精品解析：河南省南阳市第七中学校2023—2024学年下学期第二次月考八年级数学试卷

2024年春八年级数学第二次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将▱沿对角线折叠，使点落在处，若则为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. “无风才到地，有风还满空.缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　） A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 9. 如图，在中，与的平分线相交于边上的一点，若，，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 反比例函数的图象分布情况如图所示，则k的值可以是______．（写出一个符合条件的k值即可） 12. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”） 13. 如图，在平行四边形 ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF = 12，AB = 10，则AE的长为_____． 14. 如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为_____． 15. 已知，矩形的对角线、相交于点O，，，点E是对角线上一点，，连接，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 17. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示． （1）根据图2补全表格： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 ______ 5 ______ 5 … （2）变量y是x的函数吗？为什么？ （3）根据图象，摩天轮的直径为______m． （4）假设摩天轮匀速旋转，在开始旋转的第一圈内，离地面高度是40m时，所用时间大约是______min（精确到0.1）． 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）若点与点关于轴对称，求的面积． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，A粽子的进价节前是节后的1.2倍，节前用150元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少10个，根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每个A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子500个，且总费用不超过1400元，并按照节前每个8元，节后每个5元全部售出，那么该商场节前购进多少个A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：_______，______；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？ 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． （1）【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 （2）【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． （3）【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春八年级数学第二次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分式有意义的条件，得x-1≠0，求解即可． 【详解】解：当分母不等于0，即x-1≠0， 解得，x≠1． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于0时，分式才有意义． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加减法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义以及零指数幂和二次根式的化简依次进行计算即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，该选项错误； B．，该选项正确； C．，该选项错误； D．，该选项错误； 故答案选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义以及零指数幂和二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 如图，将▱沿对角线折叠，使点落在处，若则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝＝∠1，再由三角形内角和定理求出∠B即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ， 由折叠的性质得：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键． 4. 在平行四边形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：A． 5. “无风才到地，有风还满空.缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义：把一个大于10(或者小于1)的数记为的形式(其中| 1| ≤|| ＜| 10|),这种记数法叫做科学记数法，即可得解. 【详解】由题意，得 故答案为C. 【点睛】此题主要考查科学记数法的运用,熟练掌握,即可解题. 6. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可． 【详解】解：直线向下平移2个单位后所得直线的解析式为 故选:A 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数项． 函数左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键． 7. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 8. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　） A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可． 【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9. 如图，在中，与的平分线相交于边上的一点，若，，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，再根据角平分线的性质得出，最后根据等积法求出面积即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与的平分线相交于边上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理逆定理得出，进而得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，根据当时，最小，用等面积法即可求出，即可得解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，矩形的对角线相等，以及垂线段最短． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 反比例函数的图象分布情况如图所示，则k的值可以是______．（写出一个符合条件的k值即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此可得，即，由此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的图象位于第二，四象限可知，， ， 的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：＞ 的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ＞ ＜ 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键． 13. 如图，在平行四边形 ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF = 12，AB = 10，则AE的长为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：AB=AF，AE⊥BF， ∴OB=OF，∠BAE=∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=AF， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴OA=OE，OB=OF=BF=6， 在Rt△AOB中，OA==8， ∴AE=2OA=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形． 14. 如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为_____． 【答案】(3，﹣10) 【解析】 【分析】首先根据坐标求出正方形的边长为6，进而得到D点坐标，然后根据每旋转4次一个循环，可知第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，即可得出此时D点坐标． 