1.2.4绝对值（分层练习，6大题型提分练，新教材）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

1.2.4绝对值（六大题型提分练） 题型一、求一个数的绝对值 1．（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若，则 ． 4．（20-21七年级上·江苏南京·阶段练习）若与互为相反数，则 等于 . 5．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）的相反数为 ，的绝对值等于 ． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数轴上分别画出表示下列各数的点，并写出它们的绝对值：，0.5，，，0，-5． 题型二、绝对值的意义 7．（2024·浙江温州·三模）下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 10．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数x的取值范围为 ． 11．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ． 12．（23-24七年级上·全国·假期作业）如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 题型三、化简绝对值 13．（七年级上·黑龙江大庆·期末）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（21-22七年级上·江西吉安·期末），且在原点左侧，则 ． 15．（20-21七年级上·广东惠州·阶段练习）化简： ． 16．（21-22七年级上·北京海淀·期末）数的位置如图，化简 ． 17．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，，并且，求，的值． 18．（2022七年级上·浙江·专题练习）按要求解答： 有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)将a，，b，，0，1，用“＜”号连接； (2)化简：　　，　　，　　，　　． 题型四、绝对值的非负性 19．（七年级上·江苏苏州·阶段练习）若，a一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 20．（21-22七年级上·海南省直辖县级单位·期中）式子取最小值时，等于(    ) A． B． C． D． 21．（23-24七年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，则 ． 22．（七年级上·全国·课后作业）已知非零有理数a、b满足则的值为 ． 23．（21-22七年级上·全国·课后作业）对于任意有理数m，当m为何值时，有最大值？最大值为多少？ 24．（19-20七年级上·河北秦皇岛·期中）已知为整数 （1）能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时= ． （2）+2能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时= ． （3）能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时= ． （4）能取最 （填“大”或“小”）值是 ． 此时= ． 题型五、绝对值方程 25．（21-22七年级上·全国·课后作业）（1）若，则 ；若，则 ． （2）绝对值不大于11的整数有 个． （3）若，则a的取值范围是 ． 26．（21-22七年级上·安徽淮北·阶段练习）（1）如果一个数的绝对值等于，那么这个数是 ； （2）若，则 ． 27．（21-22七年级上·广东深圳·期中）若|x+3|﹣|x﹣5|＝8，则x的取值范围是 ． 28．（23-24七年级上·全国·课后作业）如果一个物体某个量的实际值为，测量值为，我们把称为绝对误差，把称为相对误差．例如，某个零件的实际长度为，测量得，那么测量的绝对误差为0.2，相对误差为．若某个零件测量所产生的绝对误差为，相对误差为，求该零件的测量值的值． 题型六、绝对值的实际应用 29．（21-22七年级上·全国·课后作业）正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定．现有一场足球比赛，选取6个足球对其质量进行了检测，检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）如下： ．请指出哪个足球更标准？为什么？ 30．（17-18七年级上·河南新乡·阶段练习）已知零件的标准直径是，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径（） （1）指出哪件样品的直径最符合要求； （2）如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间是次品，误差的绝对值超过是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 31．（23-24七年级上·全国·课后作业）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于） (2)如果，那么________； (3)若，，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是________，最小距离是________． 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上点、、分别表示数、、，且，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（23-24七年级上·重庆綦江·期末）已知在数轴上对应的点如图所示，则代数式化简后的结果为（ ） A．3 B． C． D． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a，c异号，为负数，则（    ） A．为负数 B．比小 C．比大 D．为负数 6．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 7．（23-24七年级上·山西运城·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023七年级上·全国·专题练习）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的距离表示为； ②若，则； ③若存在整数，使的值最小时，则，0，2； ④若的最小值是2，则． 则上述说法，正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 9．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ； 10．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则的值是 ． 11．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：＝ ． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）对于任意有理数和、都不为，满足，则对于下列关系式：①；②；③；④，其中一定成立的是 ．(只填序号) 13．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，则 的值是 14．（23-24七年级上·浙江金华·期末）电影《哈利·波特》中，哈利·波特穿墙进入“站台”的镜头（如图中的A站台），构思巧妙，给观众留下了深刻的印象．若B，C分别称为“站台”和“站台”，且，则D站台用类似电影中的方法可称为“ 站台”．    三、解答题 15．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 16．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面材料：    在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点分别表示数，则两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为 ； (2)当时， ；当时， ． (3)借助（2）的发现，计算：． (4)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数 ． 17．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则； ②当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，， 则， 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知三个有理数，，满足，求； (2)已知，，且，求的值． ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.4绝对值（六大题型提分练） 题型一、求一个数的绝对值 1．（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 【详解】解：，，， 故答案为：，，2． 3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查绝对值的性质，非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 4．（20-21七年级上·江苏南京·阶段练习）若与互为相反数，则 等于 . 【答案】 【详解】此题考查了相反数，绝对值问题，根据相反数的定义可得，再整体代入算式计算即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）的相反数为 ，的绝对值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数和绝对值，根据相反数的定义，绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：，它的相反数为； ，它的绝对值为． 故答案为：，． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数轴上分别画出表示下列各数的点，并写出它们的绝对值：，0.5，，，0，-5． 【答案】图见解析，，，，，0，5 【分析】先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上分别画出表示下列各数的点；然后根据绝对值的定义，求出它们的绝对值即可． 【详解】在数轴上表示为    ，，，，，． 【点睛】此题考查了在数轴上表示数的方法，以及绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解答本题的关键． 题型二、绝对值的意义 7．（2024·浙江温州·三模）下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数中的相关概念，掌握绝对值，负整数，正整数的概念是解题的关键． 【详解】解：绝对值最小的数是，即， 最大的负整数为，即， 最小的正整数为，即， 故选：A ． 9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值．根据非正数的绝对值等于他的相反数，可得答案． 【详解】解：非正数的绝对值等于他的相反数，， ∴一定是非正数， 故选：C． 10．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示点和绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．利用绝对值的定义得出，求解即可． 【详解】解：∵数轴上表示数x的点与原点的距离不大于3， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ． 【答案】 2，1，0，， 0，1 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】绝对值小于2.5的所有整数是2，1，0，，； 绝对值等于它本身的数是0，1． 故答案为：2，1，0，，；0，1． 12．（23-24七年级上·全国·假期作业）如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴的认识及两点间距离的计算，绝对值的意义； （1）由图可知，数轴上、所表示的数，分别为：，； （2）由图知，点的坐标原点，点的坐标点的坐标； （3）由（2）可得，点的坐标点的坐标； 【详解】（1）解：由图可知，数轴上点表示的数是；点表示的数是； （2）由图可得，点表示的点为，所以，， 又点表示的点为，所以； （3）由图可得，数轴上、两点所表示的数分别为、，则． 题型三、化简绝对值 13．（七年级上·黑龙江大庆·期末）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值的非负性可求出a的范围． 【详解】由题意可知：|-2a|≥0， ∴-2a≥0， ∴a≤0 故选C． 【点睛】本题考查绝对值的性质，涉及不等式的解法，熟练掌握其性质是解题的关键 ． 14．（21-22七年级上·江西吉安·期末），且在原点左侧，则 ． 【答案】-2 【分析】利用数轴及绝对值得出a的值，再根据在原点左侧确定a的值即可． 【详解】∵， ∴a-3=5或a-3=-5， ∴a=8或a=-2， ∵在原点左侧， ∴a=-2． 故答案为 -2 【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是利用数轴及绝对值得出a的值． 15．（20-21七年级上·广东惠州·阶段练习）化简： ． 【答案】1 【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算． 【详解】解：|π-3|+|4-π|=π-3+4-π=1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟记求绝对值的法则． 16．（21-22七年级上·北京海淀·期末）数的位置如图，化简 ． 【答案】4 【分析】根据数轴判断，与0的大小关系，然后即可化简原式． 【详解】由数轴可知：， ∴，， ∴原式，             =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的大小，解题的关键是掌握绝对值的性质，判断式子与0的关系． 17．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，，并且，求，的值． 【答案】， 【分析】首先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据确定a、b的对应情况． 【详解】因为，， 所以，． 因为， 所以，． 【点睛】本题考查绝对值的性质和比较大小，熟记绝对值的性质是解题的关键． 18．（2022七年级上·浙江·专题练习）按要求解答： 有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)将a，，b，，0，1，用“＜”号连接； (2)化简：　　，　　，　　，　　． 【答案】(1) (2)，b，， 【分析】（1）根据数轴的特点：右边的数总比左边的数大，即可解答； （2）根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，化简绝对值即可． 【详解】（1）由数轴即可直接得出． （2）∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，b，，． 【点睛】本题考查根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值．掌握数轴的特点和绝对值的性质是解题关键． 题型四、绝对值的非负性 19．（七年级上·江苏苏州·阶段练习）若，a一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据可以得到，即，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即a一定是非正数． 故选：B． 20．（21-22七年级上·海南省直辖县级单位·期中）式子取最小值时，等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义可知，当时取得最小值，据此即可求解． 【详解】解：∵， 式子取最小值时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的意义是解题的关键． 21．（23-24七年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性求得，，即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查相反数的定义、绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性求得a、b的值是解题的关键． 22．（七年级上·全国·课后作业）已知非零有理数a、b满足则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意利用绝对值的性质可得，进而判断非零有理数a、b的正负性后进行运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b为非零有理数， ∴， ∵ ∴， ∴=1 故答案为：1． 【点睛】本题考查绝对值和有理数运算，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键． 23．（21-22七年级上·全国·课后作业）对于任意有理数m，当m为何值时，有最大值？最大值为多少？ 【答案】5 【分析】根据绝对值的非负性得到，得到当时，最小，代入求解即可； 【详解】解：由绝对值都是非负数，得．当时，最小，最小值为0，此时有最大值，最大值是5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用，准确计算是解题的关键． 24．（19-20七年级上·河北秦皇岛·期中）已知为整数 （1）能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时= ． （2）+2能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时= ． （3）能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时= ． （4）能取最 （填“大”或“小”）值是 ． 此时= ． 【答案】（1）小，0，0； （2）小，2，0； （3）大，2，1； （4）小，3，-2，-1，0，1. 【分析】（1）根据绝对值都是非负数，可得答案. （2）根据绝对值都是非负数，加数最小时，和最小，可得答案. （3）根据绝对值都是非负数，减数最小时，差最大，可得答案. （4）根据绝对值都是非负数，分类讨论，可得答案. 【详解】（1）∵， ∴能取最小值是0，此时=0； （2）∵， ∴+2， ∴+2能取最小值是2，此时=0； （3）∵ ∴当时，能取最大值是2，此时=1； （4）当a<-2时，=1-a-a-2=-2a-13； 当-2a1时，=1-a+a+2=3； 当a>1时，=a-1+a+2=2a+13； ∴能取最小值为3，此时a=-2，-1，0，1. 【点睛】本题考查了绝对值的性质和应用，灵活运用利用绝对值的非负性是解题的关键. 题型五、绝对值方程 25．（21-22七年级上·全国·课后作业）（1）若，则 ；若，则 ． （2）绝对值不大于11的整数有 个． （3）若，则a的取值范围是 ． 【答案】 7或1 23 【分析】（1）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，求解即可； （2）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，求解即可； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴或1； （2）∵一个整数的绝对值不大于11， ∴这个整数的取值范围为之间， ∴一共有23个； （3）， ∴， ∴ 故答案为：±6，7或1，23，． 【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握求绝对值的意义和求解方法． 26．（21-22七年级上·安徽淮北·阶段练习）（1）如果一个数的绝对值等于，那么这个数是 ； （2）若，则 ． 【答案】 或 或 【分析】（1）由绝对值的含义可直接得到答案； （2）把化为 结合 从而可得答案. 【详解】解：（1）一个数的绝对值等于， 这个数的或 （2）由得， ． 即或， 所以或 故答案为：（1）或（2）或 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，解绝对值方程，掌握绝对值的方程的解法是解题的关键. 27．（21-22七年级上·广东深圳·期中）若|x+3|﹣|x﹣5|＝8，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥5 【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥5，3＜x＜5，x≤3三种情况进行分析． 【详解】解：①当x≥5时，原式可化为：x+3-（x﹣5）=8，恒成立； ②当3＜x＜5时，原式可化为：x+3+x-5=8，此时x=5，不在3＜x＜5之间舍去； ③当x≤3时，原式可化为：﹣x-3+x-5=8，即-8=8，等式不成立，无解． 综上所述，则x≥5． 故答案为x≥5. 【点睛】此题主要是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断． 28．（23-24七年级上·全国·课后作业）如果一个物体某个量的实际值为，测量值为，我们把称为绝对误差，把称为相对误差．例如，某个零件的实际长度为，测量得，那么测量的绝对误差为0.2，相对误差为．若某个零件测量所产生的绝对误差为，相对误差为，求该零件的测量值的值． 【答案】或 【分析】根据绝对误差和相对误差的计算公式得到方程，求出a值，再代入计算求出b值即可． 【详解】∵绝对误差为，相对误差为， ∴，，所以， ∴， ∴， 解得或， 所以该零件的测量值的值为或． 【点睛】本题考查了绝对值和绝对值方程，正确理解绝对误差，相对误差的意义是解题的关键． 题型六、绝对值的实际应用 29．（21-22七年级上·全国·课后作业）正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定．现有一场足球比赛，选取6个足球对其质量进行了检测，检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）如下： ．请指出哪个足球更标准？为什么？ 【答案】+10的质量更标准，见解析 【分析】求出各球记录的质量的绝对值，然后选择绝对值最小的足球更标准． 【详解】+10的质量更标准，理由如下， 检测结果为+10的足球，质量更标准． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，正负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 30．（17-18七年级上·河南新乡·阶段练习）已知零件的标准直径是，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径（） （1）指出哪件样品的直径最符合要求； （2）如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间是次品，误差的绝对值超过是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 【答案】（1）第4件样品的直径最符合要求；（2）第1，2，4件样品是正品；第3件样品为次品；第5件样品为废品． 【分析】（1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】解：（1）∵， ∴第4件样品的直径最符合要求． （2）因为，．所以第1，2，4件样品是正品； 因为，所以第3件样品为次品； 因为，所以第5件样品为废品． 【点睛】考查了绝对值，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． 31．（23-24七年级上·全国·课后作业）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于） (2)如果，那么________； (3)若，，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是________，最小距离是________． 【答案】(1)3，5 (2)2或 (3)8，2 【分析】（1）根据数轴计算即可； （2）根据绝对值的性质可得即可求解； （3）根据绝对值的性质求得a、b的值，再根据数轴求出A、B两点间的最大距离和最小距离． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两之间的距离是：， 表示和2两点之间的距离是：， 答案：3，5． （2）解：∵， ∴或， ∴或， 答案：2或． （3）解：∵，， ∴或，或， ∴或，或， 当，时，A、B两点间的最大距离是8； 当，，时，A、B两点间的最小距离是2， ∴A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2． 答案：8，2． 【点睛】本题考查数轴中两点间的距离、绝对值的应用，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可解答，解题的关键是熟记绝对值的意义． 【详解】∵， ∴， ∴或， 故选：． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上点、、分别表示数、、，且，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，两点间的距离，绝对值的意义，有理数的运算法则．利用数轴上点A，B，C分别表示数、、，利用两点间距离求出，由，利用有理数的运算法则即绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：点A，B，C分别表示数、、，， ，， ， ，即，故A错误； ， ， ，故B错误； ， ，故C正确； ，故D错误； 故选：C． 3．（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，故两数不是相反数，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，，故两数不是相反数，不符合题意； D、，，故两数不是相反数，不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级上·重庆綦江·期末）已知在数轴上对应的点如图所示，则代数式化简后的结果为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值，涉及数轴定义与性质、去绝对值、整式运算等知识，根据在数轴上对应的点的图示，得到的大小，进而确定，去绝对值后利用整式加减运算法则求解即可得到答案，利用数轴比较的大小是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上， ，且， ， ， 故选：C． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a，c异号，为负数，则（    ） A．为负数 B．比小 C．比大 D．为负数 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，以及绝对值的意义，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据有理数a，b，c在数轴上的位置进行判断． 【详解】解：根据题意，a，c异号，为负数， 故，无法确定， 可能为负数也可能为正数，故选项A错误； 当为负数时，原点离点很近时，此时比大，故选项B错误； 当时，比大，当时，由于为负数，故比大，故选项C正确； 由于无法确定，故无法确定为负数，故选项D错误． 故选：C． 6．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 7．（23-24七年级上·山西运城·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 先在数轴上表示出，，再根据数轴知，且|a|＞|b|，然后根据有理数加法法则和利用数轴比较有理数大小进行判断便可． 【详解】解：在数轴上表示出，，如图， 由图可知：，且|a|＞|b|， ∴故①错误， ，故②错误， 故③正确， ，故④正确， 故⑤正确， 故⑥错误， ∴正确的有③④⑤，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理的大小，有理数加法，绝对值，相反数，熟记数轴特征和各个运算法则是解题的关键． 8．（2023七年级上·全国·专题练习）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的距离表示为； ②若，则； ③若存在整数，使的值最小时，则，0，2； ④若的最小值是2，则． 