四个角都是__________ 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴____________________， _____________________________ _______________  图示： 对角线：①相等；②互相垂直；③互相平分；④平分每一组对角 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC________BD，AC________BD，OA＝________＝________＝________，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45° 相等 直角 AB＝BC＝CD＝AD ∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝ ∠ADC＝90° ＝ ⊥ OB OC OD 正方形的性质 对称性：正方形是__________图形，它有__________条对称轴  注：正方形既是矩形，又是菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质 轴对称 4 课堂讲练 返回目录 例1　（1）若正方形的边长为4 cm，则它的对角线长为________cm，周长为________cm，面积为________cm2； （2）如图1，已知正方形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，则△AOB是___________三角形． 图1 16 16 等腰直角 训练　1.（1）若正方形的面积是25 cm2，则它的边长是________cm，周长是________cm，对角线长是________cm； （2）如图2，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且 BC＝BE，则∠BEC＝________°. 图2 5 20 67.5 例2　如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点O．试判断AE与BF之间的数量、位置关系，并说明理由． 图3 ∴△ABE≌△BCF（SAS）. ∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF. ∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∴∠CBF＋∠AEB＝90°. ∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF. 图３ 训练　2．如图4，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，∠1＝∠2，试判断△DEF的形状，并说明理由． 图4 解：△DEF是等腰直角三角形．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°. ∴∠DCF＝90°. 图4 例3　如图5，在正方形ABCD中，F为CD上一点，BF与AC相交于点E，连接DE. （1）求证：△ABE≌△ADE； 图5 （2）若∠CBF＝20°，求∠AED的度数． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝45°. ∵△ABE≌△ADE， ∴∠AEB＝∠AED. ∵∠AEB＝∠CBF＋∠BCE＝20°＋45°＝65°， ∴∠AED＝65°. 图5 训练　3．如图6，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF. （1）求证：四边形AECF为菱形； 图6 证明：如答图1，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO. ∵BE＝DF，∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF. ∴四边形AECF是平行四边形． 又AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形． 答图1 答图1 1．如图7，P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP．若△APB是等边三角形，则∠BPC＝（　　） A．30° B．60° C．75° D．90° 图7 C 图8 C 3．【操作探究】如图9，小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具拉伸成为如图9①所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5，接着又将这个活动学具拉伸成为如图9②所示的正方形，则此正方形的对角线AC的长为________． 图9 4．如图10，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积S＝________． 图10 4 图11 ①② 随 堂 测 返回目录 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　　) A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直 C．每条对角线平分一组对角 D．四边相等 A 2．如图1，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝35°，则∠ANM的度数为(　　) A．45° B．55° C．65° D．75° 图1 B 3．如图2，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上．若BE＝BD，则CE＝________． 图2 4．如图3，已知E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，且CE＝AC. (1)求∠E的度数； 图3 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°. ∵CE＝AC，∴∠E＝∠CAE. ∵∠ACB＝∠E＋∠CAE＝2∠E＝45°， ∴∠E＝22.5°. (2)若AB＝ cm，求△ACE的面积．  图3 4 eq \r(2) 5 eq \r(2) 解：AE＝BF，AE⊥BF．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°. 在△ABE和△BCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABE＝∠C，,BE＝CF，)) 在△ADE和△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠DCF，,AD＝CD，,∠1＝∠2，)) ∴△ADE≌△CDF（ASA）． ∴DE＝DF. 又∠EDF＝∠2＋∠CDE＝∠1＋∠CDE＝∠ADC＝90°. ∴△DEF是等腰直角三角形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠EAB＝∠EAD. 在△ABE和△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AE，,∠EAB＝∠EAD，,AB＝AD，)) ∴△ABE≌△ADE（SAS）. （2）若AB＝3 eq \r(2) ，BE＝ eq \f(3,2) ，求四边形AECF的面积． 解：在正方形ABCD中，AB＝3 eq \r(2) ， ∴AC＝BD＝ eq \r(（3\r(2)）2＋（3\r(2)）2) ＝6. ∵BE＝DF＝ eq \f(3,2) ，∴EF＝BD－BE－DF＝3. 由（1）知，四边形AECF是菱形． ∴S四边形AECF＝ eq \f(1,2) AC·EF＝ eq \f(1,2) ×6×3＝9. 2．如图8，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（1， eq \r(3) ），则点C的坐标是（　　） A．（－ eq \r(2) ，1） B．（－1， eq \r(3) ） C．（－ eq \r(3) ，1） D．（－ eq \r(3) ，－1） 5 eq \r(2) 5．如图11，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝ eq \r(2) ，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝ eq \r(17) ；④S△CFO＝3．其中正确的为________．（填序号） －1 解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝，∠B＝90°， ∴CE＝AC＝＝2. ∴S△ACE＝CE·AB＝×2×＝(cm2). $$