第06讲 三角形全等的判定（二） （2个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第06讲 三角形全等的判定（二） （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【例1】（2022秋•义乌市期中）如图，在中，是的平分线，，，则为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•江北区校级期中）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是　　． A．24 B．27 C．30 D．33 【变式2】（2022秋•嵊州市期中）在中，，平分，，，则点到的距离为 　　． 【变式3】（2023秋•文成县期中）如图，是的角平分线，，，点在上，连接，则的最小值为　　． 【变式4】（2023秋•金东区期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若的面积为70，，，求的长． 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【例2】（2023秋•余杭区月考）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，交于点，若，则的周长为　　 A．14 B．12 C．11 D．19 【变式1】（2022秋•海曙区期末）如图，在中，，，是斜边上的高线，是的角平分线，是边的垂直平分线，分别交边，边于点，点．若，则　　． 【变式2】（2023秋•椒江区校级月考）如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•东阳市月考）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 　　． 【变式4】（2023秋•临海市期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为． （1）求的长； （2）分别连接，，，若的周长为，求的长． 经典题型汇编 题型一.角平分线性质定理及证明 1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在下列命题中，是假命题的是（    ） A．全等三角形的对应边相等，对应角相等 B．三角形的三条高必交于一点 C．三角形任意一边的两个端点到这边上的中线的距离相等 D．三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三边的距离一定相等 2．（19-20八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（19-20八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在△ABC中，如果BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A=n°. （1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程. （2）当∠BPC=125°时，∠A= . （3）当n=60°时，EB=7，BC=12，DC的长为 . 题型二.角平分线的性质定理 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线，若，，则的面积为 ． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，    (1)求证：； (2)若平分，且，求的度数． 题型三.角平分线的判定定理 7．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点D是边上一点，，若点D到的距离为3，则下列关于点D的位置描述正确的是（  ） A．点D是的中点 B．点D是平分线与的交点 C．点D是垂直平分线与AC的交点 D．点D与点B的距离为5 8．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是 ． 9．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图所示，四边形中，，M是的中点，平分，连接． (1)是否平分？请证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 题型四.线段垂直平分线的性质 10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，中，是的垂直平分线，，，则的周长是 ． 12．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为．    (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为，求的长． 题型五.线段垂直平分线的判定 13．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，点是边的中点，过点作的垂线交于点，已知，的周长为，则的周长是（  ） A．6 B． C．8 D． 14．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．             15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证： (1)； (2)垂直平分． 题型六.作已知线段的垂直平分线 16．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，直线是斜边的垂直平分线交于．若，，则的周长为    17．（21-22八年级上·浙江温州·期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若与的周长之差为4，则AE的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）按以下要求尺规作图：如图，已知点A、B、C为三个村庄，线段AB、AC、BC为三条公路． （1）在图1的△ABC内部寻找满足到3条公路距离相等的加油站P．    （2）在图2的△ABC内部寻找满足到3个村庄距离相等的自来水厂Q．    试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．一个角的补角是钝角 C．同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 2．（20-21八年级上·浙江金华·期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（　　） A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上 C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 4．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 5．（八年级上·浙江杭州·期中）如图，、、表示三个小城，相互之间有公路相连，现要在内建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（    ）．    A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三边上的高交点处 D．三边的中垂线的交点处 6．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，连接，交于点P．若，的周长为，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（浙江温州·期末）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 8．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，于点，.若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分．其中正确的个数为（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，分别以为边长在同侧作三个正方形，点落在边上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C． D．正方形 二、填空题 11．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    12．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，垂直平分于，垂直平分于，若，，，则的周长为 ． 13．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．若BE=a，CE=b，则DE= （用含a、b的代数式表示）． 14．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是 ． 15．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△ABC 中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么AB= 16．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为    三、解答题 17．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，D是外的一点，且． 求证：AD垂直平分BC． 18．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，点D是上的一点，连．设，当分别满足下列条件时，求k的值． (1)为边上的中线． (2)为的平分线． 19．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，求作，使，，BC边上的中线为m． 20．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 21．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，的周长等于40，，，AB的垂直平分线DE交AC于D，求的周长．    22．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 23．（19-20八年级上·浙江·阶段练习）如图，，. (1)请判断和位置关系，并说明理由； (2)的平分线与的平分线交于，求的度数. (3)在(2)的条件下，是线段上任意一点(不同于、)，作交于，作与的平分线交于点，求的度数.      24．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 三角形全等的判定（二） （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【例1】（2022秋•义乌市期中）如图，在中，是的平分线，，，则为　　 A． B． C． D． 【分析】作于，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：作于，于， 是的平分线， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键． 【变式1】（2021秋•江北区校级期中）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是　　． A．24 B．27 C．30 D．33 【分析】过点作于，于，连接，如图，根据角平分线的性质得，，由于，所以根据三角形的面积公式可计算出的面积． 【解答】解：过点作于，于，连接，如图， 平分，，， ， 同理可得， ， 的周长是18， ． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 【变式2】（2022秋•嵊州市期中）在中，，平分，，，则点到的距离为 　3　． 【分析】过作于，根据角平分线性质求出，即可得出答案． 【解答】解：如图，过作于， ，， ， ，平分， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【变式3】（2023秋•文成县期中）如图，是的角平分线，，，点在上，连接，则的最小值为　3　． 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据垂线段最短得到答案． 【解答】解：作于， 是的角平分线，， ， 则的最小值为， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式4】（2023秋•金东区期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若的面积为70，，，求的长． 【分析】（1）由角平分线的性质直接得出结论即可； （2）先算出三角形的面积，再得出三角形的面积，高，从而直接算出． 【解答】（1）证明：，， ， 是的角平分线， ； （2）解：是的角平分线，，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质、面积法求线段长度，难度中等．熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【例2】（2023秋•余杭区月考）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，交于点，若，则的周长为　　 A．14 B．12 C．11 D．19 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算可求解． 【解答】解：垂直平分线段， ， ，， 的周长为：， 故选：． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】（2022秋•海曙区期末）如图，在中，，，是斜边上的高线，是的角平分线，是边的垂直平分线，分别交边，边于点，点．若，则　　． 【分析】连接，如图，先证明，再利用是的角平分线得到，接着根据线段垂直平分线的性质得到，则，于是可判断为等腰直角三角形，所以． 【解答】解：连接，如图， ，是斜边上的高线， ，， ， ， ， 是的角平分线， ，即， 是边的垂直平分线， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【变式2】（2023秋•椒江区校级月考）如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可． 【解答】解：， ， 、分别是线段、的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出和是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于． 【变式3】（2023秋•东阳市月考）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 　18　． 【分析】根据线段垂直平分线得出，，根据的周长求出，求出的周长，代入求出即可． 【解答】解：的垂直平分线交于点，垂足为，， ，， 的周长为24， ， ， 的周长是， 故答案为：18． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能求出的周长是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 【变式4】（2023秋•临海市期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为． （1）求的长； （2）分别连接，，，若的周长为，求的长． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出，，由的周长为，得到，即可求出； （2）由线段垂直平分的性质得到，由的周长，，即可求出，得到． 【解答】解：（1）垂直平分， ， 同理，得， 的周长为， ， ； （2）连接，，． 垂直平分， ． 同理，得， 的周长，， ， ． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到，，． 经典题型汇编 题型一.角平分线性质定理及证明 1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在下列命题中，是假命题的是（    ） A．全等三角形的对应边相等，对应角相等 B．三角形的三条高必交于一点 C．三角形任意一边的两个端点到这边上的中线的距离相等 D．三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三边的距离一定相等 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质与判定，高的定义，三角形中线的定义，角平分线的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 全等三角形的对应边相等，对应角相等，故该选项真命题，不符合题意； B. 三角形的三条高所在的直线必交于一点，故该选项是假命题，符合题意； C. 三角形任意一边的两个端点到这边上的中线的距离相等， 如图， ∵为的中线， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 故该选项是真命题，不符合题意； D. 三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三边的距离一定相等，故该选项是真命题，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，高的定义，三角形中线的定义，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 2．（19-20八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解； ②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解； ③由②即可得解； ④由②即可得解． 【详解】解：①在AE取点F，使． 在Rt△BCE与Rt△FCE中， ∴， ∴△BCE≌△FCE， ，， ， ， ， ，故①正确； ②AB上取点F，使，连接CF． 在与中，，，， ， ． 垂直平分BF， ， ． 又， ， ，故②正确； ③由②知，，， 又， ，故③正确； ④易证， ， 又， ， ，故④正确． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 3．（19-20八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在△ABC中，如果BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A=n°. （1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程. （2）当∠BPC=125°时，∠A= . （3）当n=60°时，EB=7，BC=12，DC的长为 . 【答案】（1）∠BPC=90°+n，推理过程见解析；（2）70°；（3）5. 【分析】（1）根据角平分线的性质得∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，再根据三角形内角和定理求得∠A=-180°+2∠BPC，即可求证∠BPC=90°+n； （2）根据（1）可知∠BPC=90°+n，把∠BPC=125°代入原式求出n即为∠A的度数； （3）当n=60°时，即可求出∠BPC=120°，作辅助线在CB上截取CG=CD，可证出△CPG≌△PCD（SAS），即可得出∠DPO=∠GPC，PD=PG，再可证出△BEP≌△BGP，即可得出BE=BG，即可求出DC． 【详解】解：（1）∵DB、CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB. ∵∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)， ∴∠A=180°-2(∠PBC+∠PCB)， ∴∠A=180°-2(180°-∠BPC)， ∴∠A=-180°+2∠BPC， ∴2∠BPC=180°+∠A， ∴∠BPC=90°+ ∠A, ∴∠BPC=90°+n （2）由（1）知∠BPC=90°+ ∠A ∴当∠BPC=125°时，∠A =2×（125°-90°）= 70°； （3）在CB上截取CG=CD，连接GP， CE平分 ∴∠GCP=∠PCD， 在△PCD和△PCG中， ∴△PCD≌△CGP（SAS）， ∴∠GPC=∠CPD，PG=PD， 由∠BPG+∠GPC=120°， 又∵∠BPG+2∠GPC=180°， 解得：∠BPG=∠GPC=∠FPC=60° 在△BEP和△BGP中， ∴△BEP≌△BGP（ASA）， ∴BE=BG， ∴CG=BC-BG=BC-BE=12-7=5 ∴CD=CG=5． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形全等的判定与性质，难度较大． 题型二.角平分线的性质定理 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    5．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查角平分线的性质．过作于，由角平分线的性质得到，而，由三角形面积公式，即可得到的面积． 【详解】解：过作于， 是的角平分线，， ， ， 的面积． 故答案为：5． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，    (1)求证：； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】（1）利用平行线的性质得出，然后利用证明 ，即可证明． （2）设，则，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，由三角形外角定理得出，再由三角形内角和定理求得，进一步即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ （2）设，则， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定以及性质，角平分线的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键． 题型三.角平分线的判定定理 7．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点D是边上一点，，若点D到的距离为3，则下列关于点D的位置描述正确的是（  ） A．点D是的中点 B．点D是平分线与的交点 C．点D是垂直平分线与AC的交点 D．点D与点B的距离为5 【答案】B 【分析】作于E，连接，利用角平分线的判定定理可证明是的角平分线，即可作答． 【详解】解：如图所示：作于E，连接， ∵，点D到的距离为3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， 即点D是的角平分线与的交点，故B项正确； 其余选项，利用现有条件均无法得出， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明是的角平分线，是解答本题的关键． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设，，根据三等分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可． 【详解】设，， ∵点是与三等分线的交点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点N作于G，于E， 于F， ∵点是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 故答案为：50． 9．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图所示，四边形中，，M是的中点，平分，连接． (1)是否平分？请证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)平分；理由见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）由题意过点M作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分； （2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 过点M作，垂足为E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点，， ∴， ∵，， ∴平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质和它的逆定理及平行线的性质．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型四.线段垂直平分线的性质 10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，中，是的垂直平分线，，，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， 故答案为：12． 12．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为．    (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，（1）由线段垂直平分线的性质推出，，由的周长为，得到，即可求出；（2）由线段垂直平分的性质得到，由的周长，，即可求出，得到．由线段垂直平分线的性质得到，，是解题的关键． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 同理，得， 的周长为， ， ； （2）如图，连接，，，    垂直平分， ． 同理，得， 的周长，， ， ． 题型五.线段垂直平分线的判定 13．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，点是边的中点，过点作的垂线交于点，已知，的周长为，则的周长是（  ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】由题意可知：垂直平分,故，结合，的周长为，即可得出答案． 【详解】解：∵点是边的中点， , ∴垂直平分, ∴， ∵，的周长为， ∴, ∴, ∴的周长是． 故选：C． 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键． 14．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．             【答案】3360 【分析】先证明是的垂直平分线，再利用对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半即可求解． 【详解】∵， cm ∴是的垂直平分线． ∴ ∴ cm2 故答案是3360． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和对角线互相垂直的四边形的面积公式，证明对角线垂直和记忆公式是解题的关键． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定； （1）根据直接证明； （2）根据（1）的结论可得，,即可得证垂直平分． 【详解】（1）在和中， ， ∴； （2）∵， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型六.作已知线段的垂直平分线 16．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，直线是斜边的垂直平分线交于．若，，则的周长为    【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，由此可得的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵直线是斜边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 17．（21-22八年级上·浙江温州·期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若与的周长之差为4，则AE的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，AC=5，代入计算即可． 【详解】根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线， ∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4， ∴AC=5， ∴10-2AE=4， 解得AE=3， 故选C． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键． 18．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）按以下要求尺规作图：如图，已知点A、B、C为三个村庄，线段AB、AC、BC为三条公路． （1）在图1的△ABC内部寻找满足到3条公路距离相等的加油站P．    （2）在图2的△ABC内部寻找满足到3个村庄距离相等的自来水厂Q．    【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析． 【分析】（1）根据角平分线的性质，分别作出∠BAC和∠ACB的角平分线，交点P即为加油站位置； （2）根据相等垂直平分线的性质，分别作出线段AB和BC的垂直平分线，交点Q即为自来水厂的位置． 【详解】（1）如图，分别作∠BAC和∠ACB的角平分线，交于点P，点P即为所求；    （2）如图，分别作出线段AB和BC的垂直平分线，交于点Q，点Q即为所求．    【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握角平分线的性质及垂直平分线的性质是解题关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．一个角的补角是钝角 C．同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质，补角及角平分线的定义．根据对顶角，平行线的性质，补角及角平分线的定义依次判断各选项即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项不符合题意； B、一个钝角的补角是锐角，本选项不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，缺少条件“两直线平行”，本选项不符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项符合题意； 故选：D． 2．（20-21八年级上·浙江金华·期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（　　） A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上 C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：∵PA=PB， ∴P点一定在边AB的垂直平分线上， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定，掌握点到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线点性质，得到，再根据三角形的面积公式，进行求解即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 5．（八年级上·浙江杭州·期中）如图，、、表示三个小城，相互之间有公路相连，现要在内建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（    ）．    A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三边上的高交点处 D．三边的中垂线的交点处 【答案】D 【分析】 【详解】到 三个顶点距离相等的点在三角形三角的中垂线的交点处． 故选 D． 6．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，连接，交于点P．若，的周长为，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等直接求解即可得到答案； 【详解】解：由作图可得， 垂直平分， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 7．（浙江温州·期末）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理判断作答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上， 如图，    三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处， 故选：D． 8．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，于点，.若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得B，D关于直线AC对称，根据对称性可得阴影部分面积等于△ABC的面积． 【详解】∵AC⊥BD，BE=DE， ∴B，D关于直线AC对称， 根据对称性可得，阴影部分面积等于四边形ABCD面积的一半，即△ABC的面积． ∴S阴影=S△ABC= 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，根据对称性，将阴影部分面积转化到同一侧组成三角形的面积是解题的关键． 9．（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分．其中正确的个数为（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由证明得出，即可判断①；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，③正确；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故①正确； ， ， 由三角形的外角性质得：， ， 故②正确； 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， 平分， 故③正确； 综上所述，正确的是①②③； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，分别以为边长在同侧作三个正方形，点落在边上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C． D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明，，．延长交于，根据证明，得到，的面积的面积，得到，因此和H重合，由推出，得到，的面积的面积，又，得到，由推出，得到的面积的面积，于是得到阴影面积的和的面积的2倍． 【详解】解：延长交于， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，的面积的面积， ∵， ∴， ∴和H重合， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，的面积的面积， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积的面积， ∴阴影面积的和的面积的2倍， ∴要求图中阴影部分的面积之和，只需知道的面积． 故选：B． 二、填空题 11．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，垂直平分于，垂直平分于，若，，，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，利用线段的垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，，据此利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：垂直平分线段， ， 垂直平分线段， ， 的周长， 故答案为：15． 13．