四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期数学期末模拟测试（五）

绵阳南山中学实验学校高2022级期末模拟测试（五） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若等差数列满足，则（     ） A．3 B． C．1 D． 2．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 3．函数在处有极值10，则点为（     ） A． B． C．或 D．不存在 4．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则（     ） 0 2 P a b A． B． C． D．0 5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中依次取出3个不同数字a，b，c，若a，b，c成等差数列，则不同的取法种数为（     ） A．16 B．24 C．32 D．48 6．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B．14 C． D．7 8. 已知函数，，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在的展开式中，下列说法正确的是（        ） A．常数项为160 B．第4项的二项式系数最大 C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为1 10．为了解推动出口后的亩收入 (单位: 万元) 情况, 从该种植区抽取样本, 得到推动出口后亩收入的样本均值 ,样本方差 ,已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ,假设失去出口后的亩收 入 服从正态分布 ,则（ ） (若随机变量 服从正态分布 ,则 ) A. B. C. D. 11．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（     ） A． B．满足的的最小值为11 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．二项式的展开式中的常数项为 .（用数字作答） 13．口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，若甲、乙两人无放回地摸球，由甲先摸1个球，乙再摸1个球，则甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的概率是 . 14．已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求的极值. 16．已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 17．在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1)求甲投篮次得分的概率； (2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果. 18.随着春季学期开学，绵阳市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.绵阳某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率； (2)证明：数列为等比数列； (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A类套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择A类套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 19．已知函数（）． (1)求的单调区间； (2)若函数，是函数的两个零点，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2022级期末模拟测试（五）参考答案： 1-4：BBBD 5-8：CDAA 9．BD 10：BC 11．BD 12． 13． 14． 15．【详解】（1）由题意知，所以， 解得； （2）由（1）知，令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的极小值为，无极大值. 16．【详解】（1）当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. （2）由 则 ， 故的前项和. 17．【详解】（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率为； （2）由题意知的所有可能取值为，，，， 则， ， 随机变量的分布为， 0 2 4 6 期望； （3）设甲三次投篮的得分，则，，，， 可求得随机变量的分布为， 0 2 4 6 所以 ， 又可算得， 因为，， 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定. 18.【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”， 则“第1天不选择B套餐”. 根据题意可知：. 由全概率公式可得. （2）设“第天选择B套餐”，则， 根据题意. 由全概率公式可得 ， 整理得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）第二天选择A类套餐的概率 由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为，所以，则， 当取最大值时，则， 即，解得， 且，所以. 19.【详解】（1）函数的定义域为， ， ①当时，，则在上单调递增； ②当时，若，则，若，则， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，单调递增区间为，无递减区间； 当时，单调递增区间为；单调递减区间为. （2）因为是的两个零点， 所以，，将两式作差可得 ，又， 所以， 所以要证，只须证明， 即证明，即证明， 令，即证，， 令，则， 令，则在上恒成立， ∴在上递减，又， ∴在上递增，则， 即， 所以成立，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$