专题2.3 二次函数与一元二次方程不等式（8个考点1个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

专题2.3 二次函数与一元二次方程,不等式 （8个考点1个易错点） 【考点1：求二次函数的值域或最值】 【考点2：二次函数的图象分析与判断】 【考点3：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【考点4：解一元二次不等式】 【考点5：根据一元二次不等式解求参数】 【考点6：一元二次不等式恒成立】 【考点7：不等式分式的解法】 【考点8：实际问题】 【易错点1 一元二次不等式及其应用】 【考点1：求二次函数的值域或最值】 1．已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小值为（    ） A．－1 B．0 C．3 D．4 4．函数在上的最小值为 . 5．已知，函数的最大值是 ． 【考点2：二次函数的图象分析与判断】 6．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   7．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．在同一直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数（m是常数，且m≠0）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   9．多选题如图，若二次函数的图象的对称轴是直线，则下列四个结论中，错误的是（   ）    A． B． C． D． 10．多选题已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D．（其中且） 11．多选题如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为，给出下面四个结论正确的为（    ）    A． B． C． D． 【考点3：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 12．函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 13．函数的单调递增区间为 . 14．函数的递减区间是 ． 15．关于x的不等式的解集为，则二次函数的单调增区间为 ． 16．已知函数． (1)若函数在为单调函数，求a的取值范围； (2)当，解不等式． 【考点4：解一元二次不等式】 17．不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 18．一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 19．不等式的解集为 . 20．解下列不等式： (1) (2) 21．解下列不等式； (1)； (2)； (3)； (4)． 22．解下列不等式． (1) (2) 23．解下列不等式 (1) (2) 【考点5：根据一元二次不等式解求参数】 24．不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 25．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．已知不等式的解是 (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集． 27．已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解不等式. 【考点6：一元二次不等式恒成立】 28．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 32．已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．多选题已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 34．多选题当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（    ） A． B． C． D． 35．若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【考点7：不等式分式的解法】 36．不等式的解集为 . 37．不等式的解集为 . 【考点8：实际问题】 38．中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 39．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 40．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 41．设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额. (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机? (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少? 【易错点1 一元二次不等式及其应用】 1．已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}”是“a+b+c＝0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式（x+3）2＜1的解集是（　　） A．{x|x＞﹣2} B．{x|x＜﹣4} C．{x|﹣4＜x＜﹣2} D．{x|﹣4≤x≤﹣2} 3．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例[1.1]＝1，[3.8]＝3，[﹣2.3]＝﹣3，[5]＝5，那么使得不等式﹣6[x]2+5[x]+21＞0成立的x的取值范围是（　　） A．﹣2≤x≤3 B．﹣1＜x＜3 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1≤x＜3 4．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解是x＜﹣2或，则关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解是（　　） A．x＜﹣2或 B． C． D．x＞2或 6．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 7．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|a+1＜x＜3a+1}． （1）当a＝2时，求A∪B； （2）若A∩B＝B，求a的取值范围． 8．集合A＝{x|ax2﹣3x﹣4≥0}，B＝{x|x≥b或x≤﹣1}，且A＝B． （1）求a，b的值； （2）若集合P＝{x|m+1＜x＜2m}，且“x∈P”是“x∈∁RA”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 9．设全集为R，集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}，B＝{x|a+1＜x＜2a﹣1}． （1）若a＝4，求A∪B，A∩∁RB； （2）若（∁RA）∩B＝∅，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次函数与一元二次方程,不等式 （8个考点1个易错点） 【考点1：求二次函数的值域或最值】 【考点2：二次函数的图象分析与判断】 【考点3：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【考点4：解一元二次不等式】 【考点5：根据一元二次不等式解求参数】 【考点6：一元二次不等式恒成立】 【考点7：不等式分式的解法】 【考点8：实际问题】 【易错点1 一元二次不等式及其应用】 【考点1：求二次函数的值域或最值】 1．