【详解】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)， ∴AB=3+3=6， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB=6， ∴D(﹣3，10)， ∵70=4×17+2， ∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时D点与(﹣3，10)关于原点对称， ∴此时点D的坐标为(3，﹣10)． 故答案为：(3，﹣10)． 【点睛】本题考查坐标与图形，根据坐标求出D点坐标，并根据旋转特点找出规律是解题的关键． 15. 已知，矩形的对角线、相交于点O，，，点E是对角线上一点，，连接，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可分①当点E在上时，②当点E在上时，然后根据矩形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ①当点E在上时，如图所示： ∵， ∴，即点E是的中点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴； ②当点E在上时，结合上一种情况可知点E为的中点，过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根、负指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的运算法则，平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算和分式的化简，熟练掌握立方根、负指数幂、零指数幂的运算法则和平方差公式是解题的关键． 17. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示． （1）根据图2补全表格： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 ______ 5 ______ 5 … （2）变量y是x的函数吗？为什么？ （3）根据图象，摩天轮的直径为______m． （4）假设摩天轮匀速旋转，在开始旋转的第一圈内，离地面高度是40m时，所用时间大约是______min（精确到0.1）． 【答案】（1） 补全的表格如下： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 70 5 54 5 … （2）变量y是x的函数； 理由：函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数； 根据图2中圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系可知，该关系符合函数的定义，故变量y是x的函数； （3）65 （4）1.6或4.4 【解析】 【分析】（1）根据图2中的数据进行解答即可； （2）根据函数定义结合图2进行解答即可； （3）根据图2可知摩天轮的最高点和最低点，两者相减即可得出直径； （4）先算出摩天轮上该点旋转的平均速度，再根据速度公式分别计算出上升和下降过程中所对应的时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ∴摩天轮的直径为， 故答案为：65； 【小问4详解】 若摩天轮匀速旋转，则摩天轮上该点从最低点到最高点（或从最高点到最低点）的平均速度为， 第一圈，上升到时，所用时间为； 第一圈，下降到时，所用时间为； 故答案为：1.6或4.4． 【点睛】本题考查了函数图象的时间应用，理解题意，熟练运用数形结合是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）若点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】（1），； （2）或； （3）； 【解析】 【分析】（1）将点代入得到反比例函数的解析式，进而得到点A的坐标为，最后利用待定系数法即可解答； （2）根据图象可知不等式的解集； （3）根据一次函数与轴的交点可知点的坐标为，点A的坐标为即可解答． 【小问1详解】 解；∵将点代入， ∴得， ∴反比例函数的解析式为， ∵将点代入， 得， ∴点A的坐标为， ∴将点，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象与轴相交于点， ∴令，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即AB∥CF， ∴∠BAE=∠FDE， ∵E为线段AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠AEB=∠DEF， ∴≌（ASA）， ∴AB=DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDF=90°， ∴四边形ABDF是矩形； （2）18． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形； （2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形ABDF是矩形， ∴AB=DF=3，∠AFD=90°， ∴在中，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3， ∴CF=CD+DF=3+3=6， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键． 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，A粽子的进价节前是节后的1.2倍，节前用150元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少10个，根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每个A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子500个，且总费用不超过1400元，并按照节前每个8元，节后每个5元全部售出，那么该商场节前购进多少个A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该商场节后每个A粽子的进价是2.5元 （2）该商场节前购进300个A粽子获得利润最大，最大利润2000元 【解析】 【分析】（1）设该商场节后每个A粽子的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设A粽子获得利润为w，节前购进A粽子y个，列出一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可得出最大利润． 【小问1详解】 设该商场节后每个A粽子的进价为元，则节前每个A粽子的进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：该商场节后每个A粽子的进价是2.5元； 【小问2详解】 设A粽子获得利润为w，节前购进A粽子y个， 根据题意有， 又，得， ∵利润为w与节前购进A粽子y为一次函数关系，且， ∴y越大获利越大， ∴当时，获得最大利润（元）， 答：该商场节前购进300个A粽子获得利润最大，最大利润2000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一次函数的应用—最大利润问题，读懂题意列出分式方程和一次函数关系式是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：_______，______；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）； （2）当时，四边形是平行四边形； （3）当或秒时，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知，，则可用含的式子表示出； （2）根据四边形是平行四边形，且，得到，则，求解即可； （3）分两种情况讨论：①，②，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，且， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：由（1）知．，， ∵是等腰三角形，且， ∴①当时， ∴点在的垂直平分线上， ， ， ， ②当时，过点作于，如图： ， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， ∵点在边上，不和重合， ∴此种情况符合题意， 综上，或秒时，是等腰三角形． 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． （1）【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 （2）【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． （3）【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，勾股定理等知识点，灵活运用三角形的面积公式列出式子是解题的关键． （1）利用勾股定理运算出的长，再利用矩形的性质可得到，再利用，列式运算即可； （2）根据：列式运算即可； （3）根据：列式运算即可． 【小问1详解】 解：如图①： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 如图②，连接OP， ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ，理由如下： 如图③，连接， ∵， ∴， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $