（精讲册）专题3 特殊四边形的相关证明与计算（课件PPT）-【卓文中考·加速度】2024年新疆中考数学复习

2024新疆中考 数学 《精讲册》 《精练册》 《参考答案》 《基础题组》 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 类型1 平行四边形的性质与判定 1 类型2 矩形的性质与判定 类型3 菱形的性质与判定 类型4 正方形的性质与判定 2 3 4 （8～10分） 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 1.[2023杭州]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E， F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA. （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形. 第1题图 类型1　平行四边形的性质与判定 （2022.18，2021.18） 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积. （2）解：∵BE＝EF， ∴S△ABE＝S△AEF＝2， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO， ∴S△CFO＝1. 第1题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 2.[2023青岛]如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平 分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点，连接EF. （1）求证：△ABE≌△CDF； 第2题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 ∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠DCB，∴∠BAE＝ ∠DCF， 在△BAE和△DCF中， ∴△BAE≌△DCF（ASA）. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D， ∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF， ∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于 点E、F， 第2题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）连接EF.若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论. （2）解：四边形GEHF是矩形.证明如下： ∵△BAE≌△DCF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC， ∴∠AEB＝∠BCF，∴AE∥CF. ∵点G，H分别为AE，CF的中点， ∴GE∥FH，GE＝FH， ∴四边形FGEH是平行四边形. ∵EF＝AF，G为AE的中点，∴GF⊥AE， ∴四边形GEHF是矩形. 第2题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 类型2　矩形的性质与判定 （2023.18，2019.19） 3.[2022云南]如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点， 延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°. （1）求证：四边形ABDF是矩形； 第3题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD， ∴∠BAE＝∠FDE. ∵E是线段AD的中点， ∴AE＝DE. 在△BEA和△FED中， ∴△BEA≌△FED（ASA）， ∴EF＝EB. 第3题图 又∵AE＝DE， ∴四边形ABDF是平行四边形. 又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形. 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S. （2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形， ∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD， ∴AF＝＝4， ∴S矩形ABDF＝DF·AF＝12，BD＝AF＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3， ∴S△BCD＝BD·CD＝6， ∴S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝18. 第3题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 4.[2023贵州，20]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得 BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面 是两位同学的对话： 第4题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 ⁠ ⁠ 小星：由题目的已知条件， 若连接BE，则可证明 BE⊥CD. 小红：由题目的已知条 件，若连接CE，则可证明 CE＝DE. ⁠ ⁠ （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）连接AD，若AD＝5，＝，求AC的长. （1）证明：小星：如答图，连接BE， ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD， ∵BD＝BC，∴AE＝BC， ∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形AEBC是矩形， ∴∠EBC＝90°，∴BE⊥CD. 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 小红：如答图，连接BE，CE， ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD，AB＝DE， ∵BD＝BC，∴AE＝BC， ∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形AEBC是矩形， ∴AB＝CE，∴CE＝DE. （二选一即可） 第4题答图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 第4题答图 （2）解：∵＝， ∴设CB＝2k，AC＝3k，∴CD＝4k， ∵AC2＋DC2＝AD2， ∴（3k）2＋（4k）2＝（5）2， ∴k＝（负值已舍去），∴AC＝3. 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 类型3　菱形的性质与判定 （2020.18） 5.[2023呼和浩特，20]如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交 于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE， DF. （1）求证：∠1＝∠2； 第5题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADO＝∠CBO， ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴∠ODE＝∠ADO，∠OBF＝∠CBO， ∴∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF， ∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF， ∴△ODE≌△OBF（ASA），∴DE＝BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE∥DF，∴∠1＝∠2. 第5题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积. （2）解：由（1）知△ODE≌△OBF，∴OE＝OF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥EF，AD＝AB，OD＝OB，AD∥BC， ∴四边形DEBF是菱形， ∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°. ∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°， ∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，∴OD＝BD＝1， 第5题图 ∵∠ODE＝∠ADO＝30°， ∴OE＝OD＝，∴EF＝2OE＝， ∴S四边形BEDF＝BD·EF＝×2×＝. 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵AC＝8，BD＝6， ∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3， ∴AB＝＝5， ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DH， ∴DH＝＝. 第6题图 6.如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H. （1）若AC＝8，BD＝6，求DH的长； 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）连接HO，求证：∠BOH＝∠DAH. （2）证明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD， ∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH， ∴∠BOH＝180°－2∠OBH. ∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝BA，∴∠ADB＝∠ABD， ∴∠DAH＝180°－2∠ABD， ∴∠BOH＝∠DAH. 第6题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 7.如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且 AB＝ED. （1）求证：△ABC≌△DEF； （1）证明：∵AB∥ED， ∴∠A＝∠D. ∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）. 第7题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）解：如答图，连接EB交AD于点O. 在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4， ∴DF＝＝5. ∵四边形EFBC是菱形， ∴OF＝OC，BE⊥CF于点O， ∴EO＝＝， ∴OF＝OC＝＝， ∴CF＝2OF＝，∴AF＝CD＝DF－FC＝. 第7题图 （2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF 的长度. 第7题答图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 类型4　正方形的性质与判定 8.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM ＝DN. （1）求证：四边形EFMN是正方形； 第8题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，且AE＝BF＝CM＝ DN，∴AN＝DM＝CF＝BE. 又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE（SAS）. ∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN， ∴四边形EFMN是菱形. ∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN＋∠DNM＝90°， ∴∠ENA＋∠DNM＝90°，∴∠ENM＝90°. ∴四边形EFMN是正方形. 第8题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长. （2）解：∵AB＝7，AE＝3， ∴AN＝BE＝AB－AE＝4， ∴EN＝＝5， ∴正方形EFMN的周长为4×5＝20. 第8题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 9.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线 上，连接PB，PD，PE，PE＝PB. （1）求证：△BCP≌△DCP； （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCP＝∠DCP＝45°， 在△BCP和△DCP中， ∴△BCP≌△DCP（SAS）. 第9题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）若PC＝CE，求∠CDP的度数. （2）解：∵△BCP≌△DCP， ∴BP＝DP，∠CBP＝∠CDP. ∵PE＝PB，PC＝CE， ∴PD＝PE，∠CBP＝∠PEB＝∠CPE＝∠ACB＝22.5°， ∴∠CDP＝22.5°. 第9题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 10.[2023绍兴]如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B， D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分别为E，F.连接EF，AG，并延长 AG交EF于点H. （1）求证：∠DAG＝∠EGH； （1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE， ∴∠DAG＝∠EGH. 第10题图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 （2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由. （2）解：AH⊥EF.理由如下： 如答图，连接GC交EF于点O. ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°. 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°. 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， 第10题图 第10题答图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 ∴四边形FCEG为矩形， ∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE， ∴∠DAG＝∠OEC. 由（1）得∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC， ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°， ∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF. 第10题图 第10题答图 卓文中考·加速度 数学 2024新疆中考 专题三　特殊四边形的相关证明与计算 $$