已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线， 所以当时取最大值， 故选：C 2．二次函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数最值求法直接求解即可. 【详解】， 当时，. 故选：B. 3．函数的最小值为（    ） A．－1 B．0 C．3 D．4 【答案】B 【分析】考查函数对称轴与区间关系，找出最小值点，计算即可. 【详解】 函数图象开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，. 故选： 4．函数在上的最小值为 . 【答案】 【分析】二次函数在某区间的最值，结合图像的开口方向，对称轴，离对称轴的远近可得. 【详解】函数,其图像开口向下，对称轴为， ，离对称轴较远，则 故答案为： 5．已知，函数的最大值是 ． 【答案】/0.125 【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值． 【详解】 ， ∴, 当且仅当时，即时等号成立， 因此，函数的最大值为. 故答案为:. 【考点2：二次函数的图象分析与判断】 6．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象. 【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，， 故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A 7．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D 8．在同一直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数（m是常数，且m≠0）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析各选项中图象，假设直线符合要求时估计参数的范围，再确定二次函数图象是否满足要求即可得． 【详解】选项A中，直线位置显示，此时抛物线开口方向应向上，A错误； 选项B中，直线位置显示，此时抛物线开口方向向上但对称轴方程为，而，B错误，由此可得D满足要求，D正确； 选项C中，直线位置显示，此时抛物线开口方向应向下，C错误； 故选：D． 9．多选题如图，若二次函数的图象的对称轴是直线，则下列四个结论中，错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由图象得出a， c的符号，由对称轴的位置即可得a与b的关系，即可判断A与B选项，由抛物线与x轴的交点个数即可判断C选项，由图象知和时y值相等，由此可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴， ∵抛物线的对称轴为直线，∴， ∴，∴，故A正确； ∵，∴，故B错误； ∵抛物线与x轴有两个交点，∴， ∴，∴C正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和时，y的值相等， ∴当时，，∴， ∴，∴D错误. 故选：BD． 10．多选题已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D．（其中且） 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，结合二次函数的性质用表示，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，二次函数图象对称轴为，过点， 由对称性得该图象还过点，于是，即，显然， 因此，，，，C错误，AB正确； 当时，，而， 即，D正确. 故选：ABD 11．多选题如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为，给出下面四个结论正确的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由二次函数的图像性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为图像与轴交于两点，所以，即，故A正确； 对称轴为，即，所以，故B错误； 结合图像，当时，，即，故C错误； 由对称轴为知，，根据抛物线开口向下，知，所以， 即，故D正确. 故选：AD 【考点3：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 12．函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 【答案】 4   【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值． 【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线， 对称轴是直线，因此减区间是， 在区间上， 时，递增，时，递减，因此， 故答案为：；4. 13．函数的单调递增区间为 . 【答案】和 【分析】画函数图像，再根据图像得出结果. 【详解】函数，开口向上与轴的两个交点 对称轴为， 图像如下 所以函数单调递增区间为 故答案为： 14．函数的递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 可得其图象开口向下，图象的对称轴是直线，故其递减区间是． 故答案为：. 15．关于x的不等式的解集为，则二次函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据二次不等式的解集与根的关系可得且开口向下，进而根据二次函数的对称轴求得单调递增区间. 【详解】因为关于x的不等式的解集为，故，且，，故，. 故二次函数，开口向下，对称轴为， 故函数的单调增区间为. 故答案为： 16．已知函数． (1)若函数在为单调函数，求a的取值范围； (2)当，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1） 讨论a及轴与0和2的关系（2）分解因式利用分类讨论求解a在不同范围内的不等式的解 【详解】（1）①当a＝0时，在上单调递减，符合题意； ②当时，对称轴，由题意得或，∴或， 综上，所求a的取值范围是． （2）①当a＝0时，；∴． ②当a＞0时，由得x＝1或， （i）当即时，， （ii）当即时，， （iii）当即时，， 综上，当a＝0时，所求不等式的解集为． 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为． 【考点4：解一元二次不等式】 17．不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】由，得， 得，解得， 所以不等式的解集为， 故选：C 18．一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】把不等式的二次项系数化为正数，然后因式分解以便确定相应方程的根，从而写出不等式的解集． 【详解】原不等式可化为，即．∴． 故选：C． 19．不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】解一元二次不等式，求出解集. 【详解】， 解得或， 故答案为：或 20．解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集； （2）将不等式等价转化，计算对应方程的根的判别式，结合二次函数的图象即得其解集. 