第06讲 圆（一） （2个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第06讲 圆（一） （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【例1】（2023秋•下城区校级月考）已知的半径是，则中最长的弦长是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•西湖区校级期中）已知圆的面积为，若点在圆上，则　　． 【变式3】（2023•海曙区模拟）一个圆可以把平面分成两个部分，两个圆可以分成三个或四个部分，问7个圆最多可以将平面分成 　　个部分． 【变式4】（2023秋•兰溪市校级期中）如图所示，为的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，．求的度数． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【例2】（2023秋•新昌县期末）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，长为半径作．若点的坐标为，则点与的位置关系是　　 A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【变式1】（2023秋•缙云县期末）的半径为，点在外，则的长可以是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•西湖区校级期中）已知的半径为3，若点在圆上，则 　　3（填“”、“ ”、“ ” ． 【变式3】（2023秋•萧山区期中）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结．则线段的最大值是 　　． 【变式4】（2022秋•衢江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． （1）圆心的坐标为　　； （2）判断点与的位置关系． 经典题型汇编 题型一.圆的基本概念辨析 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．相等的圆心角所对弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，为抛物线上的动点，点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，点，则线段的最小值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 题型二.圆的周长和面积问题 4．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 5．（20-21九年级上·浙江温州·阶段练习）已知的面积为．若点在内，那么线段的长度的取值范围是 ． 6．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、、均在格点上，在网格中将点按下列步骤移动： 第一步：点绕点顺时针旋转得到点 第二步：点绕点顺时针旋转得到点； 第三步：点绕点顺时针旋转回到点； （1）请用圆规画出点→→→经过的路径； （2）所画图形是______对称图形； （3）写出所画图形围成的面积．（结果保留） 面积： 题型三.判断点与圆的位置关系 7．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如果圆O的半径为，点P到圆心O的距离为，那么点P与圆O的位置关系是（    ） A．点P在圆O外 B．点P在圆O上 C．点P在圆O内 D．不能确定 8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）． 9．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．并建立如图所示的直角坐标系，则： (1)请在图中标出的外接圆的圆心P的位置，并填写：圆心P的坐标：P（______，______） (2)请画出，并判断点与圆的位置关系是___________． 题型四.利用点与圆的位置关系求半径 10．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）点P到圆O的圆心的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r可能是（　　） A．7 B．8 C．5 D． 11．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）同一平面内，一个点到圆的最小距离为6，最大距离为8，则该圆的半径为 ． 12．（20-21九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点． （1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何? （2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 试题练习 一、单选题 1．已知的半径为6，点P在外，则的长可以为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 2．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 3．下列命题不正确的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过三点能作一个圆 C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 4．已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 5．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 7．如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，的对角线相交于点O，E是以A为圆心，以4为半径为圆上一动点，连接，点P为的中点，连接，若，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 9．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图内接于一个半径为5的半圆，，分别以，，为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 二、填空题 11．已知的半径为2，点P为外一点，则的长可以为 （写出一个即可）． 12．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 13．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    14．如图，已知点，为平面直角坐标系内两个点，以点A为圆心的经过坐标原点，轴于点C，点D为上的一动点，点E为的中点，则线段长度的最大值为 ． 15．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ． 16．图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的的值为 ；记图1中小正方形的中心为点，，，图2中的对应点为点，，．以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ． 三、解答题 17．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 18．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 19．如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 20．如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 21．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 22．如图，抛物线与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A，连接，把所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P在直线l上．    (1)求抛物线顶点A的坐标． (2)若是的外接圆，试求的半径． (3)当时，求点P到圆心I的距离． 23．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若M是第一象限内线段上任意一点（不与B，C重合），轴于点H，与二次函数的图象交于点P，连接．设点M的横坐标为t，当是直角三角形时，求点M的坐标． （3）如图，若M是直线上任意一点，N是x轴上任意一点，且．以N为旋转中心，将逆时针旋转，使M落在Q点连接，则线段的最值为_______．（直接写出答案） 24．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，过点A作轴，作直线AC平行x轴，点D是二次函数的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）． (1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示） (2)求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式． (3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，作点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值． ②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆（一） （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【例1】（2023秋•下城区校级月考）已知的半径是，则中最长的弦长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆中最长的弦为直径然后求解． 【解答】解：的半径是， 中最长的弦长直径． 故选：． 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念是解决问题的关键． 【变式1】（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆的定义分析即可． 【解答】解：根据题意得，图形为圆． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆，记作“”，读作“圆”是解题的关键． 【变式2】（2023秋•西湖区校级期中）已知圆的面积为，若点在圆上，则　5　． 【分析】根据的面积为，可以求得的半径，再根据点在圆上，即可得到的长． 【解答】解：设的半径为， 的面积为， ， 解得：， 点在圆上， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出圆的半径． 【变式3】（2023•海曙区模拟）一个圆可以把平面分成两个部分，两个圆可以分成三个或四个部分，问7个圆最多可以将平面分成 　44　个部分． 【分析】先求出前几个的值，再找出规律求解． 【解答】解：1个圆最多可以把平面分成2个部分， 2个圆最多可以分成4个部分， 3圆可以把平面分成8个部分， 4个圆可以分成14个部分， ， 7个圆最多可以将平面分为：， 故答案为：44． 【点评】本题考查了圆的认识，找到变化规律是解题的关键． 【变式4】（2023秋•兰溪市校级期中）如图所示，为的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，．求的度数． 【分析】连接，如图，由，得到，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质得到，加上，然后再利用三角形外角性质即可计算出． 【解答】解：连接，如图， ， 而， ， ， ， 而， ， ． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【例2】（2023秋•新昌县期末）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，长为半径作．若点的坐标为，则点与的位置关系是　　 A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【分析】根据点的坐标得出的长即可得出结论． 【解答】解：点的坐标为， ， 又以原点为圆心，长为半径作． 长等于圆的半径长， 点在圆上， 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，正确得出的长是解题的关键． 【变式1】（2023秋•缙云县期末）的半径为，点在外，则的长可以是　　 A． B． C． D． 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：的半径为，点在外， 点到圆心的距离大于圆的半径， 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内． 【变式2】（2023秋•西湖区校级期中）已知的半径为3，若点在圆上，则 　　3（填“”、“ ”、“ ” ． 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【解答】解：点在圆上，的半径为3， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 【变式3】（2023秋•萧山区期中）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结．则线段的最大值是 　3.5　． 【分析】当、、三点共线，且点在之间时，最大，而是的中位线，即可求解． 【解答】解：令，则， 故点， 点 ， 设圆的半径为，则， 而点、分别为、的中点，故是的中位线， 当、、三点共线，且点在之间时，最大，此时最大， 则， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定的最大值，进而求解． 【变式4】（2022秋•衢江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． （1）圆心的坐标为　　； （2）判断点与的位置关系． 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断； 【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是 故答案为：2，0． （2）圆的半径， 线段， 所以点在内． 【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． 经典题型汇编 题型一.圆的基本概念辨析 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．相等的圆心角所对弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦，弦心距的关系，垂径定理，熟记定理是解本题的关键． 【详解】解：∵同圆或等圆中，相等的圆心角所对弦相等， ∴A选项的结论不正确，不符合题意； ∵同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的优弧或劣弧分别相等， ∴B选项的结论不正确，不符合题意； ∵平分弦（不是直径）的直径平分这条弦所对的两条弧， ∴C选项的结论不正确，不符合题意； ∵同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等， ∴D选项的结论正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，为抛物线上的动点，点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接交与点，首先得出当点N运动到点时，有最小值，即的长度，，当的长度最小时，取得最小值，然后根据题意得到，表示出，然后利用二次函数的性质求出当时，取得最小值，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接交与点， ∵点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点， ∴当点N运动到点时，有最小值，即的长度， ∵ ∴当的长度最小时，取得最小值， ∵点，为抛物线上的动点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向上 ∴当时，取得最小值， ∴，负值舍去， ∴此时 ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质和圆综合题，勾股定理，解题的关键是正确表示出． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，等腰三角形的性质，连接，由 ，得到，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质得到，即可求解，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：连接，   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二.圆的周长和面积问题 4．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】C 【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可． 【详解】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键． 5．（20-21九年级上·浙江温州·阶段练习）已知的面积为．若点在内，那么线段的长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知可以求得⊙O的半径，再根据题意可以得到d的取值范围．　 【详解】解：由圆的面积公式可以得到圆半径为：， 所以由题意知线段OP的长度d的取值范围是：0<d<5 故答案为：0<d<5． 【点睛】本题考查圆的综合应用，灵活应用圆面积计算公式及正确理解圆心到圆内点的距离是解题关键． 6．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、、均在格点上，在网格中将点按下列步骤移动： 第一步：点绕点顺时针旋转得到点 第二步：点绕点顺时针旋转得到点； 第三步：点绕点顺时针旋转回到点； （1）请用圆规画出点→→→经过的路径； （2）所画图形是______对称图形； （3）写出所画图形围成的面积．（结果保留） 面积： 【答案】（1）见解析；（2）轴；（3）． 【分析】（1）根据移动步骤要求画出轨迹即可； （2）根据轴对称图形的定义，即可判定； （3）利用圆的面积公式，求解即可． 【详解】解：（1）点→→→经过的路径如图所示． （2）根据图形可得，该图形是轴对称图形； 故答案为：轴． （3）由题意可得： 面积为：(πr2−BD1⋅BD2)×4=(π×42－×4×4)×4=16π−32 故答案为：． 【点睛】此题主要考查对轴对称图形的理解以及圆周长和面积的运用，熟练掌握，即可解题． 题型三.判断点与圆的位置关系 7．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如果圆O的半径为，点P到圆心O的距离为，那么点P与圆O的位置关系是（    ） A．点P在圆O外 B．点P在圆O上 C．点P在圆O内 D．不能确定 【答案】C 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，掌握当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．比较点P到圆心O的距离与圆O的半径，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，点P到圆心O的距离小于圆O的半径， 点P在圆O内， 故选：C． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）． 【答案】圆外 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题的关键． 【详解】解：点到圆心的距离， 点在外． 故答案为：圆外． 9．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．并建立如图所示的直角坐标系，则： (1)请在图中标出的外接圆的圆心P的位置，并填写：圆心P的坐标：P（______，______） (2)请画出，并判断点与圆的位置关系是___________． 【答案】(1) (2)图见解析，点在圆上 【分析】本题考查了三角形的外接圆，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出、的中垂线，两直线的交点即为点P； （2）由（1）知圆心P的坐标为，以为半径画圆，如图，由图可知与圆的位置关系． 【详解】（1）解：如图所示，分别作出、的中垂线，两直线的交点即为点P，圆心P的坐标为； （2）解：由（1）知圆心P的坐标为，以为半径画圆，如图，由图可知与圆的位置关系是点在圆上． 题型四.利用点与圆的位置关系求半径 10．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）点P到圆O的圆心的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r可能是（　　） A．7 B．8 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵点P到圆O的圆心的距离为6，点P在圆O外， ∴圆O的半径小于6， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 11．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）同一平面内，一个点到圆的最小距离为6，最大距离为8，则该圆的半径为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解题的关键．点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，分此点在圆内和此点在圆外两种情况，分别求出半径即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大和最小距离． 可分两种情况讨论： ①当此点在圆内时，如图所示，    由题意可知，，， ∴半径； ②当此点在圆外时，如图所示，    由题意可知，， ∴半径． 综上所述，圆的半径为1或7． 故答案为：1或7． 12．（20-21九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点． （1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何? （2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 【答案】（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4 【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案； （2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M， ∴AB=，CM=AB=， ∵以点C为圆心，3为半径作⊙C， ∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外； （2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外， 3＜r＜4， 故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键． 试题练习 一、单选题 1．已知的半径为6，点P在外，则的长可以为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【分析】 本题考查了点和圆的位置关系；根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案． 【详解】解：∵O的半径为6，点P在外， ∴， 故选：D． 2．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，熟知直径是圆内最长的弦是解题的关键．根据直径是圆中最长的弦进行求解即可． 【详解】解：∵是半径为6的圆的一条弦， ∴， ∴的长不可能是15； 故选D． 3．