第06讲 圆 （2个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第06讲 圆 （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【例1】（2022秋•姑苏区期中）如图，的弦、半径延长交于点，．若，则的度数是　　． 【变式1】（2022秋•射阳县校级期中）如图，在中，，．若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的半径为　　 A． B．8 C．6 D．5 【变式2】（2022秋•启东市校级月考）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的　　 A．直径 B．半径 C．周长 D．面积 【变式3】（2023秋•宿迁期中）到点的距离等于4的点的集合是 　　． 【变式4】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆的直径，半径，为弧上一点，，，垂足分别为、，求的长． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【例2】（2023秋•亭湖区校级期中）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为　　 A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 【变式1】（2022秋•东海县校级月考）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为　　． 【变式2】（2023秋•东海县月考）如图，是半的直径，点在半上，，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为　　 A．1 B． C． D．3 【变式3】（2024•高新区模拟）已知点是半径为4的上一点，平面上一点到点的距离为2，则线段的长度的范围为 　　． 【变式4】（2023秋•吴江区校级月考）在矩形中，，． （1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 　　． 经典题型汇编 题型一．圆的认识 1．（2022秋•邗江区校级月考）已知的半径是，则中最长的弦长是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•东台市月考）到点距离为2的点的集合是 　　． 3．（2021秋•东台市月考）如图，的半径，为上一点，，，垂足分别为、，，求直径的长． 题型二．点与圆的位置关系 4．（2023秋•常州期中）在中，，，，以为圆心，为半径作，则点与的位置关系是　　 A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 5．（2023秋•梁溪区校级期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为的等圆所覆盖，此时的最小值为 　　；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为的等圆所覆盖，此时的最小值为 　　． 6．（2022秋•江阴市校级月考）平面直角坐标系中，点、、、在上． （1）在图中清晰标出点的位置； （2）点的坐标是 　　，的半径是 　　． 题型三.圆的周长和面积问题 7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 8．（21-22九年级上·江苏南京·期末）若一个半圆的长为6πcm，则其半径为 cm． 9．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 题型四.求圆弧的度数 10．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中，错误的有(　　) ①任意三点确定一个圆 ②相等的圆心角所对的弧相等 ③各边相等的圆内接多边形是正多边形 ④若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5－5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 12．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证： （1）四边形DBCF是平行四边形 （2） 试题练习 一、单选题 1．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知的直径为，若，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 3．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）下列命题中，正确的个数是（    ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若点在以为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．且 5．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）下列关于圆的说法中，正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．一个圆只有一个内接三角形 C．圆心相同的圆是同心圆 D．等弧所对的圆心角相等 6．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 8．（九年级上·江苏宿迁·期末）如图，两个半径都为1的圆形纸片，固定⊙O1，使⊙O2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止，则⊙O2上的点P运动的路径长为（　　） A．2π B．4π C．6π D．无法确定 9．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为5，P为上任意一点，E是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地    12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ． 13．（21-22九年级上·江苏淮安·期中）如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ． 14．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，为的直径，C是延长线上一点，且，的延长线交于点E，，则的度数为 ． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 16．（21-22九年级上·江苏镇江·期中）小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为 ． 17．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 18．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点，，都在上，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求的度数． 20．（19-20九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数． 22．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为4，P为上任意一点，C是的中点，则的最大值是 ．      23．（20-21九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长． 24．（九年级上·江苏盐城·期中）如图，矩形中，.作于点E，作于点F． (1)求、的长； (2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径r的取值范围． 25．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于半径为的和点，给出如下定义：若，则称为的“近外点”．    (1)当的半径为2时，点中，的“近外点”是___________； (2)若点是的“近外点”，求的半径的取值范围； (3)当的半径为2时，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的“近外点”，直接写出的取值范围． 26．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接于、、，求证：． 【初步探索】 小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明； （2）若圆的半径为6，则的最大值为________； 【类比迁移】 （3）如图，等腰内接于圆，，点是狐上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为6，试求周长的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆 （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【例1】（2022秋•姑苏区期中）如图，的弦、半径延长交于点，．若，则的度数是　　． 【分析】利用，结合等腰三角形的性质及内角和定理求解． 【解答】解：连接， ，， ， ，都是等腰三角形， 设的度数是，则， 则在中，利用三角形的内角和是180度，可得： ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确列方程求解是解题关键． 【变式1】（2022秋•射阳县校级期中）如图，在中，，．若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的半径为　　 A． B．8 C．6 D．5 【分析】连结，根据直角三角形斜边中线定理求解即可． 【解答】解：如图，连结， 是直角三角形斜边上的中线， ． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式2】（2022秋•启东市校级月考）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的　　 A．直径 B．半径 C．周长 D．面积 【分析】画圆时，圆规两脚分开的距离，即圆的半径，据此解答即可． 【解答】解：画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆的认识，认识平面图形，解答本题关键是抓住圆规画圆的方法． 【变式3】（2023秋•宿迁期中）到点的距离等于4的点的集合是 　以点为圆心，以4为半径的圆　． 【分析】根据圆的定义即可解答． 【解答】解：到点的距离等于4的点的集合是：以点为圆心，以4为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，以4为半径的圆． 【点评】本题考查了圆的定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合． 【变式4】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆的直径，半径，为弧上一点，，，垂足分别为、，求的长． 【分析】连接，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论． 【解答】解：连接． ，， ， 四边形是矩形， ． ． 【点评】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形为矩形． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【例2】（2023秋•亭湖区校级期中）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为　　 A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 【分析】根据题意得的半径为4，则点到圆心的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点在外． 【解答】解：、， ， 则点在外， 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内． 【变式1】（2022秋•东海县校级月考）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为　　． 【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为1的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【解答】解：如图， 点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为1， 取，连接， ，， 是的中位线， ， 当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大， ，， ， ， ，即的最大值为； 故答案为． 【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点． 【变式2】（2023秋•东海县月考）如图，是半的直径，点在半上，，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为　　 A．1 B． C． D．3 【分析】如图，连接、．在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【解答】解：如图，连接、． ， ， 在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中，，， ，， 在中，， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 【变式3】（2024•高新区模拟）已知点是半径为4的上一点，平面上一点到点的距离为2，则线段的长度的范围为 　　． 【分析】如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，据此得到结论． 【解答】解：如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为； 当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为， 所以，线段的长度的范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键． 【变式4】（2023秋•吴江区校级月考）在矩形中，，． （1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，进而得出点，，与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径的取值范围． 【解答】解：（1）如图，连接， ，， ， 的半径为长， 点在上，点在外，点在外； （2）以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 经典题型汇编 题型一．圆的认识 1．（2022秋•邗江区校级月考）已知的半径是，则中最长的弦长是　　 A． B． C． D． 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【解答】解：圆的直径为圆中最长的弦， 中最长的弦长为． 故选：． 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 2．（2023秋•东台市月考）到点距离为2的点的集合是 　以点为圆心，以2为半径的圆　． 【分析】根据圆的定义即可解答． 【解答】解：到点的距离等于2的点的集合是：以点为圆心，以2为半径的圆． 故答案是：以点为圆心，以2为半径的圆． 【点评】本题考查了圆的定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合． 3．（2021秋•东台市月考）如图，的半径，为上一点，，，垂足分别为、，，求直径的长． 【分析】判断出四边形是矩形，然后根据矩形的对角线相等求出圆的半径，再解答即可． 【解答】解：，，， 四边形是矩形， ， ． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把转化为是解题的关键． 题型二．点与圆的位置关系 4．（2023秋•常州期中）在中，，，，以为圆心，为半径作，则点与的位置关系是　　 A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【分析】利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论． 【解答】解：中，，，， ， ， 点在内， 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 5．（2023秋•梁溪区校级期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为的等圆所覆盖，此时的最小值为 　　；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为的等圆所覆盖，此时的最小值为 　　． 【分析】当矩形被两圆覆盖，圆最小时，两圆的公共弦一定是，则每个圆内的部分是一个边长是4和2的长方形，利用勾股定理即可求解． 当矩形被三圆覆盖，圆最小时，两圆的公共弦一定是，则每个圆内的部分是一个边长是4和的长方形，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图1，正方形被两个半径为的等圆、所覆盖，覆盖正方形的圆与正方形交于、两点， 由对称性知、分别是和的中点， ，， ，， ． 若存在一个边长为4的正方形被两个半径为的等圆所覆盖，此时的最小值为． 当正方形被三个半径为的等圆、、所覆盖，则覆盖正方形的三个圆与正方形交于、两点，如图2， 由题意可知，、是的三等分点， ， ，， ， ， 若存在一个边长为4的正方形被三个半径为的等圆所覆盖，此时的最小值为． 故答案为：，． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，正方形的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，求得每个圆内的长方形的边长是解题的关键． 6．（2022秋•江阴市校级月考）平面直角坐标系中，点、、、在上． （1）在图中清晰标出点的位置； （2）点的坐标是 　　，的半径是 　　． 【分析】点的坐标是弦，的垂直平分线的交点． 【解答】解：（1）弦的垂直平分线是，弦的垂直平分线是，因而交点的坐标是． （2）点的坐标是，的半径是的半径是的长，， 故答案为：，5． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，掌握圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键． 题型三.