【详解】（1）由可得，解得，故不等式的解集为； （2）由可得，因方程的根的判别式为，方程的根为，故不等式的解集为. 21．解下列不等式； (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法解原不等式，即可得出诸不等式的解集. 【详解】（1）解：由可得，解得或， 故原不等式的解集为或. （2）解：由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （3）解：由可得，解得或， 故原不等式的解集为. （4）解：由可得，，故原不等式的解集为. 22．解下列不等式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】结合二次方程的根及二次函数的图象求解一元二次不等式. 【详解】（1）对于方程，因为，所以方程有两个相等的实数根， 解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为； （2）原不等式可化为， 对于方程，方程有两个实数根，解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为 故所求不等式的解集为. 23．解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式运算求解； （2）分、和三种情况，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 注意到，所以不等式的解集为. （2）因为，即， 令，解得或， 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 综上所述：若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 【考点5：根据一元二次不等式解求参数】 24．不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由题设是的两个根，则， 所以，即， 故不等式解集为. 故选：B 25．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 26．已知不等式的解是 (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式对应方程的关系，利用根与系数的关系列出等式关系，即可求出a、b的值； （2）把（1）中a、b的值代入不等式求解即可． 【详解】（1）等式的解是 ∴是方程的两个实数根， 由根与系数的关系知 ， 所以 （2）根据（1）知，不等式可化为 ， 解得， 所以不等式的解集为． 27．已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 （1）由题意可得，且方程的解为，结合韦达定理即可得解； （2）分三种情况讨论即可得解. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且方程即方程的解为， 所以， 所以； （2）由（1）得不等式即， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【考点6：一元二次不等式恒成立】 28．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，把问题转化为，构造，利用单调性求得最值，即可求解范围. 【详解】当时，由得，则. 令，则根据对勾函数单调性知，在上是减函数， 所以时，则，所以的取值范围是. 故选：A. 29．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，由基本不等式得，故. 【详解】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C 30．若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 31．已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，再结合基本不等式即可得解. 【详解】当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以. 故选：B. 32．已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将参数与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m的取值范围. 【详解】根据题意当时，不等式恒成立， 则恒成立，只需即可； 易知当时，由基本不等式可得，当且仅当时取等号； 所以，即， 所以实数m的取值范围是. 故选：A 33．多选题已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 【答案】BCD 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围，得到答案. 【详解】当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确. 故选：BCD 34．多选题当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将时，不等式恒成立，转化为时，不等式恒成立求解. 【详解】解：因为时，不等式恒成立， 所以时，不等式恒成立， 令，由对勾函数的性质得在上递减， 所以，则， 所以， 所以m的范围可以是，， 故选：AB 35．若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题可转化为当时，恒成立，令后可分离常数用基本不等式求出最小值，从而可得的取值范围. 【详解】由，得， 因为，所以，则恒成立， 令， 则，因为， 所以，当且仅当即时取等号， 所以. 故答案为： 【考点7：不等式分式的解法】 36．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式化为求解集. 【详解】由， 所以不等式解集为. 故答案为： 37．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式求解，移项通分变形，可由符号法则转化为整式不等式求解. 【详解】不等式可化为， 即，则有①，或②， 由①得， 由②得，解得， 故原不等式的解集为. 故答案为： 【考点8：实际问题】 38．中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 39．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【答案】花卉的宽度至少为 【分析】设花卉带的宽度为，根据已知条件求出的取值范围，求出草坪的长和宽，根据题意可得出关于的不等式，解之即可得出结论. 【详解】解：设花卉带的宽度为，则，可得， 所以，草坪的长为，宽为， 则草坪的面积为， 因为草坪的面积不超过总面积的一半，则， 整理可得，解得，又因为，可得. 所以，花卉的宽度至少为. 40．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速． 【分析】由题意列不等式求解后判断， 【详解】由题意得，对于甲车，， 即，而，解得， 甲车未超过规定限速， 同理对于乙车，， ，而，解得， 乙车超过规定限速． 答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速． 41．设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额. (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机? (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少? 