期末复习冲刺解答题特训-培优拔高-2023-2024学年七年级数学下学期期末复习冲刺解答题特训（人教版，云南专用）

2023-2024学年云南省七年级下学期数学 解答题特训-培优拔高（原卷版） 1．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中，，满足．    求，，的值； 是否存在点，使的面积为面积的，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 2．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，已知点，满足．将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，连接，． 直接写出点A和点B的坐标； 点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形的面积等于？ 在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从B点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．在运动过程中的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： 结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； 请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 4．（22-23七年级下·云南昆明·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． 若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值； 若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 5．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），其中3a＋2b－10的平方根是±2，b是的整数部分，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．    求点C，D的坐标及四边形的面积； 在y轴上是否存在一点M，连接，，使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； 点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）请你写出与，的数量关系，并说明理由； 当时，，分别是，的角平分线，请你直接写出的度数． 6．（22-23七年级下·云南大理·期末）如图，已知，且．    如图1，求三点的坐标． 如图2，延长至点，连接．求． 7．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，点C的坐标为，且a、b满足．    求三角形的面积； 阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内两点，那么A、B两点的距离，则． 例如：若点，，则 设在x轴上，且，求点D坐标． 8．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）已知直线，一块含角的直角三角板（，），顶点G在直线上．    如图1，若，求的度数； 如图2，向上平移直线，使直线过点E，，．若是的4倍，求证：． 9．（22-23七年级下·云南昆明·期末）酷热的夏天之后汛期即将来临，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图一，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带盘龙江两岸河堤是平行的，即，且．    (1)______，_______； 若灯射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动______秒时，两灯的光束第一次互相平行； 如图2，两灯同时转动秒，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点． ①______（用含的代数式表示）； ②过作交于点，则在转动过程中，猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由． 10．（22-23七年级下·云南昆明·期末）【数学史料】 孙子算经是中国古代重要的数学著作之一，相传为春秋时期著名军事家孙武所作，孙子算经中记载的“同余思想”为我们研究周期性变化规律提供了研究方法． 【应用举例】 例如：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，我们可以发现的指数幂个位数字分别是，，，这四个数字不断重复出现，因此我们把它称为周期性变化规律，其周期为是第个指数幂，用序号，商余，于是第个指数幂个位数字与第一个指数幂相同；是第个指数幂，用序号，商余，于是第个指数幂个位数字与第二个指数幂相同；是第个指数幂，用序号，商余，于是第个指数幂个位数字与第三个指数幂相同；是第个指数幂，用序号，商余，于是第个指数幂个位数字与第四个指数幂相同，按照这样方法第个指数幂的个位数字，就用，余数是，所以的个位数字与第三个指数幂相同，都是也就是说用序号分别除以周期，所得余数相同的指数幂其个位数字相同． 【归纳小结】应对周期性变化规律，找准变化周期，用同余余数相同关系解决问题． 【拓广探索】已知是不为的实数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，是的差倒数为正整数． 已知当时的差倒数为周期性变化规律，则的值为______ ； 计算； 记，用含的式子表示的值． 11．（22-23七年级下·云南楚雄·期末）已知分别在上，点在之间．    如图1，之间的数量关系为_____． 如图2，，若，，求的度数． 12．（20-21七年级下·北京昌平·期末）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1解方程． 解：∵， ∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： 方程的解为______； 解不等式； 若，则的取值范围是_______； 若，则的取值范围是_______． 13．（22-23七年级下·云南昆明·期末）小明在一组平行线中作角，探究两边与平行线形成的锐角的数量关系．    如图1，他先作出，且点在一条直线上，当时，．点在两条平行线之间，如图2，请用等式表示与的数量关系并证明． 在图3中，，点在两条平行线之间，记与图中一条直线形成的锐角为，若小明作射线，使得，记与图中另一条直线形成的锐角为，请用等式表示与之间的数量关系． 14．（21-22七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，其中，满足关系式． 直接写出点的坐标（______，______）； 如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， 当点移动了3秒时，直接写出此时点的坐标（______，______）； 当点到轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间； 如图2，为线段上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点，在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 15．