圆的周长和面积问题 7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 【答案】 【分析】先分析出M的路径是圆，根据题意求出圆M的周长即可．本题考查圆的相关性质，得到M的轨迹是解题的关键。 【详解】解：由题意得P的路径是O为圆心，5为半径的圆， 则中点M的路径是O为圆心，为半径的圆， 所以圆M的周长为， 故答案为：． 8．（21-22九年级上·江苏南京·期末）若一个半圆的长为6πcm，则其半径为 cm． 【答案】6 【分析】设半圆的半径为r，根据圆的周长公式列出方程，解方程即可求得． 【详解】解：设半圆的半径为r 根据题意得： 解得r=6 故答案为：6 【点睛】本题考查了圆的周长公式，列出方程是解决本题的关键． 9．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解． 【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC， ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1， ∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x， ∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2， ∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键． 题型四.求圆弧的度数 10．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中，错误的有(　　) ①任意三点确定一个圆 ②相等的圆心角所对的弧相等 ③各边相等的圆内接多边形是正多边形 ④若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5－5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、圆内接四边形、黄金分割的性质一一判断即可． 【详解】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等； ③各边相等的圆内接多边形是正多边形；正确； ④若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5－5，错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=10，则AC=5-5或BC=5-5．； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的条件、圆周角定理、圆内接四边形、黄金分割的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 12．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证： （1）四边形DBCF是平行四边形 （2） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论； （2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 又, 四边形是平行四边形． （2）如图，连接 ， 四边形是的内接四边形 【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知的直径为，若，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系，进行判断即可． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 且， 点A在外， 故选：A． 3．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）下列命题中，正确的个数是（    ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义分别判断即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； （2）等弧所对的圆周角相等，故正确； （3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （4）直径所对的圆周角是直角，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义，属于基础知识，要熟悉课本中的性质定理． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若点在以为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点与圆的位置关系，根据点在圆内，在点到圆心的距离小于半径可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内， ∴点A到点B的距离小于2， ∴， ∴， 故选C． 5．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）下列关于圆的说法中，正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．一个圆只有一个内接三角形 C．圆心相同的圆是同心圆 D．等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【分析】由圆的确定可判断A，由圆的内接三角形的定义可判断B，由同心圆的含义可判断C，能够互相重合的两条弧是等弧，由等弧的概念可判断D，从而可得答案. 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故A不符合题意； 一个圆上有无数个点，任意三点都可组成三角形，所以一个圆有无数个内接三角形，故B不符合题意； 圆心相同而半径不相等的圆是同心圆，故C不符合题意； 等弧所对的圆心角相等，正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是圆的确定，圆的内接三角形，同心圆，等弧的性质，掌握以上基础知识是解题的关键. 6．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【答案】B 【分析】此题考查了圆的相关性质，根据圆的弦、弧、直径等相关知识进行判断即可．熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 【详解】直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，故A错误； 圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确； 只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故C错误； 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故D错误． 故选：B． 8．（九年级上·江苏宿迁·期末）如图，两个半径都为1的圆形纸片，固定⊙O1，使⊙O2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止，则⊙O2上的点P运动的路径长为（　　） A．2π B．4π C．6π D．无法确定 【答案】B 【分析】由⊙O2上的点P运动的路径长＝点O2运动的路径长可求解． 【详解】解：∵⊙O2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止， ∴⊙O2上的点P运动的路径长＝点O2运动的路径长， ∴⊙O2上的点P运动的路径长＝2π（1+1）＝4π 故选：B． 【点睛】本题考查了轨迹问题，掌握⊙O2上的点P运动的路径长=点O2运动的路径长是本题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为5，P为上任意一点，E是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 如图，连接，取的中点H，连接，利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2.5的圆，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，，取的中点H，连接，． ∵点E是的中点，点H是的中点， ， 点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2.5的圆， ，， ， ， 的最小值． 故选B． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得，，利用弦最长等于直径即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点N，连接，    点为的中点，， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 在中， ， 当最大时，最大， 的半径为5， 弦最长等于直径是10， ， ． 故选：B． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地    【答案】猫和老鼠同时到达 【分析】利用圆的周长公式即可求解． 【详解】解：以为直径的半圆的长是：； 设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则， 则老鼠行走的路径长是：． 故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达， 故答案为：猫和老鼠同时到达． 【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理．根据题意画出图形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴，    则， 根据勾股定理可得， 点或， ． 故答案为：． 13．（21-22九年级上·江苏淮安·期中）如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，则， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 则弧的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 14．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，为的直径，C是延长线上一点，且，的延长线交于点E，，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】 先利用等边对等角的性质得出，再利用三角形外角的定义得出，同理，再利用三角形内角和定理得出，最后根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆的性质、三角形外角的定义，等边对等角的性质，以及三角形内角和定理，掌握圆的性质和三角形外角的定义是解题的关键． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 16．（21-22九年级上·江苏镇江·期中）小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】根据矩形的性质得，，即，，即可得． 【详解】解：如图，设点M为DE的中点，点N为FC的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值， ∵DE=4，四边形DEFG为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三条边的关系，中线长定理，解题的关键是掌握中线长定理． 17．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是 ． 【答案】 【分析】由“”可证≌，可得，可证点，点，点，点四点共圆，由等边三角形的性质可求的长，由点在上运动，则是直径时最大，即可求解． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， 又， ， 点，点，点，点四点共圆， 如图，过点，点，点，点四点圆为，连接，，，过点作于， 是等边三角形，， 点是的内心，也是的外心， ，， ，， ， 点在上运动， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点，，都在上，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的基本知识，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，连接，    ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 同理， ∴． 20．（19-20九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 22．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为4，P为上任意一点，C是的中点，则的最大值是 ．      【答案】7 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点C的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接、．    ∵，， 的半径为4， ∴， ∴点C的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴ ∴， ∴的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点C的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 23．（20-21九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）；（2）13 【分析】（1）连接，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案； （2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径． 【详解】（1）连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）∵ ∴ 设，则 在中， ∴ ∴的半径长为13． 【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解． 24．（九年级上·江苏盐城·期中）如图，矩形中，.作于点E，作于点F． (1)求、的长； (2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出； （2）根据，结合点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， 在中，； （2）解：∵， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外， ∴的半径r的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握点与圆的位置关系． 25．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于半径为的和点，给出如下定义：若，则称为的“近外点”．    (1)当的半径为2时，点中，的“近外点”是___________； (2)若点是的“近外点”，求的半径的取值范围； (3)当的半径为2时，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的“近外点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)B，C (2) (3)或 【分析】(1)根据定义计算判断即可． (2)根据定义计算，得到，解答即可． (3)根据定义分别b为正和为负，两种情况解答即可． 【详解】（1）∵的半径为2时，“近外点”的线段长m满足， ∵点 ∴ ∴的“近外点”是B，C． 故答案为：B，C． （2）∵点是的“近外点”， ∴，， 解得． （3）当M在x轴的负半轴时， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∵的半径为2时， ∴的 “近外点”的线段长m满足， 当时，点M是的 “近外点”， 此时； 过点O作于点G， 当时，点G是的 “近外点”， ∵， ∴， ∴， 此时； 故b的取值范围；    当M在x轴的正半轴时， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∵的半径为2时， ∴的 “近外点”的线段长m满足， 当时，点M是的 “近外点”， 此时； 过点O作于点G， 当时，点G是的 “近外点”， ∵， ∴， ∴， 此时； 故b的取值范围； 故b的范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，圆的性质，特殊角的直角三角形，正确理解定义是解题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接于、、，求证：． 【初步探索】 小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明； （2）若圆的半径为6，则的最大值为________； 【类比迁移】 （3）如图，等腰内接于圆，，点是狐上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为6，试求周长的最大值． 【答案】(1)见解析（2）12（3） 【分析】（1）根据圆周角定理，得到，结合旋转性质，得，，利用三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质证明即可； （2）根据直径是最大的弦，当是直径时，的值最大，即最大，计算即可； （3）绕点顺时针旋转到，使点与点重合，、、三点在同一直线上，进而证明为等腰直角三角形，类比（2）即可得出结论 【详解】解：（1）∵等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点在同一直线上， ∵绕点顺时针旋转到，使点与点重合， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）∵圆的半径为6， ∴圆的直径为12， ∵， 故当为圆的直径时最大， 故的最大值为12， 故答案为：12． (3) ∵绕点顺时针旋转到，使点与点重合， ∴，，，， ∵直角三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点在同一直线上， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 故当为圆的直径时最大， 故的最大值为， ∵为圆的直径， ∴， ∴周长的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直径是圆中最大的弦，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$