下列命题不正确的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过三点能作一个圆 C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 【答案】B 【分析】考查确定圆的条件以及三角形外接圆的知识，根据圆的性质定理逐项排查即可．掌握三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点是解题的关键． 【详解】解：A、过一点有无数个圆，正确，不符合题意； B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，选项错误，符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，正确，不符合题意； D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，正确，不符合题意； 故选：B． 4．已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径， 所以弦长≤10． ∴的长度不可能是11； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10． 5．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 6．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 7．如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点A，B，C中只有1个点在圆内，， ∴在圆内的点为点B， ∴， 故选：B． 8．如图，的对角线相交于点O，E是以A为圆心，以4为半径为圆上一动点，连接，点P为的中点，连接，若，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的综合问题，连接，由题意得，，由点P为中点得知随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、2为半径的圆，据此解答可得．掌握平行四边形的性质、中位线定理及点的运动轨迹问题是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是平行四边形， ，， ∵点P为中点， ，且， ∴随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、2为半径的圆， 则当与交于点P时，最大，为， 故选：B． 9．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图内接于一个半径为5的半圆，，分别以，，为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AC=a，BC=b，由勾股定理可求得a2+b2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab，进而可求得△ABC的面积． 【详解】解：设AC=a，BC=b，由题意，AB=10， ∴a2+b2=102， 由图可知，空白部分面积为（）， 阴影部分面积= = = = ， ∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍， ∴=3（）， 解得：， ∴△ABC==， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键． 10．如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如下图， 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点在内． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定圆心的位置是解题的关键． 二、填空题 11．已知的半径为2，点P为外一点，则的长可以为 （写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵的半径为2，点在外， ∴， ∴的长可以是4． 故答案为：4（答案不唯一）． 12．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 13．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 14．如图，已知点，为平面直角坐标系内两个点，以点A为圆心的经过坐标原点，轴于点C，点D为上的一动点，点E为的中点，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，，，取的中点为， 连接，，可求得，，根据三角形的三边关系即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接，，，取的中点为， 连接，． 根据题意，得 ， ∴． 根据题意，得 ． ∵为斜边的中点， ∴． ∵的中点为，的中点为， ∴． ∴，即 ． ∴长度的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，圆的概念，中位线定理，三角形的三边关系，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，能根据题意绘制辅助线是解题的关键． 15．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可知点在以为圆心，2为半径的半圆上，则点在以为圆心，1为半径的半圆上，的最小值为，求出即可求解． 【详解】解：如图，作直线，则为抛物线的对称轴，取的中点，连接，， 令，则， 解得或， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， ∵， ∴顶点， ∴，， 由中位线的性质可得：， ∴点在以为圆心，1为半径的半圆上运动， 连接交于， ∴， 如图，当A、G、F三点共线时，即与重合，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的的值为 ；记图1中小正方形的中心为点，，，图2中的对应点为点，，．以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ． 【答案】 【分析】（1）先求出剪拼后大正方形的面积，得到其边长，再结合图2，求出图1中长方形的长边除去长为d部分的线段后，剩下的线段长刚好为大正方形的边长，最后用图1中的长方形的长减去图2中大正方形的边长即可完成求解； （2）结合两图分别求出对应线段的长，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出O点到、、之间的距离即可确定最小圆的半径，即可完成求解． 【详解】解：∵图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成， ∴每个小正方形边长为2，图1和图2中整个图形的面积为， 所以图2中正方形的边长,如下图3所示； ∴图1中，； 分别连接、、，并分别过点、、向大正方形的对边作垂线，得到如图所示辅助线， 综合两图可知，,,,O点到大正方形各边距离为， ∴，, ∴; 综合两图可知：,,, ∴,, ∴； 继续综合两图可知：, ∴, ∴, ∵， ∴距离O点最远， ∴最小圆的半径应为， ∴圆的面积为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正方形和长方形的基础知识、线段之间的和差关系、完全平方公式、勾股定理、圆的面积公式等内容，解决本题的关键是理解题意、读懂图形、找出两个图形之间的关联、能灵活运用勾股定理等公式求解线段的长等；本题要求学生对图形具有一定的感知能力，有较强的计算能力等，该题蕴含了数形结合等思想方法． 三、解答题 17．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 18．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查抛物线的对称性，根据题意，可知，抛物线的对称轴为的中垂线，即，点关于对称轴对称，即可；利用对称性求出对称轴，是解题的关键 （2）本题考查圆的确定，根据圆心为线段的中垂线的交点，即可得出结果．掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵经过三点有一条抛物线，， ∴抛物线的对称轴为：， ∴当关于对称轴对称时，满足题意， ∴； 故答案为：； （2）∵经过三点有一个圆，圆心为点，则点为线段的中垂线的交点， 如图：的中垂线的解析式为：，的中垂线的解析式为：， ∴当时，， ∴； 故答案为：． 20．如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【答案】(1)点A在上，点在内，点在外 (2)5 【分析】（1）各点到的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，所以当半径为5时，在上． 【详解】（1）如图，在中，，，， ， 在上， ， ， ， ， 在内， ， 在外； （2）在中，， 为的中点， ， 当的半径为5时，点在上； 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 21．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 22．如图，抛物线与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A，连接，把所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P在直线l上．    (1)求抛物线顶点A的坐标． (2)若是的外接圆，试求的半径． (3)当时，求点P到圆心I的距离． 【答案】(1) (2)圆的半径为； (3)点P到圆心I的距离为：． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本性质、一次函数的基本性质． （1）由抛物线顶点坐标公式即可求解； （2）由，即可求解； （3）当时，则，进而求解． 【详解】（1）解：令，则或， 即点， 则抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即点； （2）解：由圆和抛物线的性质知，点A、I共线且在的中垂线上， 设点，设圆的半径为r， 由得：， 解得：，； 即圆的半径为； （3）解：由（2）知，点，，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线l的表达式为：， 当时，则，    则， 解得：， 则点P的坐标为：或， 由点P、I坐标知，， 或， 即点P到圆心I的距离为：． 23．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若M是第一象限内线段上任意一点（不与B，C重合），轴于点H，与二次函数的图象交于点P，连接．设点M的横坐标为t，当是直角三角形时，求点M的坐标． （3）如图，若M是直线上任意一点，N是x轴上任意一点，且．以N为旋转中心，将逆时针旋转，使M落在Q点连接，则线段的最值为_______．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）或；（3）最小值为，最大值为 【分析】（1）根据A、B坐标，利用待定系数法求解； （2）求出BC表达式，分∠CPM=90°和∠PCM=90°两种情况分别求解； （3）作的外接圆⊙，连接，，，，过点作于点，过点作交的延长线于，分析出当Q，O′，B，三点共线时，BQ可取得最值，再求解． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：， ∴，得， ∴． （2）令，， ∴点坐标为， 设直线BC解析式为：， ，解得， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则轴，是等腰直角三角形， ∴． 设点坐标为， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴点坐标为， 当时，则， 过作于，则轴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴点坐标为， 综上所述，点坐标为或． （3）作的外接圆⊙，连接，，，，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作交的延长线于， ∵， ∴， ∵MN绕点逆时针旋转得到NQ， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形QKGN是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴当且仅当，，三点共线时，BQ取得最值， 即， ∴， ∴线段BQ的最小值为，线段BQ的最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，还涉及外接圆的性质，待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，难度较大，解题时要结合图形，画出辅助线，解题的关键是根据三点共线得到取最值时的情况． 24．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，过点A作轴，作直线AC平行x轴，点D是二次函数的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）． (1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示） (2)求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式． (3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，作点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值． ②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式． 【答案】(1)2b； (2)4；； (3)①．②y=x+或． 【分析】（1）令y=0，解方程即可； （2）设w=，根据OD=2b，BD=4-2b，构造二次函数求解即可； （3）①点N在以P为圆心，以2为半径的圆上运动，当P、N、A同侧且共线时，AN最小，用勾股定理计算即可． ②分点M在对称轴的左侧和右侧，两种情形求解． 【详解】（1）令y=0，得， 解得x=0或x=2b， ∵b＞0， ∴x=0舍去， ∴点D的横坐标为2b． （2）设w=， ∵点D的横坐标为2b，A（4，m）， ∴OD=2b，BD=4-2b， ∴w= =2b(4-2b) =， ∵-4＜0， ∴当b=1时，w有最大值，最大值为4， 此时抛物线的解析式为． （3）①∵点A（4，m）在抛物线上， ∴m==4， ∴OC=4， ∵P为OC的中点， ∴OP=PC=2， ∵点C关于PM的对称点N， ∴OP=PC=PN=2， ∴点N在以P为圆心，以2为半径的圆上运动， 如图所示，当P、N、A同侧且共线时，AN最小， ∵AC=4，PC=2， ∴PA=， ∴AN的最小值为PA-PN=． ②当点N落在抛物线的对称轴上，且M在对称轴的左侧，如图所示， 设对称轴与AC交于点H，交x轴于点Q，过点P作PG⊥HN，垂足为G，则QG=2， ∵PC=PN=2，PG=1， ∴NG=， ∴HN=2-，点N（1，2+）， 设CM=a，则MN=a，MH=1-a， ∴， 解得a=4-2， ∴点M（4-2，4）， 设直线MN的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为y=x+； 当点N落在抛物线的对称轴上，且M在对称轴的右侧，如图所示， 设对称轴与AC交于点T，交x轴于点R，过点P作PK⊥TN，垂足为K，则KT=KR=2， ∵PC=PN=2，PK=1， ∴KR=， ∴NR=2-，点N（1，2-），TN=2+ 设CM=b，则MN=b，MT=a-1， ∴， 解得b=4+2， ∴点M（4+2，4）， 设直线MN的解析式为y=mx+q， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为y=x+； 综上所述，直线MN的解析式为y=x+或y=x+． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，圆的基本性质，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，抛物线的性质，灵活运用对称的思想和勾股定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$