专题2.1 等式和不等式的性质（6个考点2个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

专题2.1 等式和不等式的性质（6个考点3个易错点） 【考点1：用不等式表示不等关系】 【考点2：由已知条件判断所给不等式是否正确】 【考点3：由不等式的性质比较数(式)大小】 【考点4：作差法比较代数式的大小】 【考点5：作商法比较代数式的大小】 【考点6：由不等式的性质证明不等式】 【易错点1 等式与不等式的性质】 【易错点2不等关系与不等式】 【易错点3不等式比较大小】 【考点1：用不等式表示不等关系】 1．将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 3．多选题某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【考点2：由已知条件判断所给不等式是否正确】 4．，则正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 6．若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．如果，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．多选题已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【考点3：由不等式的性质比较数(式)大小】 10．实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．多选题若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 14．多选题已知，，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 15．多选题若，则（    ） A． B． C． D． 16．多选题已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 17．多选题若，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 18．多选题已知，则（    ） A． B． C． D． 19．多选题已知实数，，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点4：作差法比较代数式的大小】 20．已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 21．已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22．设，，则有（　　） A． B． C． D． 23．已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．设，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 25．已知，，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 26．若，则A、B的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 27．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【考点5：作商法比较代数式的大小】 28．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 29．已知，试比较和的大小. 30．已知，试比较与的大小. 【考点6：由不等式的性质证明不等式】 31．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 32．已知，，，求证： 33．（1）已知，求证：； （2）若.求证：. 34．阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【易错点1 等式与不等式的性质】 1．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则 C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D．若a＜b＜0，则 （多选）2．若a，b，c，d∈R，则下列命题中真命题的是（　　） A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＜b＜0，则 C．若bc﹣ad≥0，bd＞0，则 D．若，则a＞b （多选）3．下列命题为真命题的是（　　） A．若b＜a＜0，则b2＞a2 B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd C．若ac＞bc，则 D．若，c＜0，则 【易错点2不等关系与不等式】 4．设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　） A．a2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＞bd D． 5．已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（　　） A． B． C． D．ac＞bc 【易错点3不等式比较大小】 6．比较大小： 　 ． 7．试比较下列各数大小： （1）与； （2）与． 8．与的大小关系为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式和不等式的性质（6个考点3个易错点） 【考点1：用不等式表示不等关系】 【考点2：由已知条件判断所给不等式是否正确】 【考点3：由不等式的性质比较数(式)大小】 【考点4：作差法比较代数式的大小】 【考点5：作商法比较代数式的大小】 【考点6：由不等式的性质证明不等式】 【易错点1 等式与不等式的性质】 【易错点2不等关系与不等式】 【易错点3不等式比较大小】 【考点1：用不等式表示不等关系】 1．将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案. 【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以， 化简得：. 故选：D 2．下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案. 【详解】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误. 故选：B. 3．多选题某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意直接列不等式即可求解. 【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板， 所以， 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板， 所以. 故选：BC. 【考点2：由已知条件判断所给不等式是否正确】 4．，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质结合取特殊值排除的方法逐项分析即可. 【详解】对于A，因为，所以由不等式的性质可得，故A正确； 对于B，令，满足，但是，故B错误； 对于C，令，满足，但是，故C错误； 对于D，可能是负数，此时无意义，故D错误； 故选：A. 5．若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质一一判定选项即可. 【详解】若，故A错误； 若，故B错误； 若，故C错误； 显然，故D正确. 故选：D 6．若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】由，， ，故A错； ，故C错； ，故D错； 由不等式的性质易知B正确. 故选：B 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a和b的关系，通过移项，化简，平方依次判断选项是否正确. 【详解】由，且知，则，故A错误； ，故B错误； 由得，即，故C错误； ，即，故D正确. 故选：D. 8．如果，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断. 【详解】对A、B：由，不妨设，，则，，故A、B项错误； 对于C：由，所以，故C项错误； 对于D：由，所以，故D项正确. 故选：D. 9．多选题已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 【考点3：由不等式的性质比较数(式)大小】 10．实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴点的位置以及不等式相关性质直接求解. 【详解】对于A，由数轴可得，，， 所以，，则，故选项A错误； 对于B，由，，，得，故选项B错误； 对于C，因为，即，又，所以， 又，所以，故选项C错误； 对于D，因为，，且由图可知，即， 所以，又，所以，故选项D正确． 故选：D 11．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，虽说，但是，错误； 对于B，成立时，不一定成立，比如时，， 此时，错误； 对于C，举反例，当时，满足，此时，， 则有，错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，正确. 故选：D 12．已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式性质可判断选项A，B，C；取特殊值可判断选项D. 【详解】对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A 错误； 对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确； 对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误； 对于选项D：当时，，故选项D错误. 