1.1　探索勾股定理培优提升练习　2024—2025学年北师大版数学八年级上册

1.1探索勾股定理培优提升练习 1、 基础训练与概念整理： 1、 直角三角形两个锐角 。 2、 如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，则三边a、b、c满足的关系是 。 3、 写出下列直角三角形第三边的长度（∠C=90°）： 4、下列图形中的数字均为对应图形的面积，请写出写出其余图形中正方形或三角形的面积： 2、 能力提升与应用技巧： 4、 已知一个直角三角形三边分别为a、b、c，且，则斜边长（ ）。 A、 16cm B、21cm C、18cm D、22cm 5、 等腰直角三角形的面积是16，则它的最长边的长为（ ）。 A、8cm B、12cm C、10cm D、9cm 6、 直角三角形两边分别为3和5，则第三边的平方为（ ）。 A、16 B、 34 C、28 D、16或34 7、 一个直角三角形的连直角边之比为2:3，斜边长为13，则它的面积是（ ）。 A、36 B、68 C、34 D、39 8、 市中心广场钟楼的钟表，时针和分针长分别为0.6和0.8m，上午9点时，钟表时针和分针针尖之间的距离是（ ）。 A、0.8m B、0.9m C、1.0m D、1.4m 10、小军从广场中心以50m/min的速度向正东走了12分钟，又以同样速度向正北走了5分钟，这时，他与广场中心的距离是（ ）。 A、700m B、 650m C、750m D、850m 11、如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，ED为AC垂直平分线，如果AB=18，CE=13，则CB=（ ）。 A、10 B、12 C、10 D、8 12、 如图3，滑梯DG长25米，原先竖直高度BD为24米，为保证安全，在保证滑梯长度不变的情况下把高度降低9米到E点，则滑梯在水平地面上滑动的距离是（ ）。 A、16米 B、12米 C、13米 D、15米 13 、如图4，楼梯宽度为2米，长度和高度分别为25米和7米，某庆祝活动中，需要在楼梯台阶铺上红地毯，价格为120元/平方米，共需要费用（ ） A、7680元 B、7440元 C、6000元 D、5760元 14、如图5，大风过后，一颗大树被从离地面6米高处折断，树梢落在地面离树根8米处，请你估算大树折断前的高度（ ）。 A、10米 B、14米 C、16米 D、18米 15、一个等腰三角形的腰为10cm，一条高为8cm，则它的面积为 。 16、如图6，AB//CD，EH和FG分别平分∠GEF和∠EFD，如EF=5，GF=6，则△EFG的面积是 。 17、如图7，所有的三角形均为直角三角形，所有的四边形均为正方形，如果正方形1、2、3、4的边长分别为4、2、3、1，则大正方形5的面积是 。 18、如图8，△EFG、△ACD、△ADE均为直角三角形，AE=ED=DC=CB=3,则AB= 。 19、 如图9是由四个全等的直角三角形拼成，称为弦图，可用于证明勾股定理，请你写出证明过程。 20、请根据图10写出勾股定理的证明过程。 20、 △ABC中，AB=16，AC=13，BC边上的高为12，求△ABC的周长和面积。 3、 培优拓展与数学理解： 21、（1）如果三个正整数能够满足两个数的平方和等于另一个输的平方，我们称这三个正整数为勾股数，如3、4、5，满足。请再写出一组勾股数 。 （2）若a、b、c是勾股数，则na、nb、nc（n为正整数）是否是勾股数 ？、、（n为正整数）是否满足两数之和的平方等于另一个数的平方？请证明你的结论。 （3） 如果给你任意一个大于2的正整数m，您能否找出能与m构成勾股数的另外两个正整数？观察下列数据和等式并完成相关问题： ① 3、4、5是勾股数：4=5=； ② 5、12、13是勾股数：12=13=； ③ 7、 、 是勾股数： ， ； ④ 4、3、5是勾股数：3=； ⑤ 6、8、10是勾股数：10=， 10=； ⑥ 8、 、 是勾股数： ， ； （4）根据上述推理，如果m是奇数，则能与它构成勾股数的两数可用m表示为： ， ，两数相差 。 如果m是偶数，则能与它构成勾股数的两数可用m表示为： ， ，两数相差 。 21、 对角线互相垂直的四边形我们称之为“垂美四边形”。 （1）如图11，四边形ABCD是特殊“垂美四边形”，AC⟂BD于O，AC平分BD，所以AB=AD，CB=CD， 。 （2）如图12，四边形ABCD是一般“垂美四边形”，AC⟂BD于O，请写出AB、BC、CD、AD四条边之间的关系并证明。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1探索勾股定理培优提升练习 1、 基础训练与概念整理： 1、 直角三角形两个锐角 互余 。 2、 如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，则三边a、b、c满足的关系是 。 3、 写出下列直角三角形第三边的长度（∠C=90°）： 4、 下列图形中的数字均为对应图形的面积，请写出写出其余图形中正方形或三角形的面积： 2、 能力提升与应用技巧： 5、 已知一个直角三角形三边分别为a、b、c，且，则斜边长（ C ）。 A、 16cm B、21cm C、18cm D、22cm 6、 等腰直角三角形的面积是16，则它的最长边的长为（ A ）。 A、8cm B、12cm C、10cm D、9cm 7、 直角三角形两边分别为3和5，则第三边的平方为（ D ）。 A、16 B、 34 C、28 D、16或34 8、 一个直角三角形的连直角边之比为2:3，斜边长为13，则它的面积是（ D ）。 A、36 B、68 C、34 D、39 9、 市中心广场钟楼的钟表，时针和分针长分别为0.6和0.8m，上午9点时，钟表时针和分针针尖之间的距离是（ C ）。 A、0.8m B、0.9m C、1.0m D、1.4m 10、小军从广场中心以50m/min的速度向正东走了12分钟，又以同样速度向正北走了5分钟，这时，他与广场中心的距离是（ B ）。 A、700m B、 650m C、750m D、850m 11、如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，ED为AC垂直平分线，如果AB=18，CE=13，则CB=（ B ）。 A、10 B、12 C、10 D、8 12、 如图3，滑梯DG长25米，原先竖直高度BD为24米，为保证安全，在保证滑梯长度不变的情况下把高度降低9米到E点，则滑梯在水平地面上滑动的距离是（ C ）。 A、16米 B、12米 C、13米 D、15米 13 、如图4，楼梯宽度为2米，长度和高度分别为25米和7米，某庆祝活动中，需要在楼梯台阶铺上红地毯，价格为120元/平方米，共需要费用（ B ） A、7680元 B、7440元 C、6000元 D、5760元 14、如图5，大风过后，一颗大树被从离地面6米高处折断，树梢落在地面离树根8米处，请你估算大树折断前的高度（ C ）。 A、10米 B、14米 C、16米 D、18米 15、一个等腰三角形的腰为10cm，一条高为8cm，则它的面积为 48 。 16、如图6，AB//CD，EH和FG分别平分∠GEF和∠EFD，如EF=5，GF=6，则△EFG的面积是 12 。 17、如图7，所有的三角形均为直角三角形，所有的四边形均为正方形，如果正方形1、2、3、4的边长分别为4、2、3、1，则大正方形5的面积是 30 。 18、如图8，△EFG、△ACD、△ADE均为直角三角形，AE=ED=DC=CB=3,则AB= 6 。 19、 如图9是由四个全等的直角三角形拼成，称为弦图，可用于证明勾股定理，请你写出证明过程。 S1正方形整体法可表示为：， S2正方形分割法可表示为： ∵S1=S2，∴ 20、请根据图10写出勾股定理的证明过程。 SAEBD=S△AEC+S△BDC+S△ABC 左边= 右边== 即：=，。 20、 △ABC中，AB=16，AC=13，BC边上的高为12，求△ABC的周长和面积。 两种情况：（1）如图:，BD=20，同理CD=5 ∴ 周长=16+13+20+5=54，面积=×（20+5）×12=150。 （2） 如图： （3） 周长=16+13+20-5=44，面积=×（20-5）×12=90。 3、 培优拓展与数学理解： 21、（1）如果三个正整数能够满足两个数的平方和等于另一个输的平方，我们称这三个正整数为勾股数，如3、4、5，满足。请再写出一组勾股数 5、12、13 。 （2）若a、b、c是勾股数，则na、nb、nc（n为正整数）是否是勾股数 ？、、（n为正整数）是否满足两数之和的平方等于另一个数的平方？请证明你的结论。 是勾股数；满足。证明略。 （3） 如果给你任意一个大于2的正整数m，您能否找出能与m构成勾股数的另外两个正整数？观察下列数据和等式并完成相关问题： ① 3、4、5是勾股数：4=5=； ② 5、12、13是勾股数：12=13=； ③ 7、 24 、 25 是勾股数： 24= ， 25= ； ④ 4、3、5是勾股数：3=； ⑤ 6、8、10是勾股数：10=， 10=； ⑥ 8、 15 、 17 是勾股数： 15= ， 17= ； （4）根据上述推理，如果m是奇数，则能与它构成勾股数的两数可用m表示为： ， ，两数相差 1 。 如果m是偶数，则能与它构成勾股数的两数可用m表示为： ， ，两数相差 2 。 21、 对角线互相垂直的四边形我们称之为“垂美四边形”。 （1）如图11，四边形ABCD是特殊“垂美四边形”，AC⟂BD于O，AC平分BD，所以AB=AD，CB=CD， = 。 （2）如图12，四边形ABCD是一般“垂美四边形”，AC⟂BD于O，请写出AB、BC、CD、AD四条边之间的关系并证明。 =。 证明： ， , ∴ = = ∴ =。 学科网（北京）股份有限公司 $$