2.1 等式和不等式的性质（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

2.1等式和不等式的性质 【考点1：用不等式表示不等关系】 【考点2：由已知条件判断所给不等式是否正确】 【考点3：由不等式的性质比较数(式)大小】 【考点4：作差法比较代数式的大小】 【考点5：作商法比较代数式的大小】 【考点6：由不等式的性质证明不等式】 知识点1 等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝ 知识点2 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3 比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 【考点1：用不等式表示不等关系】 【典例1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【变式1-2】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【考点2：由已知条件判断所给不等式是否正确】 【典例2】若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果，，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点3：由不等式的性质比较数(式)大小】 【典例3】多选题已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】多选题已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】多选题已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点4：作差法比较代数式的大小】 【典例4】比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【变式4-1】比较大小： (1)比较与的大小． (2)比较与的大小． 【变式4-2】（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【变式4-3】比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【考点5：作商法比较代数式的大小】 【典例5】设，比较与的大小 【变式5-1】若，则、、、中最小的是 . 【变式5-2】，则的大小关系为 ． 【变式5-3】若实数，满足，则的取值范围为 . 【考点6：由不等式的性质证明不等式】 【典例6】证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【变式6-1】已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】多选题若，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知a、b都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 6．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 7．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．多选题下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．多选题下列式子中变形正确的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．多选题下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．多选题下列说法正确的有（    ） A．若则一定有 B．命题“”的否定为“” C．若，则 D．若，则 12．已知，则的取值范围是 . 13．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 14．（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 15．（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式和不等式的性质 【考点1：用不等式表示不等关系】 【考点2：由已知条件判断所给不等式是否正确】 【考点3：由不等式的性质比较数(式)大小】 【考点4：作差法比较代数式的大小】 【考点5：作商法比较代数式的大小】 【考点6：由不等式的性质证明不等式】 知识点1 等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝ 知识点2 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3 比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 【考点1：用不等式表示不等关系】 【典例1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 【变式1-2】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【变式1-3】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【考点2：由已知条件判断所给不等式是否正确】 【典例2】若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【详解】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 【变式2-1】如果，，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断AC，根据不等式的性质即可判断BD. 【详解】当时，，故A错误； 因为，所以，所以，故B错误； 当时，，由得不到，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质及反例可得答案. 【详解】对于A，满足，，但是不成立，所以A不正确. 对于B，满足，，但是不成立，所以B不正确. 对于C，因为，所以，因为，所以， 所以，所以C正确. 对于D，满足，，但是不成立，所以D不正确. 故选：C 【变式2-3】若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质可判断A，其余选项可用特殊值验证. 【详解】因为，，由不等式的可加性可得，故A正确； 当，，，时，，，，故B错误； 当，，，时，，，，故C错误； 当，，，时，，，，故D错误. 故选：A 【考点3：由不等式的性质比较数(式)大小】 【典例3】多选题已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误. 故选：AB. 【变式3-1】多选题已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论. 【详解】因为，，根据不等式的性质，则 ，故A正确； 同理： ，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 【变式3-2】多选题已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质和特殊值验证的方法验证即可. 【详解】因为，不妨令，，，.则，，，A错误；，，，C错误； 因为，所以，又因为，利用同向不等式可加性得，B正确； 因为，所以，利用同向同正不等式可乘性，所以，D正确； 故选：BD 【变式3-3】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以 ， 故选：A． 【考点4：作差法比较代数式的大小】 【典例4】比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系. 【详解】（1）， . （2）， ， ， 则， . 【变式4-1】比较大小： (1)比较与的大小． (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用差比较法，结合二次函数的性质确定正确答案. （2）利用差比较法，结合配方法确定正确答案. 【详解】（1）． 因为，所以，所以， 所以． （2） 因为 ，所以，当且仅当上且时取到等号． 【变式4-2】（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）（2）利用作差法即可得解. 【详解】（1）， 故； （2）， 因为，，故，， 当时，，即； 当时，，即； 【变式4-3】比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合作差比较法，即可求解. 【详解】（1）解：由， 所以. （2）解：由， 所以． 【考点5：作商法比较代数式的大小】 【典例5】设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 【变式5-1】若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 【变式5-2】，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 【变式5-3】若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式的加法性质可求. 【详解】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为：. 【考点6：由不等式的性质证明不等式】 【典例6】证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 又因为，所以，所以． （2）证明：由 ， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 【变式6-1】已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【变式6-3】多选题若，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质和作差法可逐项分析判断. 【详解】对于A，，，，当时，，则，即， 当时，，则，即，故A错误； 对于B，由，则，又，所以，故B正确； 对于C，，，，即，故C正确； 对于D，由题，当时，，则，故D错误. 故选：BC. 【变式6-3】（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可判断AB；举例说明即可判断CD. 【详解】A：若，当时，，故A错误； B：若，则，所以，故B正确； C：当，，，时，满足，；但，故C错误； D：当，时，满足，但，故D错误. 故选：B 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 3．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 4．已知a、b都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，不等式成立，而当时，满足，不等式不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 6．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举例说明即可判断AB；根据不等式的性质即可判断CD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：令，则，所以不成立，故B错误； C：由，得且，所以不成立，故C错误； D：由，得，又，所以，故D正确. 故选：D 7．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合不等式性质，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，不妨取，满足条件，但推不出； 当时，一定有， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 8．多选题下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】举反例判断A，B，利用不等式性质判断C，D. 【详解】取可得，，但，A错误； 取可得，，但，B错误； 因为，又，所以，故，C正确； 由，可得，所以，D正确； 故选：AB. 9．多选题下列式子中变形正确的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用等式的性质逐项验证即可. 【详解】对于A，两边同时减去，得到，故A正确； 对于B，没有说明，故B错误； 对于C，在等式两边同时乘以，得到，故C正确； 对于D，在等式两边同时乘以，得到，故D正确. 故选：ACD. 10．多选题下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质结合作差法分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A为假命题； 对于选项B：若，则，即，故B为真命题； 对于选项C：若，则，可得，故C为假命题； 对于选项D：因为，则，所以，故D为假命题； 故选：ACD. 11．多选题下列说法正确的有（    ） A．若则一定有 B．命题“”的否定为“” C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例可判断A；根据全称命题的否定是特称命题可判断B，根据不等式的性质可判断C；作差法可判断D. 【详解】对于A，若，则一定有，故A错误； 对于B，命题“”的否定为“”，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以 ，所以，故D正确. 故选：BCD. 12．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定，，得到范围. 【详解】，则，，故. 故答案为：. 13．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见详解. 【分析】（1）作差比较即可；     （2）利用不等式性质推导可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 又，所以，所以， 所以，即， 又，所以. 14．（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 【答案】（1）；（2）证明详见解析 【分析】（1）根据不等式的性质求得正确答案. （2）通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】（1）依题意，则， 所以，所以的取值范围是. （2），， ，， 即. 15．（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$