2.2 基本不等式（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 【考点1：基本不等式求和的最小值】 【考点2：基本不等式求积的最大值】 【考点3：二次与二次(或一次)的商式的最值】 【考点4：条件等式求最值】 【考点5：基本不等式“1”的妙用求最值】 【考点6：对勾函数求最值】 【考点7：基本不等式的恒成立问题】 【考点8：基本(均值)不等式的应用】 知识点1 基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点2 基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4 利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 【考点1：基本不等式求和的最小值】 【典例1】若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式1-1】已知，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．4 D．2 【变式1-2】若,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，，且，则的最小值为 . 【考点2：基本不等式求积的最大值】 【典例2】已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【变式2-1】若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【变式2-3】若正数满足，则的最大值为 ． 【考点3：二次与二次(或一次)的商式的最值】 【典例3】已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】设，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，的最小值为 . 【考点4：条件等式求最值】 【典例4】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【变式4-1】已知正实数满足，则的最小值为 . 【变式4-2】已知，，，则的最小值是 ． 【变式4-3】多选题已知正数a，b满足则ab的值可能为（    ） A． B． C． D． 【考点5：基本不等式“1”的妙用求最值】 【典例5】若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式5-1】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式5-2】已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-3】若，，且，则的最小值为 ． 【考点6：对勾函数求最值】 【典例6】若函数在 时取得最小值，最小值为 . 【变式6-1】函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【变式6-2】已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【考点7：基本不等式的恒成立问题】 【典例7】多选题已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-1】若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【变式7-2】两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式7-3】若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 . 【考点8：基本(均值)不等式的应用】 【典例8】如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【变式8-1】用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【变式8-2】某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【变式8-3】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)用x表示一年购买的总次数. (2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？ 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．已知．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．多选题已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．多选题已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 7．多选题已知，，，则（    ） A．且 B． C． D． 8．若正数满足，则的最小值是 ． 9．设，则的最小值为 ． 10．已知且，则的最小值为 . 11．在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 12．若，且满足，则的最小值是 ． 13．设，若恒成立，则的取值范围为 . 14．已知，求证: (1); (2). 15．（1）求函数的值域； （2）已知，，且，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 【考点1：基本不等式求和的最小值】 【考点2：基本不等式求积的最大值】 【考点3：二次与二次(或一次)的商式的最值】 【考点4：条件等式求最值】 【考点5：基本不等式“1”的妙用求最值】 【考点6：对勾函数求最值】 【考点7：基本不等式的恒成立问题】 【考点8：基本(均值)不等式的应用】 知识点1 基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点2 基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4 利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 【考点1：基本不等式求和的最小值】 【典例1】若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【变式1-1】已知，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】已知，则， 由基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9. 故选：A. 【变式1-2】若,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为,由基本不等式得: ,当且仅当,即时等号成立, 即. 故选:C. 【变式1-3】已知，，且，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由得，， 所以 ，（当且仅当，即，时取得等号）. 故答案为：3 【考点2：基本不等式求积的最大值】 【典例2】已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 【变式2-1】若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 【变式2-3】若正数满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】利用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最大值为10． 故答案为：10 【考点3：二次与二次(或一次)的商式的最值】 【典例3】已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 【变式3-1】设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 【变式3-2】已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 【变式3-3】已知，的最小值为 . 【答案】 【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，则， 当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值． 故答案为： 【考点4：条件等式求最值】 【典例4】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式4-1】已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【变式4-2】已知，，，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】可通过基本不等式将等式转化为不等式，然后解不等式即可. 【详解】因为，，所以，即； 可解得，或，因为，，舍去.的最小值为8. 故答案为：8 【变式4-3】多选题已知正数a，b满足则ab的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式求解出的最值，从而得出结果. 【详解】解：依题意得， 则，当且仅当时，等号成立． 故选： 【考点5：基本不等式“1”的妙用求最值】 【典例5】若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 【变式5-1】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 【变式5-2】已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为非负实数满足， 显然，则，所以， 则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【变式5-3】若，，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用“1”的变形，结合基本不等式即可求解. 【详解】， 当，即，联立，得到时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9 【考点6：对勾函数求最值】 【典例6】若函数在 时取得最小值，最小值为 . 【答案】 5 6 【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定取值条件即可得答案. 【详解】由题设，则， 当且仅当时等号成立，函数最小值为6. 故答案为：5，6 【变式6-1】函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据函数形式结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】解：函数中 所以，当且仅当时，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：C. 【变式6-2】已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 【考点7：基本不等式的恒成立问题】 【典例7】多选题已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】利用基本不等式单位“1”的应用，求出的最小值，从而可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确. 故选：AB. 【变式7-1】若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】合理构造目标式，利用基本不等式求出最值，得到，再求解参数范围即可. 【详解】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为： 【变式7-2】两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以，故实数的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】，不等式恒成立，即， ，当且仅当时等号成立，故. 故答案为： 【考点8：基本(均值)不等式的应用】 【典例8】如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【变式8-1】用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【变式8-2】某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元 【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元． 【变式8-3】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)用x表示一年购买的总次数. (2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)20吨，160万元 【分析】（1）直接求解即可； （2）求出函数解析式，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）由一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，知一年购买的总次数次； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为y万元， 则，当且仅当即时，等号成立， 因此，每次购买20吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小，最小值为160万元. 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，当且仅当时取等， 所以，所以“”能推出“”， 取，满足，但， “”不能推出“”, 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 3．已知．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立， 取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题干等式变形得出，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为且，，所以， 则， 当且仅当时，即当，时，等号成立. 因此，的最小值是. 故选：C. 5．多选题已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D. 【详解】因为， 所以的符号不确定， 由不等式的性质知成立， 但不一定成立，故A正确，B错误； 因，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 6．多选题已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】借助基本不等式逐项判断即可得. 【详解】对A：由，得，所以， 当且仅当时取等号，故A正确； 对B：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对C：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC. 7．多选题已知，，，则（    ） A．且 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，可得，即可判断，同理判断，判断A；利用基本不等式可判断B，C，D； 【详解】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确； 对于B，，，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，，，则， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由于，故， 当且仅当时取等号，而，故，D正确， 故选：ABD 8．若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为为正数，， 所以，即，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：4． 9．设，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，结合已知条件解得，时取等号. 故答案为： 10．已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 11．在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故答案为：. 12．若，且满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由已知利用等式关系可得，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，且满足， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 13．设，若恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】因为，所以将转化为然后与相乘然后运用基本不等式求解. 【详解】因为,所以 . 当且仅当时，即时等号成立, 所以. 故答案为：. 14．已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 15．（1）求函数的值域； （2）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）分和两种情况，结合基本不等式即可求出函数的值域； （2）将变形为，由展开，结合基本不等式即可求. 【详解】（1）因为的定义域为， 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立； 当时， ； 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$