则上述说法，正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质即可判断①正确；分，和三种情况，先化简绝对值，再解方程，计算整式的加减即可判断②错误；分，和三种情况，化简绝对值即可判断③错误；根据求解即可判断④错误． 【详解】解：①数轴上表示、的两点之间的距离表示为，说法正确； ②当时，，解得，符合题设， 当时，，舍去， 当时，，解得，符合题设， 综上，若，则或，原说法错误； ③当时，， 当时，， 当时，， 所以的最小值是3， 所以若存在整数，使的值最小时，则，0，1，2，原说法错误； ④， ∵的最小值是2， ， 解得或，原说法错误； 综上，说法正确的有1个， 故选：D． 二、填空题 9．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ； 【答案】或； 【分析】本题考查绝对值的应用及数轴上两点间距离，根据，分在左边与右边两类讨论即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴数在左边或右边， 当数在左边时， ∵， ∴，解得：， 当数在右边时， ∵， ∴，解得：， 故答案为：或． 10．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性，根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可，解题的关键是正确理解几个非负数的和为时，则这几个非负数都为． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的相关知识，解题的关键在于正确去掉绝对值符号． 根据数轴可知：，，，，然后去掉绝对值符号，进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，，，，， ，，， ， 故答案为： 12．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）对于任意有理数和、都不为，满足，则对于下列关系式：①；②；③；④，其中一定成立的是 ．(只填序号) 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，整式的加减．先根据绝对值的性质，分三种情况进行讨论，①当，时；②当，时；③当，或，，就能得到答案． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当，时，则， 由，可得，则，， 故①②④正确； ②当，时，则， 由，可得，则：，, 故②④正确； ③当，或，时，若，则，与已知条件矛盾，故舍去． ∴一定成立的是②④ 故答案为：②④． 13．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，则 的值是 【答案】3或 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则及相反数性质、倒数的定义、绝对值的性质．先根据相反数性质、倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，再分别代入计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2， ，，或， 当时，原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值是3或， 故答案为：3或． 14．（23-24七年级上·浙江金华·期末）电影《哈利·波特》中，哈利·波特穿墙进入“站台”的镜头（如图中的A站台），构思巧妙，给观众留下了深刻的印象．若B，C分别称为“站台”和“站台”，且，则D站台用类似电影中的方法可称为“ 站台”．    【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离公式，一元一次方程的实际应用．设表示的数为，根据，列出方程，求出的值，即可得出结果．正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设表示的数为，则：， ∵， ∴， ∴或， ∴D站台可称为或站台； 故答案为：或． 三、解答题 15．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 16．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面材料：    在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点分别表示数，则两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为 ； (2)当时， ；当时， ． (3)借助（2）的发现，计算：． (4)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数 ． 【答案】(1)3；； (2)； (3) (4)①数轴见解析，5；②或4 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可； （2）根据去绝对值法则计算即可； （3）先去绝对值然后根据有理数的加减运算即可求解； （4）①先化简绝对值然后合并同类项即可； ②分表示x的点在表示的点的左侧，表示x的点在表示3的点的右侧，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解∶ 数轴上表示 和的两点之间的距离是∶ ， 数轴上表示数 和 -3 的两点之间的距离表示为∶ ， 故答案为∶ 3 ； ； （2）当 时， ， 当 时， ， 故答案为： ； （3）原式 ； （4）①画出数轴如下：    由数轴可知：当表示数x的点在与3之间移动时，， 故答案为：5； ②表示x的点不可能在表示和3的点之间， 当表示x的点在表示的点的左侧时，如图：    此时； 当表示x的点在表示3的点的右侧时，如图：    此时． 故答案为：或4． 17．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则； ②当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，， 则， 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知三个有理数，，满足，求； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)或； (2)的值为或． 【分析】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，根据题意应用绝对值意义求解是解决本题的关键． （1）仿照题目给出的思路和方法求解即可； （2）根据绝对值的意义和，确定a、b的值，然后再分类讨论求出再计算的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． 当，，都是负数，即，，时， 则：； 当，，有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则：． 综上，的值为或． （2）解：，， ，， ， ，或，， 或． 答：的值为或． ( 27 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$