2.3 二次函数与一元二次方程,不等式（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程,不等式 【考点1：求二次函数的值域或最值】 【考点2：二次函数的图象分析与判断】 【考点3：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【考点4：解一元二次不等式】 【考点5：根据一元二次不等式解求参数】 【考点6：一元二次不等式恒成立】 【考点7：不等式分式的解法】 【考点8：实际问题】 知识点1 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点2 二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点4 解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点5 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 知识点6 一元二次不等式的恒成立 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 【考点1：求二次函数的值域或最值】 【典例1】已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【考点2：二次函数的图象分析与判断】 【典例2】多选题二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（    ）    A． B． C． D．当时， 【变式2-1】一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】多选题二次函数的图象如图所示，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】多选题如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法正确的是（    ） A． B．C． D．是抛物线上两点， 【考点3：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【典例3】37．已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式3-1】已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)求函数在上的最小值． 【考点4：解一元二次不等式】 【典例4】解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【变式4-1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】不等式－x2－2x＋3≥0的解集为 （   ） A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1} 【变式4-3】求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 【考点5：根据一元二次不等式解求参数】 【典例5】已知不等式的解集为或 (1)求的值 (2)解不等式． 【变式5-1】已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】若不等式的解集是，求不等式的解集. 【考点6：一元二次不等式恒成立】 【典例6】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-1】若，使恒成立，则的取值范围为 【变式6-2】已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【考点7：不等式分式的解法】 【典例7】不等式的解集为（    ） A．或B． C．或 D． 【变式7-1】不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式7-2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点8：实际问题】 【典例8】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【变式8-1】如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【变式8-2】为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值． 【变式8-3】北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 1．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．多选题若关于的不等式有实数解，则的值可能为（    ） A．0 B．3 C．1 D． 5．多选题已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 6．多选题对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 7．若是假命题，则实数的取值范围为 ． 8．不等式的解集是 . 9．函数的图象如图所示.不等式的解集是 . 10．对任意，都成立，则实数的取值范围为 . 12．求不等式的解集. (1) (2) 13．解关于x的不等式： (1)； (2)． 13．已知集合， . (1)当时，求； (2)若，“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14．已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若不等式有且仅有唯一整数解，求实数a的取值范围． 15．已知不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)若，，且，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程,不等式 【考点1：求二次函数的值域或最值】 【考点2：二次函数的图象分析与判断】 【考点3：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【考点4：解一元二次不等式】 【考点5：根据一元二次不等式解求参数】 【考点6：一元二次不等式恒成立】 【考点7：不等式分式的解法】 【考点8：实际问题】 知识点1 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点2 二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点4 解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点5 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 知识点6 一元二次不等式的恒成立 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 【考点1：求二次函数的值域或最值】 【典例1】已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性判断求解. 【详解】，，开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值为， 结合对称性，当时，函数取得最大值为5， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式1-1】函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为，所以当时，函数取得最小值，最小值为. 故选：C. 【变式1-2】函数的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】换元再配方可得答案. 【详解】令，则， 所以. 故选：D. 【考点2：二次函数的图象分析与判断】 【典例2】多选题二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（    ）    A． B． C． D．当时， 【答案】ABC 【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可. 【详解】根据图像可得，，，A正确； 由对称性和时，，所以时，， 即，， 当时，，BC正确，D错误. 故选：ABC 【变式2-1】一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果. 【详解】若，则一次函数为增函数， 二次函数的开口向上，故可排除A； 若，则一次函数为减函数， 二次函数的开口向下，故可排除D； 对于选项C，由直线可知，，从而， 而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除C. 故选：B. 【变式2-2】多选题二次函数的图象如图所示，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二次函数的图象中的信息，即可判断选项. 【详解】由图象可知，当时，，故A正确； 当时，，故B正确； 函数图象的开口向下，，对称轴，即，当时，，则，故C错误； 若，则对称轴，与图象不符，故D错误. 故选：CD 【变式2-3】多选题如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法正确的是（    ） A． B．C． D．是抛物线上两点， 【答案】ABC 【分析】利用抛物线的性质逐个选项分析判断即可. 【详解】由图知该抛物线开口向上，故，对称轴是直线，， 故，即，故B正确， 抛物线与轴的交点在轴下方，，故A正确， 由抛物线对称性得该函数图像必过，可得，结合，可得，故C正确， 易知点到对称轴距离相等，故，故D错误， 故选：ABC 【考点3：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【典例3】37．已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)， 【分析】（1）由二次函数开口和对称轴可直接判断； （2）由定区间的图像特征直接求解即可. 【详解】（1）由，函数对称轴为，又因函数开口向上， 故在上函数单调递减，在上函数单调递增； （2）因为，时单减，时单增， ，. 【变式3-1】已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得对称轴，再由开口方向求解. 【详解】解：因为二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3， 所以其对称轴方程为：， 又， 所以二次函数的单调递减区间为， 故选：A 【变式3-2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数性质可直接得到结果. 【详解】为开口方向向下，对称轴为的二次函数， 的单调递减区间为. 故选：B. 【变式3-3】已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2) 【分析】（1）代入，根据二次函数的性质，得出单调区间，进而结合端点处的函数值，即可得出最值； （2）求出函数的对称轴，分类讨论对称轴与区间的关系，得出函数的单调性，进而得出函数的最小值. 【详解】（1）当时，. ∵的对称轴为， ∴在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为． （2）二次函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， ∴； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ∴； 当，即时，在上单调递减， ∴． 综上，. 