第十八章 平行四边形第6课时　矩形的性质课件 2023-2024学年 人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 第6课时　矩形的性质 理解矩形的概念；探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等． 课标要求 课前预习 矩形的定义：有一个角是直角的_____________是矩形 矩形的性质 性质1：矩形的四个角都是________； 性质2：矩形的对角线__________； 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________ 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝________，AC＝________，AO＝BO＝CO＝DO＝________AC＝BC 图示： 注：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形是轴对称图形，有两条对称轴 平行四边形 直角 相等 一半 90° BD 课堂讲练 知识点1　矩形的性质 例1　如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，则BC＝________，矩形ABCD的周长为________． 图1 4 14 训练　1．如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝6，则∠OBC的度数是________，矩形ABCD的面积为________． 图2 30° 例2　如图3，在矩形ABCD中，E，F是边BC上的两点，且 AF＝DE. （1）求证：BE＝CF； 图3 （2）若∠AFB＝45°，AB＝4，CF＝2，则EF的长为________． 2 图3 训练　2．如图4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E. （1）求证：BC＝CE； 图4 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC．∴AD∥CE. 又DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形． ∴AD＝CE．∴BC＝CE. （2）若∠E＝40°，求∠BOC的度数． 解：∵DE∥AC， ∴∠ACB＝∠E＝40°. 图4 ∵四边形ABCD为矩形， ∴OC＝OB. ∴∠OBC＝∠OCB＝40°. ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－40°－40°＝100°. 知识点2　矩形性质的推论 例3　如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，D是斜边AB的中点，则∠ACD的度数为________． 图5 25° 训练　3．如图6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，E为AB边的中点，连接DE．若AD＝3，BC＝8，则DE的长为________． 图6 1．如图7，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E为边AD的中点，连接BE，CE，则∠BEC的度数为（　　） 图7 A．45° B．60° C．90° D．100° C 2．如图8，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长为________． 图8 3．（2023 台州）如图9，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________． 图9 4．如图10，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点 为C′，BC′交AD于点E. （1）求证：△BED为等腰三角形； 图10 证明：由折叠的性质，得∠EBD＝∠DBC. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC．∴∠EDB＝∠DBC. ∴∠EDB＝∠EBD．∴BE＝ED. ∴△BED为等腰三角形． （2）若AB＝2，BC＝8，求AE的长． 图10 5．【数学文化】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图11，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则矩形BCHG的面积为________． 图11 12 随 堂 测 1．如图1，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD交于点O，下列说法不一定正确的是(　　) A．∠BAD＝90° B．AC＝BD C．∠BAC＝∠DAC D．OA＝OC 图1 C 2．如图2，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝2，则AB的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 图2 A 3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，若∠B＝50°，则∠OCA＝________°. 图3 40 4．如图4，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝9，AB∥x轴．已知A(－3，－3)，则点C的坐标是________． 图4 (3，6) 5．如图5，O为矩形ABCD的对角线BD的中点，OE⊥BC，垂足为E，连接OA．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为________． 图5 6．如图6，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F．若∠CAB＝30°，BC＝2，则线段EF的长为________．   图6 eq \f(1,2) 36 eq \r(3) 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC. 在Rt△ABF和Rt△DCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,AF＝DE，)) ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．∴BF＝CE. ∴BF－EF＝CE－EF，即BE＝CF. eq \f(5,2) eq \r(10) 2 eq \r(5) 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝8，∠A＝90°. 设AE＝x，则BE＝ED＝8－x. 在Rt△BAE中，由勾股定理，得BE2＝AB2＋AE2， 即（8－x）2＝22＋x2．解得x＝ eq \f(15,4) . ∴AE的长为 eq \f(15,4) . 4 $$