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．若BE=a，CE=b，则DE= （用含a、b的代数式表示）． 【答案】2a+b/b+2a 【分析】延长EB至 G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明△GAC≌△EAD，则DE=CG，即可求解． 【详解】解：如图，延长EB至G，使BE=BG， ∵∠ABC=90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG=AE，∠GAB=∠BAE=∠DAC， ∵2∠BAE=∠GAE， ∴∠GAE=∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC=∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴DE=CG， ∵BE=a，CE=b， ∴DE=CG=CE+GE=CE+2BE=2a+b， 故答案为：2a+b． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法． 14．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点O作于点E，过点O作于点F，连接，根据角平分线的性质可得，进一步求的面积即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长为18， ∴的面积 ， 故答案为：27． 15．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△ABC 中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么AB= 【答案】12 【分析】根据垂直平分线定理得出DA=DB，再由三角形周长公式结合等量代换得BC+CA=22，由已知条件求得AB长. 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∵C△BDC=BC+CD+DB=22， 即BC+CD+DA=BC+CA=22， ∵BC=10，AB=AC， ∴AC=22-10=12， 即AB=12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查线段垂直平分线的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 16．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为    【答案】/55度 【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解． 【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点、、，    平分，，， ， 同理可得，， ， ，， 平分， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，D是外的一点，且． 求证：AD垂直平分BC． 【答案】证明见解析 【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴点A在BC的垂直平分线上， ∵， ∴点D在BC的垂直平分线上， ∴A、D都在BC的垂直平分线上， ∴AD垂直平分BC． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键． 18．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，点D是上的一点，连．设，当分别满足下列条件时，求k的值． (1)为边上的中线． (2)为的平分线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可； （2） 过点作于点, 于点,根据角平分线性质得到，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）∵为边上的中线, ， ， ， ， （2）如图, 过点作于点, 于点, ∵为的平分线， ， ，, ， ， ， ， 【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键. 19．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，求作，使，，BC边上的中线为m． 【答案】答案见解析． 【分析】首先画射线BN，再在BN上依次截取BC=b，然后作BC的中垂线交BC于D点，以D为顶点，m长为半径画弧，再以B为顶点，a长为半径画弧，两弧交点就是A点位置，再连接AB、AC即可． 【详解】解：如图所示： 先画射线BN，再在BN上依次截取BC=b，然后作BC的中垂线交BC于D点，以D为顶点，m长为半径画弧，再以B为顶点，a长为半径画弧，两弧交点就是A点位置，再连接AB、AC，即△ABC即为所求． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是正确确定A的位置． 20．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，得，再根据，利用三角形内角和定理可证明结论； （2）延长，交于点，利用证明，得，再根据证明，得，则，从而解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ； （2）解：如图，延长，交于点， 在与中， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， ． 21．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，的周长等于40，，，AB的垂直平分线DE交AC于D，求的周长．    【答案】26 【分析】由AB的垂直平分线DE交AC于D，可得AD=BD，即可求得△BDC的周长等于AC+BC，利用的周长等于40，，可求出AC的长，则可求出结果． 【详解】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D， ∴AD=BD， 又∵的周长等于40，，， ∴， ∴的周长=． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定，熟悉相关性质定理是解题的关键． 22．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分；    （3）解：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 23．（19-20八年级上·浙江·阶段练习）如图，，. (1)请判断和位置关系，并说明理由； (2)的平分线与的平分线交于，求的度数. (3)在(2)的条件下，是线段上任意一点(不同于、)，作交于，作与的平分线交于点，求的度数.      【答案】（1）CD⊥AB，理由见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）利用等量代换得出∠ABO+∠OCD=90°，说明CD⊥AB即可； （2）利用角平分线的性质，邻补角的意义以及三角形的内角和定理在△AFD中解决问题即可； （3）利用角平分线的性质，三角形的内角和，四边形的内角和解决问题即可． 【详解】CD⊥AB. 如图， 延长CD交AB于点P， ∵ ∴∠ODC+∠OCD=90°， ∵ ∴∠ABO+∠OCD=90°， ∴∠CPB=180°−(∠ABO+∠OCD)=90° ∴CD⊥AB. （2）∵DE平分∠ADC，AF平分∠OAB， ， ， ， ∵ ∴， ∴在△ADF中， （3）∵ ∴， ∵与的平分线交于点 ∴ . 【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂线，三角形的外角性质，四边形的内角和定理，角平分线的性质.（1）中能正确画出辅助线是解题关键；（2）中能考虑到利用△AFD的内角和，并正确表示出和是解题关键；（3）中能表示出四边形DNFP的其它三个角是解题关键. 24．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．    【答案】（1）（2）见解析（3），见解析 【分析】（1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可． （2）延长到点G使，再连接, 证明，运用三角形三边关系定理计算即可． （3）延长到点M使，连接，证明，构造半角模型证明即可． 【详解】（1）∵边上的中线， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． （2）如图，延长到点G使，连接 ∵边上的中线， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接，则， 在中，， ∴， 故． （3）线段，，之间的数量关系是．证明如下： 如图，延长到点M使，连接 ∵， ∴，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线全等模型，三角形三边关系的应用及全等三角形的判定与性质，熟练掌握模型，活用模型是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$