（21-22七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点O的坐标是，点A的坐标是，点B的横坐标是b，且满足（b是整数），轴，点C在x轴的正半轴上． 求A，B两点的坐标； 如图1，若//，求的度数； 如图2，若////，请探究三个角之间的数量关系，并说明理由． 16．（20-21七年级下·北京房山·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a－1，a＋2）位于第一象限，将点A向下平移一定单位长度得到点B（1，0），以AB为边在AB右侧作正方形ABCD． 求a的值及点D的坐标； 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点M（－5，0），N（0，5），将正方形ABCD向左平移m（m＞0）个单位长度，得到正方形A′B′C′D′，记正方形A′B′C′D′ 和△OMN重叠的区域（不含边界）为W． 当m＝3时，区域W内的整点个数为 ； 若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围． 17．（22-23七年级下·云南迪庆·期末）如图，在四边形中，，． 求证：； 如图，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，求证：是的平分线； 如图，在（2）的条件下，点在线段的延长线上，的平分线交于点，若，求的度数．（提示：需添加辅助线求解） 18．（18-19七年级下·广东汕头·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．    点B的坐标为 ，当点P移动秒时，点P的坐标为 ； 在移动过程中，当点到轴的距离为个单位长度时，求点移动的时间； 在移动过程中，当的面积是时，求点移动的时间． 19．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； 当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； 若，请直接写出与之间的数量关系． 试卷第2页，共11页 试卷第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年云南省七年级下学期数学 解答题特训-培优拔高（解析版） 1．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中，，满足．    求，，的值； 是否存在点，使的面积为面积的，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 存在；点的坐标是或 【分析】（1）利用绝对值的非负性、平方的非负性及二次根式的非负性即可求解． （2）存在，利用即可求解． 【详解】（1）解：， ，解得． （2）存在，理由如下： 由（1）得，， ， 点，的面积为面积的， ， ， ， ， ， 点的坐标是或． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性、二次根式的非负性及坐标与图形，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 2．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，已知点，满足．将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，连接，． 直接写出点A和点B的坐标； 点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形的面积等于？ 在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从B点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．在运动过程中的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 不变，是定值8 【分析】（1）本题考查绝对值的非负性，完全平方的非负性，利用非负性可求a，b的值，即可得到答案； （2）本题考查平移的性质，由平移的性质可得点，点，，，，，由面积关系可求解； （3）分点B在线段上，点B在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴点，点； （2）解：∵将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，，点， ∴点，点，，， ∴，， ∴四边形的面积， ∵四边形的面积等于， ∴点M在点C下方， ∴四边形的面积四边形的面积， ∴； （3）解：的值不会变化， 理由：如图1，当点N在线段上时， ∵， ∴； 如图2，当点N在x轴的负半轴时， ∵， ∴， 综上所述：是定值8． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： 结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； 请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； 求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 4．（22-23七年级下·云南昆明·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． 若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值； 若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 【答案】(1) (2)，或，或，或，． 【分析】（1）将A、B两个不等式解出，根据同解不等式的定义，即可列方程解答； （2）将C、D两个不等式解出，根据同解不等式的定义，可列方程，求出，再根据m，n是整数求解即可． 【详解】（1）解：解不等式A，得：， 解不等式B，得：． ∵不等式A与不等式B是同解不等式， ∴， 解得：； （2）解：解不等式C，得：， 解不等式D，得：． ∵不等式C与不等式D是同解不等式， ∴， ∴． ∵m，n是整数， ∴，或，或，或，． 【点睛】本题考查不等式的性质，解不等式，理解同解不等式的定义是解题的关键． 5．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），其中3a＋2b－10的平方根是±2，b是的整数部分，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．    求点C，D的坐标及四边形的面积； 在y轴上是否存在一点M，连接，，使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； 点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）请你写出与，的数量关系，并说明理由； 当时，，分别是，的角平分线，请你直接写出的度数． 【答案】(1)，面积为8 (2)或 (3)．理由见解析 (4) 【分析】（1）先由平方根的性质求出，再根据平移规律，得出点C,D的坐标，然后根据四边形的面积＝即可求解； （2）存在．设M坐标为，根据，列出方程求出m的值，即可确定M点坐标； （3）过点P作交OA于E，根据平行线的性质得. （4）由（3）可得. 