【考点4：解一元二次不等式】 【典例4】解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，所以， 所以不等式得解集为； （2）由，得，无解， 所以不等式的解集为. 【变式4-1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 【变式4-2】不等式－x2－2x＋3≥0的解集为 （   ） A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1} 【答案】D 【详解】 －x2－2x＋3≥0，即x2＋2x－3≤0⇔(x－1)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}. 【变式4-3】求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）首先将式子因式分解，再解得即可. 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集为. 【考点5：根据一元二次不等式解求参数】 【典例5】已知不等式的解集为或 (1)求的值 (2)解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题知，是方程的两个解，根据韦达定理列出方程，解出即可； （2）化简不等式，分类讨论，即可得到不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为或, 所以，是方程的两个解，且， 所以，解得. （2）由（1）知原不等式为， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式5-1】已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定一元二次不等式的解集求出，再代入解不等式即可. 【详解】不等式的解集为，则是方程的两个根，且， 于是，解得，则不等式为， 解得或，所以不等式的解集为或. 故选：D 【变式5-2】一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 【变式5-3】若不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】 【分析】由不等式的解集可知方程的解，根据韦达定理求出的值，代入不等式即可求出解集. 【详解】解：因为不等式的解集是， 所以是方程的解， 由韦达定理解得， 故不等式为， 即，解得或， 故不等式得其解集为或. 【考点6：一元二次不等式恒成立】 【典例6】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解. 【详解】因为在上恒成立， 当时，得，显然成立； 当时，要使问题成立则，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式6-1】若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式6-2】已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得. 【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 【考点7：不等式分式的解法】 【典例7】不等式的解集为（    ） A．或B． C．或 D． 【答案】A 【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可. 【详解】不等式，即，等价于，解得或， 所以原不等式的解集为或. 故选：A 【变式7-1】不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B 【变式7-2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原不等式转化为或，再由二次不等式和一次不等式的解法，即可得到解集． 【详解】不等式化为，即有0， 于是或，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：B 【变式7-3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，即可得出结果. 【详解】不等式可以转化为. 等价于，∴， ∴， ∴不等式的解集为. 故选：A 【考点8：实际问题】 【典例8】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； (2)大于千米/小时且小于千米/小时． 【分析】（1）根据题意将表达式整理可得，利用基本不等式即可求得当千米/小时时，车流量最大约为千辆/时； （2）将不等式整理可得，解得. 【详解】（1）依题意，由于， 所以 当且仅当，即时，上式等号成立， 此时（千辆/时）． 当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）由条件得， 整理得，即， 解得． 所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/小时且小于千米/小时． 【变式8-1】如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)，面积最小为平方米 【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围. （2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. （2）矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米． 【变式8-2】为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)15米 (2)864平方米 【分析】（1）根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值. （2）求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得， ∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴， ∴，解得， 又，∴， 草坪宽的最大值为15米． （2）记整个绿化面积为S平方米，由题意可得 ， 当且仅当时，等号成立， ∴整个绿化面积的最小值为864平方米． 【变式8-3】北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 【答案】每件定价最多为元． 【分析】设每件定价为元，依题可知原收入为万元，现收入为万元，即可列出不等式解出． 【详解】设每件定价为元，依题意得，整理得 ，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 1．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 2．不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 3．已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】由题意条件，条件或，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4．多选题若关于的不等式有实数解，则的值可能为（    ） A．0 B．3 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】 分类讨论，利用判别式法列式求解即可. 【详解】 当时，不等式有解，符合题意； 当时，得，则不等式有解； 当时，由，解得. 综上，的取值范围为，对照选项，选项ACD中的值符合题意. 故选：ACD 5．多选题已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集. 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 6．多选题对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对进行分、和讨论即可. 【详解】当时，此时解集为； 当时，此时解集为； 当时，此时解集为； 故选：CD. 7．若是假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】根据给定，利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再求其补集得解. 【详解】若原命题为真，由，即，得，解得， 所以该命题为假，故实数的取值范围是或. 故答案为：或 8．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用分式不等式的解法做即可. 【详解】 ……① ……② 由①②可得的解集为：. 故答案为：. 9．函数的图象如图所示.不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据图象直接解不等式即可. 【详解】观察图象可知不等式的解集是. 故答案为： 10．对任意，都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】对任意，都成立, 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．求不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】把一元二次不等式的左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集. 【详解】（1）由可得，则得或， 故不等式的解集为； （2）由可得，则得, 故不等式的解集为. 13．解关于x的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解； （2）将不等式化为，分类讨论的取值范围，从而得解. 【详解】（1）由题意， 可得，解得或， 所以不等式的解集为. （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. 13．已知集合， . (1)当时，求； (2)若，“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再由交集的定义求得结果； （2）由题意可得，列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 所以. （2）由“”是“”的必要不充分条件，得， 所以解得， 又，故实数的取值范围为. 14．已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若不等式有且仅有唯一整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）由题得，再对进行分类讨论，利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）结合（1）中结果，得出符合条件的解集为，再结合条件，即可求出结果. 【详解】（1）因为， 所以当时，解得； 当时，解得或； 当时，解得； 当时，不等式无解； 当时，解得； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）由（1）知，当时不符合题意； 当时，解集为，则，解得， 所以． 15．已知不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)若，，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解集可得一元二次方程的两个实根，由韦达定理可求得实数的值； （2）根据均值不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以和为方程的两个实根，二次项系数a不为0， 根据韦达定理，则有，解得. 当时，的解集为，符合题意. 综上，. （2）由（1）可知，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$