1.1探索勾股定理第1课时（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.1 探索勾股定理 主讲： 北师大版 八年级 上册 第1章 勾股定理 第1课时 学习目标 1.掌握直角三角形三边数量关系，学会用符号表示，学生在经历用数格子和割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程.（重点） 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单问题. （难点） 新课导入 一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你知道它的斜边长是多少吗?已知直角三角形的两条边长，你能求出它的第三边长吗?实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这些问题. 让我们一起探索这个古老的定理吧! 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直观(如图)，数学家曾建议用这个图形作为与“外星人联系的信号. 新课导入 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系，事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧! 做一做：(1)在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系?与同伴进行交流.（每个小正方形的边长为1） 新课讲授 探究一：勾股定理的初步认识 做一做：(2)如下图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?与同伴进行交流. 图① 图② 新课讲授 A的面积 B的面积 C的面积 图① 图② 即以各边长度为边长的正方形的面积. 根据左图填写下表： 9 9 4 4 ? ? 图① 图② 新课讲授 A、B、C 面积有什么关系？ 图①和图②中的C都可以分割为四个等腰直角三角形，即可求出面积. A的面积 B的面积 C的面积 图① 图② 根据左图填写下表： 9 9 4 4 18 8 SA+SB=SC 做一做：(3)对于下图中的直角三角形，是否还满足这样的关系?你又是如何计算的呢? 图③ 图④ 新课讲授 A的面积 B的面积 C的面积 图③ 图④ 根据左图填写下表： 9 16 1 9 ? ? 图③和图④中，如何求出C的面积？ 新课讲授 图① 图② 方法一：割 分割为四个直角三角形和一个小正方形; A的面积 B的面积 C的面积 图③ 图④ 根据左图填写下表： 9 16 1 9 25 10 还有其他方法吗？ 新课讲授 方法二：补 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 图① 图② A的面积 B的面积 C的面积 图③ 图④ 根据左图填写下表： 9 16 1 9 25 10 SA+SB=SC 归纳：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. A、B、C 面积是否还满足以上的关系？你能用语言描述吗？ 新课讲授 做一做：(4)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由. 仍然成立. 如图，设每个小正方形的边长为0.8个单位长度. ∵SA=1.62=2.56 SB=2.42=5.76 SC=×1.6×2.4×4+0.82=8.32. ∴SA+SB=SC 议一议：你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？　　 a b c 新课讲授 ∵SA+SB=SC ∴a2+b2=c2 通过上面的活动，同学们一定已经发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 新课讲授 知识归纳 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理 a2 + b2 = c2 如果用a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 新课讲授 勾股定理是我国最早发现的，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.（在西方文献中称为毕达哥拉斯定理） 数学小史：勾股定理的由来 新课讲授 1.下列说法中正确的是(　　)A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2 = c2B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2+b2 = c2D.在Rt△ABC中，∠B = 90°，则a2+b2 = c2 C 想一想：如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ A B C 新课讲授 探究二：利用勾股定理进行计算 6m 8m 在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得，AC²+BC²=AB² 即82+62=AB² 解得 AB=10 ∴需要10m的钢索. 新课讲授 在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得，AC²+BC²=AB² A C B b a c 知识归纳 勾股定理的几何语言： 2.如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米 ，AC=12厘米，求斜边AB的长度. A C B 新课讲授 解：在Rt△ABC中,∠C=90°， 根据勾股定理,得AC²+BC²=AB²， 即122+52=AB2， 解得AB=13， ∴斜边AB的长度为13厘米. 典例分析 例1：求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积. 解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得:152+ x2 =172 即 x2=172-152 x2=64 解得 x=8或x=-8（舍） 所以另一直角边长为8 cm. 故直角三角形的面积是: =60(cm2). 例2：一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少? A B C 典例分析 解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得：BC2+AC2=AB2 即 BC2+2.42=2.52 BC2=0.49 ∴BC=0.7 答：梯脚与墙的距离是0.7米. 2.如图所示，点E在正方形 ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ） A.48 B.60 C.76 D.80 A C D B E 学以致用 1.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8 cm，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm，10 min后，两只小鼹鼠相距( ) A．50 cm B．100 cm C．140 cm D．80 cm B C 5.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，AC = 6，BC = 8，则CD = ______. A C D B 4.在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则 △ABC的面积为_____,斜边上的高CD为______. A B C D 3.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ，周长为 . 8 cm 10 cm 学以致用 36 cm² 24 cm 24 4.8 3 6.求下列直角三角形中未知边x的长度： 3 4 x x 15 17 9 x 15 5 12 x 7 x 25 x 8 10 学以致用 5 6 8 12 13 24 7.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4. 求CD的长. A D B C 3 4 学以致用 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 由勾股定理得：AC2+BC2=AB2 即 32+42=AB2 ∴AB=5 ∴SRt△ABC=, ∴CD=. 课堂小结 勾股定理 字母表示 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 探索勾股定理1 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a2+b2=c2. 作业布置 教材习题1.1 感谢聆听 $$