18.1.2　平行四边形的判定（一） 边 课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十八章　平行四边形 第3课时　平行四边形的判定（一）——边 探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 课标要求 课前预习 平行四边形的判定 几何语言 图示 判定1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵____________________， ∴四边形ABCD是平行四边形     判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵____________________， ∴四边形ABCD是平行四边形 判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如：∵AB∥CD，__________， ∴四边形ABCD是平行四边形 AB∥CD，AD∥BC AB＝CD，AD＝BC AB＝CD 课堂讲练 例1（判定1）　如图1，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 图1 证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD. 又AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 训练　1．如图2，在▱ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上一点，且∠1＝∠2．求证：四边形AECF是平行四边形． 图2 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥CE． ∴∠1＝∠EAF. ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠EAF． ∴CF∥AE. ∴四边形AECF是平行四边形． 例2（判定2）　如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．  图3 训练　2．如图4，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若△ADE≌△CBF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 图4 证明：∵△ADE≌△CBF， ∴AD＝CB，AE＝CF. ∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴AB＝2AE，CD＝2CF. ∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形． 例3（判定3）　如图5，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形． 图5 证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD. 又AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 训练　3．（RJ八下P50题6）如图6，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形． 图6 证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形， ∴AD∥EF，且AD＝EF，BC∥EF，且BC＝EF. ∴AD∥BC，且AD＝BC. ∴四边形ABCD是平行四边形． 1．（2023衡阳）如图7，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） 图7 A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C C 2．如图8，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间的枕木互相平行且长度相等就可以了．其依据是两条铁轨和夹在铁轨之间的两根枕木构成一个平行四边形，所以两条铁轨平行．这种判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据是____________________________________________.　 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 图8 3．（2023 广安）如图9，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形． 图9 4．【推理能力】将两块大小相同的等腰直角三角板ABC和DEF按如图10所示的方式放置，组成四边形ABCF，两条直角边AC与DE重合．请尝试用不同的方法证明四边形ABCF是平行四边形． 图10 方法1　 证明：∵△ABC与△DEF是大小相同的等腰直角三角形， ∴AB＝CF，BC＝AF． ∴四边形ABCF是平行四边形． 方法2　 证明：∵△ABC与△DEF是大小相同的等腰直角三角形， ∴AB＝CF，∠BAC＝∠FCA＝90°． ∴AB∥CF. ∴四边形ABCF是平行四边形． 图10 方法3　 证明：∵△ABC与△DEF是大小相同的等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠FCA＝90°，∠BCA＝∠FAC＝45°. ∴AB∥CF，BC∥AF． ∴四边形ABCF是平行四边形． 图10 随 堂 测 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(　　) A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等 C．两组对边分别相等 D．一组对边平行且相等 B 2．如图1，已知AB∥GH∥DC，AD∥FE∥BC，则图中平行四边形的个数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 图1 C 3．如图2，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE. 求证：(1)△AFD≌△CEB； 图2 证明：∵DF∥BE， ∴∠DFA＝∠BEC. ∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. ∴△AFD≌△CEB(SAS). (2)四边形ABCD是平行四边形． 图2 证明：由(1)知，△AFD≌△CEB. ∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC. ∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形． 证明：在△ABC和△CDA中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D，,∠1＝∠2，,AC＝CA，)) ∴△ABC≌△CDA（AAS）. ∴AB＝CD，BC＝DA. ∴四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. ∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF. 在△ABE和△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，,∠AEB＝∠CFD，)) ∴△ABE≌△CDF（ASA）．∴AB＝CD. ∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 在△AFD和△CEB中， $$