精品解析：吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题

四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 2. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 40 B. C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式可求. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则， 故含的项的系数为. 故选：A 3. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种； 第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案， 综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案. 故选：A 4. 已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】若，则的常数项为； 若的二项展开式中存在常数项， 设二项式的通项为， 且存在常数项，则，，为整数， 所以能被4整除. 所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设点，根据题意可得，从而求得. 【详解】设，点，则， 由在点处的切线与直线垂直可得， 即，又，. 故选：D 6. 已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导得到导函数的零点和，就参数分类讨论，判断函数的单调性，即可分析判断，确定参数的范围. 【详解】由题意得，， 由可得，或， ① 若，即时，，显然不合题意； ② 若，即时，当或时，，即在和上单调递增； 当，，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意； ③ 若，即时，当或时，，即在和上单调递增； 当，，在上单调递减，故在处取得极大值，不符题意. 综上所述，当时，在处取得极小值，故的取值范围是. 故选：A. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理可得答案. 【详解】 . 故选：B 8. 若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，分和两种情况，结合在区间内存在单调减区间，求出的取值范围即可. 【详解】，， 当时，，不符合题意； 当时，令，解得， 在区间内存在单调减区间， ，解得. 实数的取值范围是. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 10. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 偶数项的二项式系数之和为32 B. 第3项的二项式系数最大 C. 常数项为60 D. 有理项的个数为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】偶数项的二项式系数之和为，故A正确； 根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误 ， 令，，∴，故C正确； 为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误. 故选：AC． 11. 已知函数,则下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个极值点 B. 有且仅有两个极值点 C. 当时，的图象位于轴下方 D. 存在，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可. 【详解】由题意知，,令,, 易得在上单调递减,又,， 所以,使得， 所以当时,，当时,， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以有且仅有一个极值点.故A正确,B错误; 当时,，,所以,故C正确; 所以,故D错误. 故选:AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种. 【答案】8 【解析】 【分析】利用分步加法计数原理计算即得. 【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成， 由分步乘法计数原理知，不同的选法有（种）. 故答案为：8. 13. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】##(0,1] 【解析】 【分析】根据导数正负情况即可得解. 【详解】由题可得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 故答案为： 14. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以，解得. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）求值：; （2）解方程：． 【答案】（1）165；（2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于； （2）由排列数计算公式可得，可得. 【详解】（1）因为，所以， 原式 ； （2）因为， 所以， 化简可得，同时， 解得. 16. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为， （1）求的值； （2）求其展开式中所有的有理项． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值； （2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项． 【小问1详解】 因为，所以， 当为奇数时，此方程无解， 当为偶数时，方程可化为，解得； 【小问2详解】 由通项公式， 当为整数时，是有理项，则， 所以有理项为． 17. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． （1）高二年级一共有多少不同的分组方案？ （2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】（1）120种； （2）36种. 【解析】 【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算. （2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【小问1详解】 两组都是3女2男的情况有（种）： 一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种）， 所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案. 【小问2详解】 视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种， 再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种， 所以不同排列方式的种数是. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1） （2）当时，函数在(0,+∞)上单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增 【解析】 【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程； (2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性. 【小问1详解】 当时，， ，所以，曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，则(舍)或， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. ③当时，令，则或(舍)， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增； 当时，当时，函数单调递减 当时，函数单调递增； 当时，当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增 19. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数的减区间为，增区间为， 当时，函数的增区间为，减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数，讨论的符号判断函数单调性； （2）问题转化为恒成立，取，有，可得，构造函数利用导数求最小值证明，则恒成立，通过构造函数利用导数求最小值证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，， ①当时，解得，解得， 此时函数的减区间为，增区间为， ②当时，解得，解得， 此时函数的增区间为，减区间为； 【小问2详解】 不等式可化为， 由恒成立，取，有，可得， 又由可化为， 令，有， 令解得，解得 此时函数的减区间为，增区间为， 有，可得， 可得， 下面证明，即证明， 令，有， 令解得，解得， 可得函数的减区间为，增区间为， 有， 可得不等式成立， 所以若恒成立，则实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 40 B. C. 20 D. 3. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 4. 已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 10. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 偶数项的二项式系数之和为32 B. 第3项的二项式系数最大 C. 常数项为60 D. 有理项的个数为3 11. 已知函数,则下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个极值点 B. 有且仅有两个极值点 C. 当时，的图象位于轴下方 D. 存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种. 13. 函数的单调递减区间为__________． 14. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）求值：; （2）解方程：． 16. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为， （1）求的值； （2）求其展开式中所有的有理项． 17. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． （1）高二年级一共有多少不同的分组方案？ （2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 19. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $