第十八章 平行四边形 第9课时　菱形的判定课件 2023-2024学年 人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 第9课时　菱形的判定 探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 课标要求 课前预习 返回目录 菱形的判定 几何语言 图示 判定1（定义）：有一组__________的平行四边形是菱形 如：在▱ABCD中，AB＝______________， ∴四边形ABCD是菱形．       判定2：四条边_______的四边形是菱形 在四边形ABCD中，____________________， ∴四边形ABCD是菱形 判定3：对角线_________的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，__________， ∴四边形ABCD是菱形 邻边相等 BC（或AD） 相等 AB＝BC＝CD＝DA 互相垂直 AC⊥BD 3 课堂讲练 返回目录 例1（判定1）　如图1，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AC平分∠BAD，求证：四边形ABCD是菱形． 图1 证明：∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AD∥BC．∴∠DAC＝∠ACB. ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC. ∴∠BAC＝∠ACB．∴AB＝BC. ∴四边形ABCD是菱形． 训练　1．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，CE∥AB，CE＝ AB，连接BE．求证：四边形CDBE是菱形． 图2 例2（判定2）　如图3，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是菱形． 图3 答图1 　能否通过证明以四边形EFGH的四条边为斜边的四个直角三角形全等来证明四条边相等？ 训练　2．如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠A＝∠C．求证：四边形ABCD是菱形． 图4 例3（判定3）　如图5，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠ABD＝∠BDC，AB＝CD＝ ，OA＝2，OB＝1．求证：四边形ABCD是菱形． 图5 训练　3．如图6，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形EBFD是菱形． 图6 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，即DE∥BF．∴∠EDO＝∠FBO. ∵O是BD的中点，∴DO＝BO. 又∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE（ASA）. ∴DE＝BF．∴四边形EBFD是平行四边形． 又EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形． 1． (2023 深圳)如图7，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB沿BC方向向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 图7 B 2．如图8，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于 点C，D，则直线CD即为所求．连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　　） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．平行四边形 图8 C 3．【推理能力】小惠自编一题：“如图9，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将该题目与小洁同学交流，小洁认为这道题目还需要再补充一个条件才能进行证明，则这个条件可以是______________________． 图9 OA＝OC（答案不唯一） 4．如图10，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE至点F，使得EF＝BE，连接CF. （1）求证：四边形BCFE是菱形； 图10 证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC，BC＝2DE．∴EF∥BC. ∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC. ∴四边形BCFE是平行四边形． 又EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形． 图10 （2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求四边形BCFE的面积． 答图2 解：如答图2，过点E作EG⊥BC于点G. 由（1）知，四边形BCFE为菱形． ∴△EBC是等边三角形． 随 堂 测 返回目录 1．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，将△ABC沿BC翻折，得到的△DBC与△ABC组成四边形ABDC，连接AD，则线段AD的长为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 图1 C 图2 2．(2023 沈阳)如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE．求证：四边形BECF是菱形． 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD垂直平分BC，DB＝DC．∴EB＝EC，FB＝FC. ∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD. 又DB＝DC，∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴EB＝FC．∴EB＝FB＝FC＝EC． ∴四边形EBFC是菱形． 3．(2023 张家界)如图3，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF. (1)求证：AE∥BF； 图3 证明：∵AD＝BC， ∴AD＋CD＝BC＋CD，即AC＝BD. 又AE＝BF，CE＝DF， ∴△AEC≌△BFD(SSS). ∴∠A＝∠B．∴AE∥BF. (2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形． 图3 证明：由(1)知，△AEC≌△BFD. ∴∠ECA＝∠FDB．∴EC∥DF. 又EC＝DF， ∴四边形DECF是平行四边形． ∵DF＝FC， ∴四边形DECF是菱形． 证明：∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点， ∴CD＝BD＝ eq \f(1,2) AB. 又CE＝ eq \f(1,2) AB，∴CE＝BD. 又CE∥AB，即CE∥BD，∴四边形CDBE是平行四边形． ∵CD＝BD，∴四边形CDBE是菱形． eq \f(1,2) 证明：如答图1，连接AC，BD. ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF＝GH＝ eq \f(1,2) AC，FG＝HE＝ eq \f(1,2) BD. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD. ∴EF＝FG＝GH＝HE．∴四边形EFGH是菱形． 证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,∠ABD＝∠CBD，,BD＝BD，)) ∴△ABD≌△CBD（AAS）．∴AB＝CB，AD＝CD. 又AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形． eq \r(5) 证明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD. 又AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB＝ eq \r(5) ，OA＝2，OB＝1， ∴OA2＋OB2＝22＋12＝5，AB2＝（ eq \r(5) ）2＝5. ∴OA2＋OB2＝AB2．∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°. ∴AC⊥BD．∴四边形ABCD是菱形． eq \f(1,2) ∴BE＝BC＝CE＝4．∴CG＝ eq \f(1,2) BC＝2. 在Rt△CEG中，由勾股定理，得 EG＝ eq \r(CE2－CG2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) . ∴S四边形BCFE＝BC·EG＝4×2 eq \r(3) ＝8 eq \r(3) . ∴BE∥CF，BE＝BC，∠EBC＝ eq \f(1,2) ∠BCF＝60°. $$