【详解】（1）解： 是的整数部分，． ∵，∴． ． ∵将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D， ． ∴． （2）在y轴上存在一点M，使．设M坐标为． ∵，∴， ∴，解得． ∴或． （3）当点P在线段BD上移动时，．理由如下： 过点P作交OA于E． ∵CD由AB平移得到，则，∴． ． ． ．    （4）由（3）得．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式，关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化. 6．（22-23七年级下·云南大理·期末）如图，已知，且．    如图1，求三点的坐标． 如图2，延长至点，连接．求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据非负数的性质可得，从而得到，即可求解； （2）根据两点的间的距离公式求出，，，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴，，，， ∴，， 即， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，两点的间的距离公式，熟练掌握非负数的性质，两点的间的距离公式是解题的关键． 7．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，点C的坐标为，且a、b满足．    求三角形的面积； 阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内两点，那么A、B两点的距离，则． 例如：若点，，则 设在x轴上，且，求点D坐标． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用求出点A、B的坐标，从而得到三角形的面积； （2）利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴，， ∴． 又∵点C的坐标为， ∴， ∴ （2）据题意得∶ ∴， 化简得：， 解得， ∴． 【点睛】本题考查非负数的性质，给定两点间的距离公式求点坐标，阅读理解能力，三角形的面积等知识，审清题意读懂两点间的距离公式是解题的关键． 8．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）已知直线，一块含角的直角三角板（，），顶点G在直线上．    如图1，若，求的度数； 如图2，向上平移直线，使直线过点E，，．若是的4倍，求证：． 【答案】(1)； 见解析、 【分析】（1）由可得，再根据，，，可得，解得． （2）由题意易得，，根据，得到，从而得到，又，可求得，，因此，得证． 【详解】（1）∵， ∴ ∵，又，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，垂直的判定，熟练运用平行线的性质求角度，利用垂直的定义证明两直线互相垂直是解题的关键． 9．（22-23七年级下·云南昆明·期末）酷热的夏天之后汛期即将来临，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图一，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带盘龙江两岸河堤是平行的，即，且．    (1)______，_______； 若灯射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动______秒时，两灯的光束第一次互相平行； 如图2，两灯同时转动秒，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点． ①______（用含的代数式表示）； ②过作交于点，则在转动过程中，猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)3，1 (2)15 (3)①；②，见解析 【分析】（1）根据，可得，进而得出a、b的值； （2）由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质可知，解方程求得x的值即可； （3）①过点C作，则由得到，则可得，经过秒，，得到； ②由题意可知，，即，得到，再得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：3，1； （2）由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒， 设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质， 可知， 解得； ∴转动15秒． 故答案为：15； （3）①过点C作，    则 ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 经过秒，， 故答案为：； ②，理由如下： 由题意可知，点一定在的右侧，，即， ， ， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质和数形结合． 10．（22-23七年级下·云南昆明·期末）【数学史料】 孙子算经是中国古代重要的数学著作之一，相传为春秋时期著名军事家孙武所作，孙子算经中记载的“同余思想”为我们研究周期性变化规律提供了研究方法． 【应用举例】 例如：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，我们可以发现的指数幂个位数字分别是，，，这四个数字不断重复出现，因此我们把它称为周期性变化规律，其周期为是第个指数幂，用序号，商余，于是第个指数幂个位数字与第一个指数幂相同；是第个指数幂，用序号，商余，于是第个指数幂个位数字与第二个指数幂相同；是第个指数幂，用序号，商余，于是第个指数幂个位数字与第三个指数幂相同；是第个指数幂，用序号，商余，于是第个指数幂个位数字与第四个指数幂相同，按照这样方法第个指数幂的个位数字，就用，余数是，所以的个位数字与第三个指数幂相同，都是也就是说用序号分别除以周期，所得余数相同的指数幂其个位数字相同． 【归纳小结】应对周期性变化规律，找准变化周期，用同余余数相同关系解决问题． 【拓广探索】已知是不为的实数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，是的差倒数为正整数． 已知当时的差倒数为周期性变化规律，则的值为______ ； 计算； 记，用含的式子表示的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义规则分别求出，，，，得出周期为； （2）利用周期性分别求出、、的值求解即可； （3）对进行分类讨论，按照周期分三类，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴周期为， ∵ ∴． 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴． （3）解：∵， ∴， 当是的倍数时，； 当除以的余数为时，； 当除以的余数为时，． 【点睛】本题考查了周期性变化规律，以新定义的形式，是一道好题，解题的关键是找准周期，利用周期变化正确分类． 11．（22-23七年级下·云南楚雄·期末）已知分别在上，点在之间．    如图1，之间的数量关系为_____． 如图2，，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作，根据平行线的性质得出，，即可得出； （2）设的度数为的度数为，则，由（1）得，，，根据，得出，即可求出． 【详解】（1）解：过点O作，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）解：设的度数为的度数为，则，， 由（1）得， ， ， ． ， ∴， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行，内错角相等． 12．（20-21七年级下·北京昌平·期末）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1解方程． 解：∵， ∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： 方程的解为______； 解不等式； 若，则的取值范围是_______； 若，则的取值范围是_______． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可； （2）将原式化解为，首先在数轴上找出的解，即或，则的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可； （3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案； （4）表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数到1的距离减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可． 【详解】解：（1）， ， 解得：， 故答案为：； （2） ， 首先找的解， 即到-2距离为4的点对应的数为-6和2， 表示到-2的距离小于4的点对应的所有数， 不等式解集为； （3）， 表示到1的点与到-2的点距离和为3， -2与1之间的距离为3， ； 故答案为：； （4）， 表示数x到1的距离， 表示数x到-2的距离， 表示数x到1的距离减去数x到-2的距离， 当x在点1右边时，， 当x在点-2左边时，， 当x在-2到1之间时，， ； 故答案为：． 【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键． 13．（22-23七年级下·云南昆明·期末）小明在一组平行线中作角，探究两边与平行线形成的锐角的数量关系．    如图1，他先作出，且点在一条直线上，当时，．点在两条平行线之间，如图2，请用等式表示与的数量关系并证明． 在图3中，，点在两条平行线之间，记与图中一条直线形成的锐角为，若小明作射线，使得，记与图中另一条直线形成的锐角为，请用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析． (2)或或． 【分析】（1）过点作射线，使，可证得，，结合，即可求得答案． （2）需要分两种情况分别计算：①射线在内部；②射线在外部，且；③射线在外部，且． 【详解】（1）． 理由如下： 如图，过点作射线，使．    ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． （2）①射线在内部． 如图，过点作射线，使．    ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ②射线在外部，且． 如图，过点作射线，使．    ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ③射线在外部，且． 如图，过点作射线，使，延长至．    ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 综上所述 或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，牢记平行线的性质并运用分类讨论的思想是解题的关键． 14．（21-22七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，其中，满足关系式． 直接写出点的坐标（______，______）； 如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， ①当点移动了3秒时，直接写出此时点的坐标（______，______）； ②当点到轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间； 如图2，为线段上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点，在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)-5，-3 (2)①-5，-1；②2或4.5 不会， 【分析】（1）根据,即可得出点B的坐标； （2）根据点Q从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O−A−B−C−O的路线移动，确定长度和运动时间，即可得出答案； （3）延长BC至点F，由OABC得∠CBM＝∠AMB，∠AMC＝∠MCF，利用∠CBM＝∠CMB得到∠MCF＝2∠CMB，过点M作MECD交BC于点E，根据平行线得性质得∠EMC＝∠MCD，∠D＝∠BME，加上∠NCM＝2∠EMC，于是可得∠D＝∠BME＝∠CMB−∠EMC，∠CNM＝∠NCF＝∠MCF−∠NCM＝2∠BMC−2∠DCM，所以∠CNM＝2∠D，即有． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴B（−5，−3）． 故答案为：-5，-3； （2）点Q从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O−A−B−C−O的路线移动， 当点Q移动了3秒时，Q运动了6个单位，此时Q在AB上， ∵OA＝5， ∴QA＝6−5＝1， ∴Q（−5，−1）； 故答案为：Q（−5，−1）； 故答案为： -5，-1； ②∵点Q到y轴距离为4个单位长度， ∴点Q在OA或BC上， 当Q在OA上时，QO＝4，此时t＝2（秒）， 当Q在BC上时，此时Q运动了5＋5＋3−4＝9个单位，t＝9÷2＝4.5（秒）； 综上分析可知，点Q运动时间秒或秒． （3）的值不会变化， 理由如下： 延长BC至点F，如图所示： ∵OA∥BC， ∴∠CBM＝∠AMB，∠AMC＝∠MCF， ∵∠CBM＝∠CMB， ∴∠MCF＝2∠CMB， 过点M作ME∥CD交BC于点E， ∴∠EMC＝∠MCD，∠D＝∠BME， 又∵CD平分∠MCN， ∴∠MCN＝2∠MCD＝2∠EMC， ∴∠D＝∠BME＝∠CMB−∠EMC， ∠CNM＝∠NCF＝∠MCF−∠MCN＝2∠CMB−2∠EMC＝2∠D， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，也考查了平行线的性质，作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 15．（21-22七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点O的坐标是，点A的坐标是，点B的横坐标是b，且满足（b是整数），轴，点C在x轴的正半轴上． 求A，B两点的坐标； 如图1，若//，求的度数； 如图2，若////，请探究三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)A的坐标是（1，2）；B的坐标是（3，2） (2) (3)∠∠=0 或者，理由见解析 【分析】（1）先计算二次根式的乘法求解a，再根据求解b，结合轴，可得答案； （2）先证明 x轴∥，求解∠=180°，再求解 ∠=∠，再利用平行线的性质可得答案； （3）先证明x轴∥∥∥，可得∠=180°-∠-=180°-∠- ，再证明∠（180°-∠- ）∠，∠，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴A的坐标是（1，2）．    ∵（是整数）而 ∴ ． ∵ 点B的横坐标是b，轴 ∴ B的坐标是（3，2） （2）解：∵ ∥x轴，∥ ∴ x轴∥   ∴ ∠∠=180° 又 ∵ ∴ ∠=180° 又 ∵ ∴ ∠=∠ 又 ∵ ∥x轴 ∴ ∠ （3）解：∠∠=0． （或者） 理由如下： ∵ ∥x轴，∥∥， ∴ x轴∥∥∥， ∵ x轴∥， ， ∴ ∠=180°-∠=∠， ∴ ∠=180°-∠- =180°-∠- 又∵ ∥x轴 ∴ ∠（180°-∠- ） ∠ 同理得：∠ ∴ ∠ 又 ∵  ∠ ∴  ∠∠ ∴ ∠∠=0． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，二次根式的乘法运算，无理数的估算，平行线的性质，平行公理的应用，熟练的利用平行线的性质探究角与角之间的关系是解本题的关键． 16．（20-21七年级下·北京房山·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a－1，a＋2）位于第一象限，将点A向下平移一定单位长度得到点B（1，0），以AB为边在AB右侧作正方形ABCD． 求a的值及点D的坐标； 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点M（－5，0），N（0，5），将正方形ABCD向左平移m（m＞0）个单位长度，得到正方形A′B′C′D′，记正方形A′B′C′D′ 和△OMN重叠的区域（不含边界）为W． ① 当m＝3时，区域W内的整点个数为 ； ② 若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）a＝2，点D的坐标为(5，4)；（2）①3；②2＜≤3或6≤＜7 【分析】（1）点A(a－1，a＋2)向下平移得到点B(1，0)，即横坐标不变，列等式即可求得a的值，进而求得正方形边长，求出点D坐标即可； （2）①根据平移方式画出平移后的图形，再根据整点的意义找出符合要求的点即可； ②整点只有三个，则这些整点只能是或者,将正方形移到范围内判断即可． 【详解】解：（1）∵点A(a－1，a＋2)向下平移得到点B(1，0)， ∴a－1＝1， ∴a＝2， ∴点A坐标为(1，4)， ∴正方形ABCD的边长AB＝AD＝4． ∵AD∥轴， ∴点D的坐标为(5，4)． （2）①如图； 当m＝3时，区域W内的整点个数为3个， 故答案为： 3； ②如图； 当区域W内的整点为三点时， 则m的取值为：6≤＜7； 当区域W内的整点为三点时， 则m的取值为：2＜≤3， 综上：6≤＜7或2＜≤3． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平移的性质，利用树形结合的思想解决问题是本题的关键． 17．（22-23七年级下·云南迪庆·期末）如图，在四边形中，，． 求证：； 如图，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，求证：是的平分线； 如图，在（2）的条件下，点在线段的延长线上，的平分线交于点，若，求的度数．（提示：需添加辅助线求解） 【答案】(1)证明详见解析； 证明详见解析； (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质，等角的补角相等，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 利用平行线的性质以及等角的补角相等即可解决问题． 只要证明即可． 过点作，设，由，可得，设，则，构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图中， ， ， ， ， ． 如图中， ， ，， ， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）是的平分线， ， 设，则， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即， ． 18．（18-19七年级下·广东汕头·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．    点B的坐标为 ，当点P移动秒时，点P的坐标为 ； 在移动过程中，当点到轴的距离为个单位长度时，求点移动的时间； 在移动过程中，当的面积是时，求点移动的时间． 【答案】(1)， 当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或6秒； 满足条件的时间t的值为或或或． 【分析】（1）根据，可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动秒时，点P的位置和点P的坐标； （2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可； 分为点P在上分类计算即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点B的坐标是， ∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴， ∵， ∴当点P移动3.5秒时，在线段上，离点C的距离是：， 即当点P移动3.5秒时，此时点P在线段上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是； 故答案为：，； （2）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：秒， 第二种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：秒， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或6秒； 解：如图1所示：    ∵的面积， ∴，即． 解得：． ∴此时； 如图2所示；    ∵的面积， ∴，即． 解得：． ∴． ∴此时； 如图3所示：    ∵的面积， ∴，即． 解得：． ∴此时； 如图4所示：    ∵的面积， ∴，即． 解得：． ∴此时； 综上所述，满足条件的时间t的值为或或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 19．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； 若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①的度数为；②见解析； (2)或． 【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分． （2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可． 【详解】（1）解：①∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设，则， 当点E，F在直线的同侧时，如图： ， ∴，① ，② 令①×3+②×2可得：， 当点E，F在直线的异侧时，如图： ， ∴，① ，② 令②×2-①可得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力． 试卷第2页，共39页 试卷第1页，共39页 学科网（北京）股份有限公司 $$