故选：B 13．多选题若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 【详解】对A，若，则，两边同时除以， 所以，A错误； 对B，由可得，B正确； 对C，因为， 所以， 即，C正确； 对D，由可得，， 所以，D正确． 故选：BCD. 14．多选题已知，，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用不等式性质判断各项的正误即可. 【详解】由题设，故，A错； 由，则，B错； 由题设，则，C错； 由题设，则，又，故，D对. 故选：ABC 15．多选题若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】对A，因为所以A正确； 对B，因为，所以B正确； 对C，因为，所以， 所以，所以，C正确； 对D，时，，D错误． 故选:ABC. 16．多选题已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据结合不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A选项：，，，故A正确； 对于B选项：，，，故B正确； 对于D选项：，，，故D正确； 对于C选项：由，可取，此时，故C错误. 故选：ABD. 17．多选题若，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由不等式的性质，应用特殊值法判断各项正误. 【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：因为，，所以，故C正确； 对于D：当时，，而，所以， 当时，，所以，而，所以， 综上，故D正确； 故选：BCD 18．多选题已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质逐个判断即可. 【详解】对于A：由，得，则，A正确； 对于B：由两边同时乘以，不等号反向，得，B正确； 对于C：由两边同时除以，得，C不正确； 对于D：由可得，同除以，可得，D正确， 故选：ABD 19．多选题已知实数，，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】举反例排除A；利用不等式的性质逐一判断BCD即可得解. 【详解】当，，，时，满足条件， 此时，A项错误； 由，得， 则，，所以，B项正确； 由，，得，C项正确； 由，得，所以，则， 又，所以，D项正确． 故选：BCD． 【考点4：作差法比较代数式的大小】 20．已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 21．已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】∵，当且仅当时取等号， ∴. 故选：D. 22．设，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作差法即可比大小. 【详解】， 故， 故选：C. 23．已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法计算即可. 【详解】， 当且仅当时取得等号，所以. 故选：D 24．设，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由，， 可得，所以. 故选：C. 25．已知，，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用作差比较法可得答案. 【详解】因为 ， 所以. 故选：A. 26．若，则A、B的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法结合配方法比较大小. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 27．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】借助作差法计算即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 【考点5：作商法比较代数式的大小】 28．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 29．已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 30．已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【考点6：由不等式的性质证明不等式】 31．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 32．已知，，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式性质即可证明. 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴. 33．（1）已知，求证：； （2）若.求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】由不等式的性质证明即可. 【详解】（1），，， 而，即，. （2）， ，即， ，即. 34．阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答. 【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ， 所以原不等式成立. 【易错点1 等式与不等式的性质】 1．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则 C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D．若a＜b＜0，则 【答案】C 【解答】解：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，不满足ac2＞bc2，选项A错误； 对于B，a＞0＞b时，＞0＞，不满足＜，选项B错误； 对于C，a＜b＜0时，﹣a＞﹣b＞0，所以（﹣a）2＞（﹣a）（﹣b）＞（﹣b）2＞0，即a2＞ab＞b2，选项C正确； 对于D，令a＝﹣2，b＝﹣1，则＝，＝2，不满足，选项D错误． 故选：C． （多选）2．若a，b，c，d∈R，则下列命题中真命题的是（　　） A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＜b＜0，则 C．若bc﹣ad≥0，bd＞0，则 D．若，则a＞b 【答案】ACD 【解答】解：对于A，若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，所以a﹣c＞b﹣d，选项A正确； 对于B，若a＜b＜0，则b2﹣a2＜0，所以﹣＝＜0，即＜，选项B错误； 对于C，若bc﹣ad≥0，bd＞0，则﹣＝≤0，所以≤，选项C正确； 对于D，若＞，则c2＞0，所以a＞b，选项D正确． 故选：ACD． （多选）3．下列命题为真命题的是（　　） A．若b＜a＜0，则b2＞a2 B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd C．若ac＞bc，则 D．若，c＜0，则 【答案】ABD 【解答】解：对于A，若b＜a＜0，则﹣b＞﹣a＞0，所以（﹣b）2＞（﹣a）2＞0，即b2＞a2，选项A正确； 对于B，若a＞b＞0，c＞d＞0，根据同向不等式相乘，得ac＞bd，选项B正确； 对于C，若ac＞bc，则c＞0时，a＞b，c＜0时，不能得出，所以选项C错误； 对于D，若，且c＜0，则＞0，选项D正确． 故选：ABD． 【易错点2不等关系与不等式】 4．设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　） A．a2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＞bd D． 【答案】D 【解答】解：当a＝3，c＝﹣2，d＝﹣3时，a2＞cd，故选项A错误； 当a＝3，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时，a﹣c＞b﹣d，故选项B错误； 当a＝3，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时，ac＜bd，故选项C错误； 因为a＞b＞0＞c＞d，所以﹣＝＞＝＞0， 故﹣＞0，D选项正确． 故选：D． 5．已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（　　） A． B． C． D．ac＞bc 【答案】B 【解答】解：对于A，因为a＞b＞0，所以＜，所以a+＞b+，选项A错误； 对于B，因为a＞b＞0，所以﹣＝＝＜0，选项B正确； 对于C，当a＝2，b＝1，c＝﹣1时，＝，＝1，＜，选项C错误； 对于D，因为a＞b，c＜0，所以ac＜bc，选项D错误． 故选：B． 【易错点3不等式比较大小】 6．比较大小： 　≥　． 【答案】≥． 【解答】解：因为（+）﹣（+）＝（﹣）+（﹣） ＝（﹣）+（﹣） ＝（﹣）（﹣）， 所以，当a≥b＞0时，，，所以， 即； 当0＜a＜b时，，，所以， 即； 综上知，． 故答案为：≥． 7．试比较下列各数大小： （1）与； （2）与． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为，， 且， 所以， 所以． （2）因为，， 且， 所以， 所以． 8．与的大小关系为 　﹣1＞　． 【答案】﹣1＞ 【解答】解：∵﹣1＞0，＞0， 且（﹣1）2﹣（）2＝4﹣2﹣＝＝＞0， ∴﹣1＞， 故答案为：﹣1＞． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$