【答案】(1)4台电机 (2)当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元. 【分析】（1）通过解不等式，计算即得结论； （2）通过（1）可知当时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论． 【详解】（1）解：依题意，，即， 整理得，解得或（舍， 企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机； （2）解：由（1）可知当时企业亏损， 亏损额， 当时，取最大值， 此时， 即当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元． 【易错点1 一元二次不等式及其应用】 1．已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}”是“a+b+c＝0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：由题意知，一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}，所以a＞0且， 所以b＝﹣2a，且c＝a；所以a+b+c＝0，充分性成立； 若a≠0，且a+b+c＝0，则ax2+bx+c＞0可化为ax2+bx﹣a﹣b＞0，即（x﹣1）（ax+a+b）＞0，a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x+1+）＞0，b＝0时不等式的解集不是{x|x≠1}，必要性不成立； 所以是充分不必要条件． 故选：A． 2．不等式（x+3）2＜1的解集是（　　） A．{x|x＞﹣2} B．{x|x＜﹣4} C．{x|﹣4＜x＜﹣2} D．{x|﹣4≤x≤﹣2} 【答案】C 【解答】解：【方法一】不等式（x+3）2＜1可化为x2+6x+8＜0， （x+4）（x+2）＜0， 解得﹣4＜x＜﹣2， ∴该不等式的解集为{x|﹣4＜x＜﹣2}． 【方法二】不等式（x+3）2＜1可化为﹣1＜x+3＜1， 两边都减去3，得﹣4＜x＜﹣2， ∴该不等式的解集为{x|﹣4＜x＜﹣2}． 故选：C． 3．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例[1.1]＝1，[3.8]＝3，[﹣2.3]＝﹣3，[5]＝5，那么使得不等式﹣6[x]2+5[x]+21＞0成立的x的取值范围是（　　） A．﹣2≤x≤3 B．﹣1＜x＜3 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1≤x＜3 【答案】D 【解答】解：由题意得，6[x]2﹣5[x]﹣21＜0， 即（2[x]+3）（3[x]﹣7）＜0， 解得， 所以﹣1≤x＜3． 故选：D． 4．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}， 所以1和2是对应方程ax2+bx+c＝0的解，且a＜0， 由根与系数的关系知，， 解得b＝﹣3a，c＝2a， 所以不等式bx2+ax+c＜0化为﹣3ax2+ax+2a＜0， 即3x2﹣x﹣2＜0，解得﹣＜x＜1， 所以不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}． 故选：C． 5．若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解是x＜﹣2或，则关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解是（　　） A．x＜﹣2或 B． C． D．x＞2或 【答案】C 【解答】解：由不等式ax2+bx+c＜0的解是x＜﹣2或， 则a＜0，且﹣＝﹣2﹣＝﹣，＝﹣2×（﹣）＝1， 即b＝a，c＝a， ∴不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：x2﹣x+1＜0， 化简得（2x﹣1）（x﹣2）＜0， 解得：＜x＜2． ∴所求不等式的解集为（，2）． 故选：C． 6．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】A 【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解， 等价于a＜，x∈[1，4]； 设f（x）＝﹣x，x∈[1，4]， 则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减， 且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1； 所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：A． 7．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|a+1＜x＜3a+1}． （1）当a＝2时，求A∪B； （2）若A∩B＝B，求a的取值范围． 【答案】（1）{x|﹣1＜x＜7}． （2）（﹣∞，1]． 【解答】解：（1）由题意得，A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}； 当a＝2时，B＝{x|3＜x＜7}， 所以A∪B＝{x|﹣1＜x＜7}． （2）若A∩B＝B，则B⊆A， 所以当B＝∅时，a+1≥3a+1，解得a≤0； 当B≠∅时，，解得0＜a≤1； 综上，a的取值范围是（﹣∞，1]． 8．集合A＝{x|ax2﹣3x﹣4≥0}，B＝{x|x≥b或x≤﹣1}，且A＝B． （1）求a，b的值； （2）若集合P＝{x|m+1＜x＜2m}，且“x∈P”是“x∈∁RA”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）b＝4，a＝1； （2）（1，2]． 【解答】解：（1）因为A＝B，B＝{x|x≥b或x≤﹣1}， 所以x＝﹣1是方程ax2﹣3x﹣4＝0的根，所以a＝1． 由x2﹣3x﹣4≥0可得x≥4或x≤﹣1，所以A＝{x|x≥4或x≤﹣1}， 又因为A＝B，B＝{x|x≥4或x≤﹣1}， 所以b＝4，a＝1． （2）因为A＝{x|x≥4或x≤﹣1}， 所以∁RA＝{x|﹣1＜x＜4}， 因为“x∈P”是“x∈∁RA”的充分不必要条件，所以P是∁RA的真子集， 所以或，则1＜m≤2， 所以实数a的取值范围是（1，2]． 9．设全集为R，集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}，B＝{x|a+1＜x＜2a﹣1}． （1）若a＝4，求A∪B，A∩∁RB； （2）若（∁RA）∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，A∩（∁RB）＝{x|x＜﹣1或x≥7}； （2）{a|a≤2或a≥5}． 【解答】解：（1）因为集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞6}， a＝4时，集合B＝{x|5＜x＜7}， 所以A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞5}， 又因为全集为R，所以∁RB＝{x|x≤5或x≥7}， 所以A∩（∁RB）＝{x|x＜﹣1或x≥7}； （2）因为∁RA＝{x|﹣1≤x≤6}，且（∁RA）∩B＝∅， 所以a+1≥2a﹣1时，a≤2，此时B＝∅，满足题意； 由，解得a≥5； 由，解得a∈∅； 综上，实数a的取值范围是{a|a≤2或a≥5}． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$