第十八章 平行四边形 第8课时　菱形的性质课件 2023-2024学年 人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 第8课时　菱形的性质 理解菱形的概念；探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直． 课标要求 课前预习 返回目录 菱形的定义：有一组邻边__________的平行四边形是菱形 菱形的性质 边：菱形的四条边都__________ 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴_____________________ 图示： 对角线：菱形的两条对角线互相__________，并且每一条对角线__________一组对角 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC______BD，OA＝________，OB＝________，∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB 相等 相等 AB＝BC＝CD＝DA 垂直平分 平分 ⊥ OC OD 菱形的性质 对称性：菱形是__________图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴 图示： 周长：C菱形ABCD＝4AB； 面积：S菱形ABCD＝AC·BD 注：菱形具有平行四边形的所有性质 轴对称 课堂讲练 返回目录 例1　如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. （1）若∠DAB＝60°，则∠ABD＝________°，△ABD是________三角形； （2）若AC＝8，BD＝6，则该菱形的面积 为________，周长为________． 图1 60 等边 24 20 训练　1．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. （1）若∠BAC＝25°，则∠ABD＝________°，∠ADC＝________°； （2）若AB＝4，∠ABC＝120°，则该菱形的周长为________，面积为________． 图2 65 130 16 例2　如图3，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，CF. （1）求证：AE＝CF； 图3 （2）若∠AEO＝40°，求∠ACF的度数． 解：∵△AEO≌△CFO， ∴∠AEO＝∠CFO＝40°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD．∴∠COF＝90°. ∴∠ACF＝90°－∠CFO＝90°－40°＝50°. 图3 训练　2.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. （1）求证：AE＝AF； 图4 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD. 又S菱形ABCD＝BC·AE＝CD·AF， ∴AE＝AF. （2）若AC＝6，BD＝8，求AE的长． 图4 1．如图5，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　） 图5 A．24 B．18 C．12 D．9 A 2．【传统文化】中国结象征着中华民族的传统文化与智慧．小明家有一中国结挂饰（如图6①），他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图6②所示的菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，测得BD＝12 cm，AC＝16 cm，过点O作EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F，则EF的长为________cm. 图6 3．如图7，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥BC于点E，连接OE．若∠ABC＝140°，则∠OEB＝________. 图7 70° 4．如图8，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A的坐标为（2，0），∠AOC＝45°，则点B的坐标为________________． 图8 5．【易错题】已知菱形的一组邻角的度数之比为1∶2，其中一条对角线的长为4 cm，则这个菱形的周长为____________________.　 6．如图9，在菱形ABCD中，BD为对角线，E为BD上一点．求证：∠DAE＝∠DCE. 图9 图10 答图1 7．【推理能力】如图10，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上一动点（不与点A，D重合），N是CD边上一动点，且AM＋CN＝1. 证明：如答图1，连接BD. （1）求证：△BMN是等边三角形； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AB∥DC．∴∠NDB＝∠DBA. ∵∠A＝60°，∴△ADB是等边三角形． ∴AB＝DB，∠NDB＝∠DBA＝60°．∴∠A＝∠NDB. 答图1 图10 （2）求△BMN面积的最小值． 答图1 答图1 随 堂 测 返回目录 1．菱形的边长为5，则它的周长是__________. 2．如图1，BD为菱形ABCD的对角线，若∠A＝50°，则∠BDC的度数为(　　) A．130° B．50° C．55° D．65° 图1 20 D 3．若菱形ABCD的边长为10，一条对角线的长为16，则另一条对角线的长为(　　) A．14 B．12 C．9 D．7 B 4．如图2，在菱形ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠D＝120°，BE＝1，则AC＝________． 图2 3 5．如图3，菱形花坛ABCD的边长为10 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.(小路的宽度可忽略) (1)求两条小路AC和BD的长； 图3 解：∵四边形ABCD是菱形， (2)求菱形花坛ABCD的面积． 图3 8 eq \r(3) 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO. 又BE＝DF，∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO. 在△AEO和△CFO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝CO，,∠AOE＝∠COF，,EO＝FO，)) ∴△AEO≌△CFO（SAS）．∴AE＝CF. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝ eq \f(1,2) BD＝4，CO＝ eq \f(1,2) AC＝3，AC⊥BD. ∴∠BOC＝90°. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得 BC＝ eq \r(BO2＋CO2) ＝ eq \r(42＋32) ＝5. ∴S菱形ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝BC·AE， 即 eq \f(1,2) ×6×8＝5AE．∴AE＝ eq \f(24,5) . eq \f(48,5) （2＋ eq \r(2) ， eq \r(2) ） 16 cm或 eq \f(16\r(3),3) cm 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE. 在△ADE和△CDE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADE＝∠CDE，,DE＝DE，)) ∴△ADE≌△CDE（SAS）．∴∠DAE＝∠DCE. ∵AM＋CN＝1，DN＋CN＝DC＝1， ∴AM＝DN. 在△AMB和△DNB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝DN，,∠A＝∠NDB，,AB＝DB，)) ∴△AMB≌△DNB（SAS）．∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD. 又∠MBA＋∠DBM＝∠DBA＝60°， ∴∠NBD＋∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°. ∴△BMN是等边三角形． 解：如答图1，过点B作BE⊥MN于点E. 在Rt△ABM中，由勾股定理，得 BM＝ eq \r(AB2－AM2) ＝ eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(3),2) . ∵△BMN是等边三角形， ∴当BM⊥AD时，BM的长度最小， 此时△BMN的面积最小． 当BM⊥AD时，AB＝1，AM＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) . ∴MN＝BM＝ eq \f(\r(3),2) ．∴EM＝ eq \f(1,2) MN＝ eq \f(\r(3),4) . 在Rt△BEM中，由勾股定理， 得BE＝ eq \r(BM2－EM2) ＝ eq \f(3,4) . ∴△BMN面积的最小值为 eq \f(1,2) × eq \f(\r(3),2) × eq \f(3,4) ＝ eq \f(3\r(3),16) . ∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO， ∠ABO＝∠ABC＝30°. 在Rt△ABO中，AO＝AB＝×10＝5. ∴BO＝＝5. ∴AC＝2AO＝10 m，BD＝2BO＝10 m. 答：小路AC的长为10 m，BD的长为10 m. 解： S菱形ABCD＝AC·BD＝×10×10＝50(m2). 答：菱形花坛ABCD的面积为50 m2. $$